第五章 第一节 功和功率-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第一节　功和功率　

一、功

1．定义：一个物体受到力的作用，如果在__力的方向__上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。

2．做功的两个要素

(1)作用在物体上的__力__。

(2)物体在力的方向上发生的__位移__。

3．公式：W＝__Flcos_α__。

(1)α是力与__位移__方向之间的夹角，l为物体对地的位移。

(2)该公式只适用于__恒力__做功。

4．功的正负

(1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做__正功__。

(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做__负功__，或者说物体__克服__这个力做了功。

(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体__不做功__。

二、功率

1．定义：功与完成这些功所用时间的__比值__。

2．物理意义：描述力对物体__做功的快慢__。

3．公式

(1)P＝，P为时间t内的__平均功率__。

(2)P＝__Fvcos_α__(α为F与v的夹角)

①v为平均速度，则P为__平均功率__。

②v为瞬时速度，则P为__瞬时功率__。

4．发动机功率：机车发动机的功率P＝__Fv__，F为__牵引__力，并非机车所受的合力。

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(×)

(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(√)

(3)一个力对物体做负功，说明物体克服该力做功(取负功的绝对值)。(√)

(4)作用力做正功时，其反作用力一定做负功。(×)

(5)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。(×)

(6)应用公式P＝Fv，既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(√)

(7)由P＝Fv知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制地增大。(×)

(8)由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比。(√)

第五章　机械能及其守恒定律高考总复习·物理

考点一　功的分析与计算

1．功的正负判断方法

(1)恒力功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。

(2)曲线运动中功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0°≤α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。

(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。

2．恒力功的计算方法

3．总功的计算方法

方法一：先求合力F合，再用W总＝F合lcos α求功，此法要求F合为恒力。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。

[题组突破]

1．(多选)(2019·唐山一模)如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是(　　)

A．支持力一定做正功　　　 B．摩擦力一定做正功

C．摩擦力可能不做功  D．摩擦力可能做负功

[解析]　支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功。而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a＝gtan θ，当a＞gtan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a＜gtan θ，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功。综上所述，A、C、D正确。

[答案]　ACD

2．如图所示的拖轮胎跑是一种体能训练活动。某次训练中，轮胎的质量为5 kg，与轮胎连接的拖绳与地面夹角为37°，轮胎与地面动摩擦因数是0.8。若运动员拖着轮胎以5 m/s的速度匀速前进，则10 s内运动员对轮胎做的功最接近的是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)(　　)

A．500 J　　 B．750 J

C．1 250 J　 D．2 000 J

[解析]　Fcos θ＝f，N＋Fsin θ＝mg，

f＝μN，得F＝＝ N＝31.25 N，

10 s内运动员对轮胎做功WF＝Fcos θ·vt＝31.25×0.8×5×10 J＝1 250 J，选项C正确。

[答案]　C

考点二　功率的理解与计算

1．平均功率的计算方法

(1)利用P＝。

(2)利用P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。

2．瞬时功率的计算方法

(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。

(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。

(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。

[例1]　(多选)(2020·海口模拟)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　)

A．3t0时刻的瞬时功率为

B．3t0时刻的瞬时功率为

C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

[解析]　2t0时刻速度大小v2＝a1·2t0＝t0,3t0时刻的速度大小为v3＝v2＋a2t0＝·2t0＋·t0＝，3t0时刻力F＝3F0，所以瞬时功率P＝3F0·v3＝，A错，B对；0～3t0时间内，水平力对物体做的功W＝F0x1＋3F0x2＝F0×·(2t0)2＋3F0·t0＝，平均功率＝＝，C错，D对。

[答案]　BD

◆易错警示

求解功率时应注意的3个问题

1．首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。

2．平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。

3．瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。

[跟踪训练]

1．一个高中生骑电动车以20 km/h的速度匀速行驶，电动车所受的阻力是人和车总重力的。已知人和车的总质量约为80 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，则此时电动车电机的输出功率约为(　　)

A．50 W　　 B．100 W　　

C．450 W　　 D．800 W

[解析]　车在匀速行驶时，人和车受力平衡，人和车受到的阻力大小为f＝mg＝×800 N＝80 N，此时的功率P＝Fv＝fv＝80× W＝444 W，所以选项C正确。

[答案]　C

考点三　机车启动问题

1．机车启动的两种方式

2.三个重要关系式

(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。

(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速率不是最大，即v＝＜vm＝。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。

[例2]　(2020·常州模拟)高速连续曝光照相机可在底片上重叠形成多个图象。现利用这架照相机对某款家用汽车的加速性能进行研究，图为汽车做匀加速直线运动时连续三次曝光的照片，图中汽车的实际长度为4 m，照相机每两次曝光的时间间隔为2.0 s。已知该汽车的质量为1 000 kg，额定功率为90 kW，汽车运动过程中所受的阻力始终为1 500 N。

(1)求该汽车的加速度大小；

(2)若汽车由静止开始以此加速度做匀加速运动，则匀加速运动状态能保持多长时间？

(3)汽车所能达到的最大速度是多少？

(4)若该汽车从静止开始运动，牵引力不超过3 000 N，求汽车运动2 400 m所用的最短时间(汽车已经达到最大速度)。

[解析]　(1)由图可得汽车在第一个2 s时间内的位移x1＝9 m，在第二个2 s时间内的位移x2＝15 m

故汽车的加速度a＝＝1.5 m/s2。

(2)由F－f＝ma得，汽车的牵引力

F＝f＋ma＝1 500 N＋1 000×1.5 N＝3 000 N

汽车做匀加速运动的末速度

v＝＝ m/s＝30 m/s

故匀加速运动保持的时间t1＝＝ s＝20 s。

(3)汽车所能达到的最大速度

vm＝＝ m/s＝60 m/s。

(4)由(2)知匀加速运动的时间t1＝20 s，

运动的距离x1′＝t1＝×20 m＝300 m

所以，以额定功率运动的距离

x2′＝2 400 m－300 m＝2 100 m

对以额定功率运动的过程，由动能定理得

P额t2－fx2′＝mv－mv2

解得t2＝50 s

所以所求时间为t总＝t1＋t2＝20 s＋50 s＝70 s。

[答案]　(1)1.5 m/s2　(2)20 s　(3)60 m/s　(4)70 s

◆方法技巧

机车启动问题的求解方法

1．机车的最大速度vmax的求法

无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力f)。

2．机车匀加速启动时，做匀加速直线运动的时间t的求法

牵引力F＝ma＋f，匀加速运动的最大速度vmax′＝，时间t＝。

3．瞬时加速度a的求法

根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。

[跟踪训练]

2．(多选)(2021·江西赣中南五校联考)质量为m的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度—时间图象如图所示。从t1时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则(　　)

A．0～t1时间内，汽车的牵引力做功的大小等于汽车动能的增加量

B．t1～t2时间内，汽车的功率等于v1

C．汽车运动的最大速度v2＝v1

D．t1～t2时间内，汽车的平均速度等于

[解析]　0～t1时间内，汽车加速度a＝，由牛顿第二定律F－Ff＝ma，解得F＝m＋Ff。t1～t2时间内，汽车的功率P＝Fv1＝v1，选项B正确；由P＝Ffv2可得汽车运动的最大速度v2＝＝v1，选项C正确；根据动能定理，0～t1时间内，汽车的牵引力做功的大小减去克服阻力做的功等于汽车动能的增加量，选项A错误；t1～t2时间内，汽车的平均速度大于，选项D错误。

[答案]　BC

变力做功的几种计算方法

方法一　利用动能定理计算

利用公式W＝Flcos α不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。

[典例1]　如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)

A.mgR　　　　　　　 B.mgR

C.mgR  D.mgR

[解析]　在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝m，FN＝2mg，联立解得v＝，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功为mgR，C正确。

[答案]　C

方法二　利用微元法计算

将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。

[典例2]　如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)。用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求这一过程中：

(1)拉力F做的功；

(2)桥面对物块的摩擦力做的功。

[解析]　(1)将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2…Wn。因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°…Wn＝Flncos 37°

所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°··2πR≈376.8 J。

(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0

所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J。

[答案]　(1)376.8 J　(2)－136.8 J

方法三　化变力为恒力求变力做功

变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

[典例3]　(2019·南平检测)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块经B、C两点的动能分别为EkB和EkC，图中AB＝BC，则(　　)

A．W1＞W2

B．W1＜W2

C．W1＝W2

D．无法确定W1和W2的大小关系

[解析]　轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δx，Δx为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位

移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知，ΔxAB＞ΔxBC，故W1＞W2，A正确。

[答案]　A

方法四　利用F­x图象求变力做功

在F­x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。

[典例4]　(2020·洛阳模拟)轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g＝10 m/s2)(　　)

A．3.1 J　　 B．3.5 J

C．1.8 J　　 D．2.0 J

[解析]　物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F­x图象与x轴所围面积表示功可知F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由于物块运动至x＝0.4 m处时，速度为0，由功能关系可知，W－Wf＝Ep，此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。

[答案]　A