专题15 角的概念和性质（专题强化-基础）-2021-2022学年七年级数学上册期中期末考点大串讲（沪科版）

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专题15 角的概念和性质（专题强化-基础）

一、单选题
1．（2021·江苏沭阳·初一期末）如图，点、、在一条直线上，此图中大于且小于的角的个数是（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形依次写出且小于的角即可求解.
【详解】
大于0°小于180°的角有∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠BOD，∠COD，共5个．
故选C.
【点睛】
此题主要考查了角的定义，即由一个顶点射出的两条射线组成一个角．
2．（2021·内蒙古科尔沁·初一期末）如图所示，下列表示的方法中，正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角的表示方法即可得到结果；
【详解】
由图可知，．
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了角的表示，准确分清角的表示是解题的关键．
3．（2021·全国初一课时练习）下列说法正确的是（ ）．
A．平角的终边和始边不一定在同一条直线上
B．角的边越长，角越大
C．大于直角的角叫做钝角
D．两个锐角的和不一定是钝角
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用角的定义及平角，钝角的定义分别分析得出答案．
【详解】
解：A、平角的终边和始边一定在同一条直线上，故A错误；
B、角的大小与边的长短无关，故B错误；
C、钝角是大于直角且小于平角的角，故C错误；
D、两个锐角的和不一定是钝角，故D正确；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了角的定义以及平角，钝角的定义，正确把握有关的定义是解题的关键．
4．（2021·福建宁化·初一期末）上午时，钟表的时针与分针的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据钟表中一圈有12个大格，即可求出1个大格对应的角度，然后根据时，时针与分针间有2个大格即可得出结论．
【详解】
解：∵钟表中一圈有12个大格
∴1个大格的对应的角度为360°÷12=30°
∵时，时针与分针间有2个大格
∴此时钟表的时针与分针的夹角为30°×2=60°
故选B．
【点睛】
此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键．
5．（2021·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校）如图所示，射线OP表示的方向是（ ）

A．东偏北65° B．北偏东25° C．北偏西65° D．北偏东65°
【答案】D
【解析】
【分析】
求得OP与正北方向的夹角即可进行判断．
【详解】
解：90°-25°=65°，
则射线OP表示的方向是北偏东65°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了方向角的定义，正确理解定义是解决本题的关键．
6．（2021·山东潍城·初一期末）甲、乙两个城市，乙城市位于甲城市北偏东50°方向，距离为80km，那么甲城市位于乙城市（　　）
A．南偏东50°方向，距离为80km
B．南偏西50°方向，距离为80km
C．南偏东40°方向，距离为80km
D．南偏西40°方向，距离为80km
【答案】B
【解析】
【分析】
首先作出甲与乙的位置示意图，然后根据平行线的性质可以直接写出．
【详解】
解：如图：

∵乙城市位于甲城市北偏东50°方向，距离为80km，
∴甲城市位于乙城市南偏西50°方向，距离为80km，
故选：B．
【点睛】
本题考查方位角、平行线的性质的应用，熟悉方位角，掌握平行线的性质是解答的关键．
7．（2021·四川开江·初一期末）下列说法中正确的是（　　）
A．直线比射线长
B．AB＝BC，则点B是线段AC的中点
C．平角是一条直线
D．两条直线相交，只有一个交点
【答案】D
【解析】
【分析】
直线和射线都无限长；经过一点可以画无数条直线；平角不是一条直线是角；两条直线相交，只有一个交点．
【详解】
解：A、直线和射线都无限长；故不符合题意；
B、当点B在线段AC上时，如果AB＝BC，则点B是线段AC的中点；故不符合题意；
C、平角不是一条直线是角；故不符合题意；
D、两条直线相交，只有一个交点，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查角，直线、射线、相交线，两点间的距离，正确的理解概念是解题的关键．
8．（2021·广东福田·初一期末）下列结论正确的个数是（ ）个.
①分；②七棱柱有14个顶点；③两点之间线段最短；④各边相等的多边形是正多边形；⑤是5次单项式.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据度数定义判定即可;②根据棱柱顶点定义判定即可;③根据两点之间线段最短判定即可;④举出反例即可;⑤根据单项式的定义判定即可.
【详解】
①1°=60′,错误;②七棱柱有14个顶点,正确;③两点之间线段最短,正确;④各边相等的多边形是正多边形,错误,例如菱形;⑤是2次单项式,错误;
故选B.
【点睛】
本题考查多个定义,关键在于熟练掌握定义.
9．（2021·山东兰山·初一月考）给出下列 5 命题，其中真命题的个数为（ ）
①两个锐角之和一定是钝角；②直角小于平角；③同位角相等，两直线平行；④内错角互补，两直线平行；⑤如果a＜b，b＜c，那么a＜c．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据锐角、钝角、直角、平角的定义、平行线的判定定理和不等式的传递性逐一判断即可．
【详解】
①若∠1=30°，∠2=20°，则∠1＋∠2=50°，所以两个锐角之和不一定是钝角，故①不是真命题；
②直角小于平角，故②是真命题；
③同位角相等，两直线平行，故③是真命题；
④内错角互补，两直线不一定平行，故④不是真命题；
⑤如果a＜b，b＜c，那么a＜c，故⑤是真命题．
共有3个真命题
故选C．
【点睛】
此题考查的是真假命题的判断，掌握锐角、钝角、直角、平角的定义、平行线的判定定理和不等式的传递性是解决此题的关键．
10．（2021·云南镇康·初一期末）如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在A'处，点E落在边BA'上的E'处，则∠CBD的度数是（　　）

A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】B
【解析】
试题解析：根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．故选B．
【点睛】由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求得∠CBD的度数．此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质．

二、填空题
11．（2021·江苏金湖·初一期末）如图，点在直线上，(三点在一条直线上，)若，已知，则________°

【答案】40
【解析】
【分析】
根据平角的定义,再根据垂直的定义，再由即可求出∠2的度数．
【详解】
解：因为三点在一条直线上，
所以,
因为，
所以，
因为
所以，即．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查平角的定义和垂直的定义．熟练理解这些基本知识是解决此题的关键．
12．（2021·广东源城·正德中学初一期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠COE是直角，∠1=44°，则∠2=______.

【答案】46°
【解析】
【分析】
根据∠2=180°-∠COE-∠1，可得出答案．
【详解】
解：由题意得∠2=180°-∠COE-∠1=180°-90°-44°=46°．
故答案为：46°.
【点睛】
本题考查平角、直角的定义和几何图形中角的计算.能识别∠AOB是平角且它等于∠1、∠2和∠COE三个角之和是解题关键.
13．（2021·安徽相山·初一期末）想一想，我们见到的时钟，点分时，时针与分针夹角是___________________
【答案】130
【解析】
【分析】
根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则3点40分时，分针从12开始转了40×6°=240°，时针从3开始转了40×0.5°=20°，然后计算240°-3×30°-20°即可．
【详解】
3点40分时，分针从12开始转了40×6°=240°，
时针从3开始转了40×0.5°=20°，
所以此时时针与分针所夹角的度数=240°-3×30°-20°=130°．
故答案为：130．
【点睛】
本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
14．（2021·安徽田家庵·初一期末）如图，是北偏东方向的一条射线，，则的方位角是_________.

【答案】北偏西60°
【解析】
【分析】
利用已知得出的度数，进而得出的方位角.
【详解】
如图所示：是北偏东方向的一条射线，，
，
的方位角是北偏西.
故答案为：北偏西.

【点睛】
此题主要考查了方位角，正确利用余角的性质得出度数是解题关键.

三、解答题
15．（2021·河南长葛·初一期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，，，点C为OP的中点，回答下列问题：

（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．
【答案】（1）图中到小明家距离相同的是学校和公园；（2）学校在小明家东偏北45°方向2km处，商场在小明家西偏北60°方向3.5km处，停车场在南偏东60°方向4km处．
【解析】
【分析】
（1）由点C为OP的中点，可得出OC=2km，结合OA=2km，即可得出距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）观察图形，根据OA，OB，OP的长度及图中各角度，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点C为OP的中点， ∴OC=OP=×4=2km，
∵OA=2km，
∴距小明家距离相同的是学校和公园．
（2）学校在小明家北偏东45°的方向上，且到小明家的距离为2km，
商场在小明家北偏西30°的方向上，且到小明家的距离为3.5km，
停车场在小明家南偏东60°的方向上，且到小明家的距离为4km．
【点睛】
本题考查了坐标确定位置，解题的关键是：（1）利用点C为OP的中点，找出OC=OA；（2）观察图形，找出学校、商场、停车场相对于小明家的位置．
16．（2021·安徽合肥·初一期末）如图，已知∠AOD＝90°，OC平分∠BOD，∠AOB与∠BOC的度数的比是4︰7
（1）求∠AOB的度数．
（2）若以点O为观察中心，以OD为正北方向，则从方位角来说，射线OC在什么方向？

【答案】（1）20°；（2）点O为观察中心，射线OC在北偏东35°
【解析】
【分析】
（1）设∠AOB=4x°，则∠BOC=7x°，然后由角平分线的定义得到∠BOD=14 x°，根据∠AOD＝90°列方程求出x，进而得出∠AOB的度数；
（2）求出∠COD的度数，根据方向角的表示方法，可得答案．
【详解】
解：（1）设∠AOB=4x°，则∠BOC=7x°
∵OC平分∠BOD
∴∠COD=∠BOC=7x°，∠BOD=14x°
∵∠AOD＝90°
∴4x+14x=90
x=5
4x=20
即∠AOB=20°；
（2）∠COD=（5×7）°=35°
∴点O为观察中心，以OD为正北方向，则OA为正东方向，射线OC在北偏东35°．

【点睛】
本题考查方向角，利用了角平分线的性质，角的和差，方向角的表示方法等．
17．（2021·广西北流·初一期末）已知轮船在灯塔的北偏东30°的方向上，距离为30海里，轮船在灯塔的南偏东45°的方向上，距离20海里．
（1）请用1个单位长度表示10海里，在图上画出、的位置．
（2）求从灯塔看两轮船的视角的度数．

【答案】（1）见解析；（2）两轮船的视角∠APB的是105°
【解析】
【分析】
（1）根据方向角的定义画出图形即可；
（2）根据角的和差计算即可．
【详解】
解：(1) 如图所示，A、B就是所求作的点．

(2)由题意可知，得:
∠APN＝30°，∠BPS＝45°，
∠APB＝180°－∠APN－∠BPS
＝180°－30°－45°
＝105°．
答：两轮船的视角∠APB的是105°．
【点睛】
本题考查了方向角，熟练掌握方向角的意义是解答本题的关键．在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．
18．（2021·山西平定·初一期末）综合与探究
（实践操作）三角尺中的数学
数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
（问题发现）
（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是　 　，∠DCB的度数　 　，∠ECD的度数是　 　．
②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
（类比探究）
（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．

【答案】（1）①55°， 55°， 35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）先计算出，再根据即可求解；
（2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得；
（3）利用周角定义得，而，即可得到．
【详解】
解：（1）①，
；
②结论：，；
证明：∵，
∴
∵
∴
（2）结论：当与没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴上述②中发现的结论依然成立．
故答案为：（1）①55°， 55°， 35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析
【点睛】
本题考查了角的和差关系、余角的性质以及周角的定义，结合图形认真审题是解题的关键．
19．（2021·河北景县·初一期末）观察思考：

（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；
（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角?
（3）3条射线呢?你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角?
请你先解答以上问题，再结合已学过的知识，针对类似的图形也提出三个问题并作答．(要求：画出图形，写出题干，提出问题并作答)
【答案】（2）6；（3）10；有个不同的角；提出三个问题并作答见解析.
【解析】
【分析】
（2）根据图1直接数出即可；
（3）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数；把角换成线段，增加的射线条数换成线段上点的个数解答即可．
【详解】
解：（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，如图1，则图中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共1+2+3=6个不同的角；

（3）在∠AOB内部画3条射线OC、OD、OE，如图2，在图1 的基础上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10个不同的角；

若在∠AOB内部画n条射线，则有个不同的角．
提出问题：
（1）如图3，线段AB上有一个点C，则图3中共有 条不同的线段；
（2）如图4，线段AB上有两个点C、D，则图中共有几条不同的线段？
（3）线段AB上有3个点呢?你能发现什么规律，表示出线段AB上有n个点时能有几条不同的线段?

解：（1）图3中有：AC、AB、CB共3条不同的线段；
故答案为：3；
（2）如图4，图中有：AC、AD、AB、CD、CB、DB共1+2+3=6条线段；
（3）线段AB上有3个点C、D、E时，如图5，在图4的基础上增加了线段AE、BE、CE和DE，共有6+4=10条不同的线段；

线段AB上有n个点时，则有条不同的线段．
【点睛】
本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键．
20．（2021·江西南昌·初一期末）如图，时钟是我们常见的生活必需品，其中蕴含着许多数学知识.

（1）我们知道，分针和时针转动一周都是 度，分针转动一周是 分钟，时针转动一周有12小时，等于720分钟；所以，分针每分钟转动 度，时针每分钟转动 度.
（2）从5:00到5:30，分针与时针各转动了多少度？
（3）请你用方程知识解释：从1:00开始，在1:00到2:00之间，是否存在某个时刻，时针与分针在同一条直线上？若不存在，说明理由；若存在，求出从1:00开始经过多长时间，时针与分针在同一条直线上.
【答案】（1）360，60，6，0.5.（2）15°；（3）经过分钟或分钟时针与分针在同一条直线上.
【解析】
【分析】
（1）利用钟表盘的特征解答.表盘一共被分成60个小格，每一个小格所对角的度数是6°；
（2）从5:00到5:30，分针转动了30个格，时针转动了2.5个格，即可求解；
（3）时针与分针在同一条直线上，分两种情况：①分针与时针重合；②分针与时针成180°，
设出未知数，，列出方程求解即可.
【详解】
解：（1）分针和时针转动一周都是360度，分针转动一周是60分钟，时针转动一周有12小时，等于720分钟；所以，分针每分钟转动360°÷60=6度，时针每分钟转动360°÷720=0.5度.
故答案为360，60，6，0.5.
（2）从5:00到5:30，分针转动了：6°×30=180°，时针转动了6°×2.5=15°；
（3）从1:00开始，在1:00到2:00之间，存在某个时刻，时针与分针在同一条直线上.
设x分钟分针与时针重合，
则，0.5+30°=6x
解得
设y分钟分针与时针成180°，
0.5y+30°+180°=6y
解得
∴经过分钟或分钟时针与分针在同一条直线上.
点睛：本题考查了钟面角及一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.
21．（2021·湖北枣阳·初一期末）（1）如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60º方向有一艘船P，同时，从B地发现这艘船P在它北偏东40º方向．试在图中画出这艘船P的位置．


（2）如图，O为直线AB上一点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．

①若∠COF=40°，求∠BOE的度数；
②若∠COF=a，求∠BOE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①80º；②2α
【解析】
【分析】
（1）根据方向角的定义确定点P的位置即可．
（2）①求出∠EOF和∠AOE的度数即可判断；
②同①的方法可得结论．
【详解】
解：（1）如图点P即为所求．

（2）①∵∠COE=90°，∠COF=40°，
∴∠EOF=90°-40°=50°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=100°，
∴∠BOE=180°-100°=80°．
②∵∠COE=90°，∠COF=α，
∴∠EOF=90°-α，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2α，
∴∠BOE=180°-（180°-2α）=2α．
故答案为：2α．
【点睛】
（1）本题考查作图-应用与设计，方向角等知识，解题的关键是掌握方向角的定义；
（2）本题考查角的计算，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（2021·湖北郧西·初一期末）如图，直线SN为南北方向，OB的方向是南偏东60°，∠SOB与∠NOC互余，OA平分∠BON．
（1）射线OC的方向是　 　．
（2）求∠AOC的度数．

【答案】（1）北偏东30°；（2）∠AOC＝30°．
【解析】
【分析】
（1）先根据余角的定义计算出∠NOC，然后得到OC的方向；
（2）由OB的方向是南偏东60°得到∠BOE=30°，则∠NOB=120°，根据OA平分∠NOB得到∠NOA=60°，再根据角的和差计算即可．
【详解】
解：（1）由OB的方向是南偏东60°，可得∠SOB＝60°，
∵∠SOB与∠NOC互余，
∴∠NOC＝90°﹣∠SOB＝30°，
∴OC的方向是北偏东30°；
故答案为：北偏东30°；
（2）∵OB的方向是南偏东60°，
∴∠BOE＝30°，
∴∠NOB＝30°+90°＝120°，
∵OA平分∠BON，
∴∠NOA＝∠NOB＝60°，
∵∠NOC＝30°，
∴∠AOC＝∠NOA﹣∠NOC＝60°﹣30°＝30°．
【点睛】
本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度，若正好为45度，则表示为正西（东）南（北）．
23．（2021·浙江宁波·初一期末）如图，已知,射线.

请画出的平分线;
如果，射线分别表示从点出发东、西两个方向，那么射线 方向，射线表示 方向.
在的条件下，当时，在图中找出所有与互补的角，这些角是_ .
【答案】（1）详见解析；（2）北偏东20°，北偏西35°；（3）
【解析】
【分析】
（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OB、ON相交于两点，再分别以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，然后过点O与这点作射线OC即为所求；
（2）过点O作OE⊥AB，根据垂直的定义以及角平分线的定义求出∠EON与∠COE，然后根据方位角的定义解答即可；
（3）根据∠AON=60°，利用平角的定义可得∠BON，利用角平分线的定义求出∠CON=60°，然后求出∠AOC=120°从而得解.
【详解】
解：（1）如图所示，OC即为∠BON的平分线；

（2）过点O作OE⊥AB，
∵∠AON=70°，
∴∠EON=90°-70°=20°，
∴ON是北偏东20°，
∵OC平分∠BON，
∴∠CON=（180°-70°）=55°，
∴∠COE=∠CON-∠EON=55°-20°=35°，
∴OC是北偏西35°；
故答案为：北偏东20°；北偏西35°.
（3）∵∠AON=60°，OC平分∠BON，
∴∠CON=（180°-60°）=60°，
∴∠AOC=∠CON+∠AON=60°+60°=120°，
∴∠AOC+∠AON=180°，
又根据平角的定义得，∠BON+∠AON=180°，
∴与∠AON互补的角有∠AOC，∠BON；
故答案为：∠AOC，∠BON.
【点睛】
本题考查了复杂作图，角平分线的定义，方位角，以及余角与补角，比较简单，作角平分线是基本作图，一定要熟练掌握．