第二章 第二节 力的合成与分解-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第二节　力的合成与分解　

一、力的合成

1．合力与分力之间的关系

合力与分力作用效果__相同__，是__等效替代__关系。

2．共点力：作用线或作用线的__反向延长线__交于一点的几个力。如图所示是共点力。

3．力的合成法则

(1)平行四边形定则：两邻边表示两个分力，两邻边之间的__对角线__表示合力的大小和方向，如图所示。

(2)三角形定则：两个矢量首尾顺次连接，则连接第一个矢量的首和第二个矢量的尾的有向线段表示合力的大小和方向，如图乙所示。

二、力的分解

1．力的分解

(1)定义：求一个力的__分力__的过程。力的分解是__力的合成__的逆运算。

(2)遵循的原则：__平行四边形__定则或三角形定则。

2．力的效果分解法

(1)根据力的__实际作用效果__确定两个实际分力的方向。

(2)再根据两个实际分力的方向画出__平行四边形__。

(3)最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小。

3．正交分解法

(1)定义：将已知力按__互相垂直__的两个方向进行分解的方法。

(2)建立坐标轴的原则：以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)。

三、矢量和标量

1．矢量：既有大小又有__方向__的物理量，叠加时遵循__平行四边形__定则，如速度、力等。

2．标量：只有大小没有__方向__的物理量，求和时按__算术__法则相加，如路程、速率等。

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)合力与分力是等效替代关系，因此受力分析时不能重复分析。(√)

(2)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)

(3)两个共点力F1、F2的合力的取值范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2。(√)

(4)合力可能大于每一个分力，也可能小于每一个分力，还可能大于一个分力而小于另一个分力。(√)

(5)两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。(×)

(6)合力作用在一个物体上，分力作用在两个物体上。(×)

(7)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)

(8)8N的力可以分解为5N和3N的两个分力。(√)

考点一　共点力的合成

[题组突破]

[合力与分力]

1．(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则(　　)

A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍

B．F1、F2同时增加10N，F也增加10N

C．F1增加10N，F2减少10N，F一定不变

D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大

[解析]　由两个力的合力F＝可知，A项正确；因F1、F2的方向关系不确定，即α未知，则B、C两项错误，D项正确。

[答案]　AD

[二力的合成]

2．(2021·石家庄模拟)如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　　)

A．kL　　 B．2kL　　

C.kL　  D.kL

[解析]　发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则sin θ＝＝，cos θ＝＝。发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F合＝2Fcos θ。F＝kx＝kL，故F合＝2kL·＝kL，D正确。

[答案]　D

[三力的合成]

3．(多选)一物体位于光滑水平面上，同时受到三个水平共点力F1、F2和F3的作用，其大小分别为F1＝42 N、F2＝28 N、F3＝20 N，且F1的方向指向正北，下列说法中正确的是(　　)

A．这三个力的合力可能为零

B．F1、F2两个力的合力大小可能为20 N

C．若物体处于匀速直线运动状态，则F2、F3的合力大小为48 N，方向指向正南

D．若物体处于静止状态，则F2、F3的合力大小一定为42 N，方向指向正南

[解析]　F1、F2的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即14 N≤F≤70 N，选项B正确。F3的大小处于F1、F2的合力范围之内，所以这三个力的合力可能为零，选项A正确。若物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动)，则某两个力的合力必定与第三个力等大反向，选项C错误，D对。

[答案]　ABD

[归纳总结]

1．合力大小的范围

(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。

即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

(2)三个共点力的合成。

①三个力共线且同向时，其合力最大为F＝F1＋F2＋F3。

②以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力最小值为零，若不能组成封闭的三角形，则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和。

2．共点力合成的方法

(1)作图法(如图)。

(2)计算法(如图)。

F＝　 F＝2F1cos 　　　　F＝F1＝F2

考点二　力的分解的两种方法

1．力的效果分解法

(1)根据力的实际作用效果确定两个分力的方向。

(2)根据两个分力的方向画出平行四边形。

(3)由平行四边形和数学知识求出两分力的大小。

2．力的正交分解法

(1)概念：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，以少分解力和容易分解力为原则(即使尽量多的力在坐标轴上)。

在动力学中，经常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

(3)应用：物体受到多个力作用F1，F2，F3…求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴，y轴分解。

x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力大小：F＝

其方向若与x轴夹角为θ，则tan θ＝。

[例1]　(多选)如图所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO绳的拉力为FA，BO绳的拉力为FB，则(　　)

A．FA＝10 N　 B．FA＝10 N

C．FB＝10 N  D．FB＝10 N

[解析]　解法一　效果分解法

 在结点O，电灯的重力产生了两个效果，一是沿AO向下的拉紧AO绳的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，分解示意图如图所示。

则FA＝F1＝＝10 N

FB＝F2＝＝10 N，故选项A、D正确。

解法二　正交分解法

结点O受力如图所示，考虑到电灯的重力与OB垂直，正交分解OA绳的拉力更为方便。

F＝G＝10 N

FAsin 45°＝F

FAcos 45°＝FB

代入数值得FA＝10  N，FB＝10 N，

故选项A、D正确。

[答案]　AD

◆规律方法

力的分解问题选取原则

1．选用哪一种方法进行力的分解要视情况而定，一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常利用三角形法或按实际效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，可选用正交分解法。

2．当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。

[跟踪训练]

[力的效果分解法]

1．(2019·全国卷Ⅲ)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　)

A．F1＝mg，F2＝mg　 B．F1＝mg，F2＝mg

C．F1＝mg，F2＝mg  D．F1＝mg，F2＝mg

[解析]　工件的重力产生两个效果：挤压斜面Ⅰ和斜面Ⅱ，将重力沿垂直斜面Ⅰ和斜面Ⅱ的方向分解，如图

则有F1′＝mgcos 30°＝mg

F2′＝mgsin 30°＝mg

所以工件对斜面Ⅰ和斜面Ⅱ的压力分别为

F1＝F1′＝mg

F2＝F2′＝mg，故D正确。

[答案]　D

[力的正交分解法]

2．(2020·黑龙江重点中学联考)如图所示，重力为G1＝12 N的物块a在细绳悬挂下处于静止状态，细绳BP方向水平，细绳AP与竖直方向成37°角，且BP连在重力为G2＝50 N的物块b上，物块b静止于倾角为37°的斜面上(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。则下列说法正确的是(　　)

A．绳BP对物块b的拉力为16 N

B．绳AP的拉力为20 N

C．斜面对物块b的摩擦力为37.2 N

D．斜面对物块b的支持力为37.2 N

[解析]　选择结点P为研究对象，分析受力，由平衡条件可得FBP＝G1tan 37°＝9 N，FAP＝＝15 N，选项A、B错误；对静止于斜面上的物块b受力分析，设斜面对物块b的摩擦力为f，支持力为FN，由平衡条件有，F′BP＋FNsin 37°＝fcos 37°，FNcos 37°＋fsin 37°＝G2，其中F′BP＝FBP，联立解得f＝37.2 N，FN＝34.6 N，选项C正确，D错误。

[答案]　C

考点三　用对称法分析非共面力的合成与分解问题

在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，而在这类平衡问题中，又常有图形结构对称的特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性。解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性，结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程，求解结果。

[例2]　(2021·广州测试)如图是悬绳对称且长度可调的自制降落伞。用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验，悬绳的长度l1＜l2，匀速下降时每根悬绳的拉力大小分别为F1、F2，则(　　)

A．F1＜F2　　　　　　 B．F1＞F2

C．F1＝F2＜G  D．F1＝F2＞G

[审题指导]　降落伞的悬绳对称，则各悬绳上的拉力大小相等，且各悬绳与竖直方向的夹角大小相等，因此各悬绳的拉力在竖直方向的分力大小也相等。

[解析]　设悬绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，由于l1＜l2，所以θ1＞θ2。对物体进行受力分析，将各悬绳对物体的力进行合成，则有：8F1cos θ1＝G,8F2cos θ2＝G。由于cos θ1＜cos θ2，所以F1＞F2，故B正确。

[答案]　B

[跟踪训练]

3．(多选)(2020·青岛检测)如图所示，完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上，每个足球的质量都是m，不考虑转动情况，下列说法正确的是(　　)

A．下面每个球对地面的压力均为mg

B．下面的球不受地面给的摩擦力

C．下面每个球受地面给的摩擦力均为mg

D．上面球对下面每个球的压力均为mg

[解析]　以四个球整体为研究对象，受力分析可得，3FN＝4mg，可知下面每个球对地面的压力均为F′N＝FN＝mg，A项正确；隔离上面球分析，四个球心构成正四面体如图，h＝r，所以cos θ＝，sin θ＝，由几何关系可得，3F1·cos θ＝mg，F1＝mg，D项正确；隔离下面一个球分析，Ff＝F1·sin θ＝mg，B、C项错误。

[答案]　AD

“活结”和“死结”、“动杆”和“定杆模型”

模型一　“活结”和“死结”模型

[典例1]　(多选)(2021·武汉调研)在如图所示的装置中，两物块A、B的质量分别为mA、mB，而且mA＞mB，整个系统处于静止状态，设此时轻质动滑轮右端的轻绳与水平面之间的夹角为θ，若小车向左缓慢移动一小段距离并停下来后，整个系统再次处于静止状态，则下列说法正确的是(　　)

A．物块A的位置将变高

B．物块A的位置将变低

C．轻绳与水平面的夹角θ将变大

D．轻绳与水平面的夹角θ将不变

[解析]　以轻质动滑轮与轻绳的接触点O为研究对象，分析O点的受力情况，作出O点的受力分析图，如图所示，设绳子的拉力大小为F，动滑轮两侧绳子的夹角为2α，由于动滑轮两侧绳子的拉力关于竖直方向对称，则有2Fcos α＝mBg，又小车向左缓慢移动一小段距离后，轻绳中的拉力大小与小车移动前相同，即F＝mAg保持不变，可知α角保持不变，由几何知识得，α＋θ＝90°，则θ保持不变，小车向左缓慢移动一小段距离后，动滑轮将下降，则物块A的位置将变高，故选项A、D正确，B、C错误。

[答案]　AD

◆规律总结

一根轻绳上各处的张力大小均相等，分析时关键要判断是否是一根轻绳，如对于“活结”(结点可以自由移动)就属于一根绳子，对于“死结”(即结点不可自由移动)，结点两端就属于两根绳子，绳两端的拉力大小就不相等。

[跟踪训练]

1．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

A．绳OO′的张力也在一定范围内变化

B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

[解析]　系统处于静止状态，连接a和b的绳的张力大小FT1等于物块a的重力Ga，C项错误；以O′点为研究对象，受力分析如图甲所示，FT1恒定，夹角θ不变，由平衡条件知，绳OO′的张力FT2恒定不变，A项错误；以b为研究对象，受力分析如图乙所示，则

FN＋FT1cos θ＋Fsin α－Gb＝0

Ff＋FT1sin θ－Fcos α＝0

FN、Ff均随F的变化而变化，故B、D项正确。

[答案]　BD

模型二　“动杆”和“定杆”模型

[典例2]　如图甲所示，轻绳AD跨过固定的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：

(1)轻绳AC段的张力FAC与细绳EG的张力FEG大小之比；

(2)轻杆BC对C端的支持力；

(3)轻杆HG对G端的支持力。

[解析]　题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。

(1)图甲中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，轻绳AC段的拉力FAC＝FCD＝M1g

图乙中由于FEGsin 30°＝M2g，得FEG＝2M2g。

所以＝。

(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有NC＝FAC＝M1g，方向和水平方向成30°，指向右上方。

(3)图乙中，根据平衡方程有FEGsin 30°＝M2g，FEGcos 30°＝NG，所以NG＝M2gcot 30°＝M2g，方向水平向右。

[答案]　(1)　(2)M1g　方向和水平方向成30°指向右上方　(3)M2g　方向水平向右

◆规律总结

杆的弹力可以沿杆的方向，也可以不沿杆的方向。对于一端有铰链的轻杆，其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向；对于一端“插入”墙壁或固定的轻杆，只能根据具体情况进行受力分析，根据平衡条件或牛顿第二定律来确定杆中的弹力的大小和方向。

[跟踪训练]

2．水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个轻质小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，CB与水平方向夹角为30°，如图所示，则滑轮受到杆的作用力大小为(g取10 m/s2)(　　)

A．50 N　 B．50 N　

C．100 N　 D．100  N

[解析]　以滑轮为研究对象，轻绳的拉力FT1＝FT2＝mg＝100 N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100 N。以CB、BD为邻边作平行四边形如图所示，由∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE，得∠CBE＝∠DBE＝60°，即△CBE是等边三角形，故F合＝100 N。根据平衡条件得F＝100 N，选项C正确。

[答案]　C