专题04 代数式的有关概念和性质（专题强化-基础）-2021-2022学年七年级数学上册期末考点大串讲（沪科版）

专题04 代数式的有关概念和性质(专题强化-基础)

一、单选题（每题4分，共40分）

1．（2021·贵州松桃·初一期末）有一个两位数，个位数字是，十位数字是，则这个两位数可表示为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为m代表十位这个数字的大小，根据代数式的表示即可.

【详解】解：m代表十位数字的大小，n代表个位数字的大小，所以这个两位数为10m+n

    故选B

【点睛】本题考查了用字母表示数及列代数式，解题的关键是掌握代数式的表达方式.

2．（2021·上海市静安区实验中学初一课时练习）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度=总路程除以总时间，进行列式化简即可.

【详解】设A地到B地路程为“1”，

∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，

∴平均速度为：.

故选B.

【点睛】本题考查列代数式及分式化简，掌握平均速度的求法是解题的关键.

3．（2021·普洱市思茅区第四中学初三二模）有这样一列代数式：，，，，，，…，则第11个代数式是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先分析各单项式系数特点，得到第n项系数是，据此解题．

【详解】由题意知：这列代数式的奇数项是含字母x的一次单项式，偶数项是常数，

第11个代数式是

故选:C

【点睛】本题考查数式规律、代数式求值等知识，是基础考点，掌握其中规律是解题关键．

4．（2021·河南邓州·初一期末）关于代数式“”意义，下列表述错误的是（    ）

A．4个相乘 B．的4倍 C．4个相加 D．4的倍

【答案】A

【解析】根据代数式“”表示的是4与的乘积即可得.

【详解】因为“”表示的是4与的乘积，其含义有：的4倍、4的倍、4个相加，所以B、C、D三个选项正确，而A选项“4个相乘”的代数式是，A选项不正确.

故答案为：A.

【点睛】本题考查了代数式的书写格式：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，也可写成“”，数字与数字相乘，乘号不能省略；（2）数字要写在前面；（3）带分数一定要写成假分数；（4）在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；（5）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.

5．（2021·全国初二课时练习）在式子3，，，，中，代数式的个数为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】B

【解析】根据代数式的定义：用运算符号连接而成的式子逐一判断即可．

【详解】解：3，，，是代数式，是方程，不是代数式，所以是代数式的式子共4个．

故选B．

【点睛】本题考查的是代数式的定义，属于基础概念题型，熟知定义是解题关键．

6．（2021·全国初一课时练习）下列式子中，符合代数式的书写要求的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据代数式的书写要求对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】解：A、应该写成，故本项错误；

B、应该写成，故本项错误；

C、应该写成，故本项错误；

D、写法正确，故本项正确.

故选择：D.

【点睛】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“ • ”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．

7．（2021·上饶市实验中学初一期末）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（　　　）

A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：2

【答案】D

【解析】将两式相减可得，从而判断C；然后求出，从而判断A、B和D．

【详解】解：由题意可得：

①－②，得

解得：，故C错误；

将代入①，得

解得：

∴b＞c＞a

∴乙的工作效率最高，故A、B错误；

b：c=3a：2a=3：2，故D正确．

故选D．

【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的各个量之间的关系和消元法是解决此题的关键．

8．（2021·丹阳市珥陵初级中学初一期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d的值为（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】D

【解析】由已知方程求得x2﹣2x＝4，将d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4代为x2（x2﹣2x）+（x2﹣2x）﹣8x﹣4，通过两次代值计算便可．

【详解】解：∵x2﹣2x﹣4＝0，

∴x2﹣2x＝4，

∴d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4＝x2（x2﹣2x）+（x2﹣2x）﹣8x﹣4＝4x2+4﹣8x﹣4＝4（x2﹣2x）＝4×4＝16．

故选：D．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，关键是通过因式分解把所求代数式转化为含x2-2x的代数式形式．

9．（2021·内蒙古昆都仑·初二期末）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为（ ）

A．6 B．12 C．32 D．64

【答案】C

【解析】

分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．

【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°．∴∠2=120°．

∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°．

又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°．

∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1．∴A2B1=1．

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．

∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3．

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°．∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3．

∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16．

以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的边长为32．故选C．

10．（2021·山东牡丹·初二期末）按照如图所示的计算程序，若输入的x＝﹣3，则输出的值为﹣1：若输入的x＝3，则输出的结果为（　　）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【解析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入﹣3时，得出y的值．

【详解】∵当输入x的值是﹣3，输出y的值是﹣1，

∴﹣1=，

解得：b=1，

故输入x的值是3时，y==3．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确得出b的值是解题关键．

二、填空题（每题5分，共20分）

11．（2021·山东单县·初一期末）已知，则代数式的值为_______________________．

【答案】-8

【解析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案．

【详解】∵

，

∵，

∴，

又，

∴原式=2×(-4)
=-8．
故答案为：-8．

【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．

12．（2021·甘肃省庆阳市第五中学初二期末）已知是方程的一个根，则代数式的值是________．

【答案】-5

【解析】根据方程根的概念可得，将所求代数式变形为，然后利用整体代入的方法进行求解即可得．

【详解】∵是方程的一个根，

∴，即，

∴

=

=-5，

故答案为：-5．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念是解题的关键．

13．（2021·全国单元测试）把196米减去它的后，再减去米，还剩下______米．

【答案】

【解析】先依据分数乘法意义，求出第一次减去的长度，再用总长度分别减第一次和第二次减去的长度即可解答．

【详解】解：

=

=

=．

故答案为：．

【点睛】解答本题的关键是：依据分数乘法意义，求出第一次减去的长度．

14．（2021·山西尧都·初三月考）用形状和大小相同的按如图所示的方式排列，按照这样的规律，第个图形有______个．

【答案】

【解析】通过分析前3个图形，找到规律，利用规律即可得出答案．

【详解】通过观察可知，

第一个图形中有4个， ；

第二个图形中有7个， ；

第三个图形中有10个， ；

……

则第n个图形中有个 ；

故答案为：．

【点睛】本题主要考查图形的规律，找到规律是解题的关键．

三、解答题

15．8分（2021·山西文水·初一期末）爱读书是一种美德,快乐读书吧为促进孩子们阅读,特推出借阅活动,有两种付费方式.(每借阅一本为一次)

方式一:先购买会员证,每张会员证50元,只限本人当年使用,凭证借阅每次再付费1元;

方式二:不购买会员证,每次借阅付费3元.

(1)若小明一年内借阅次.(为正整数)

则两种方式所需费用分别为:

方式一:               元;    

方式二:               元.

(2)今年,小明要利用课余时间加强阅读,计划借阅30次,小明选择哪种付费方式较合算?并说明理由.

【答案】(1) ， ；(2) 方式一更合算.

【解析】（1）根据题意，直接写出两种方式的费用，即可；

（2）当时，分别求出两种方式的费用，再进行大小比较，即可得到结论．

【详解】（1）由题意得：方式一所需费用为：元，方式二所需费用为：元．

故答案是：，；                       

（2）方式一合算，理由如下： 

当时，

，

，                     

∵80<90，                                     

∴方式一更合算．

【点睛】本题主要考查代数式的实际应用，根据数量关系，列出代数式，是解题的关键．

16．8分（2021·山西朔城·初一期末）如图， 在宽为米，长为米的长方形地面上，修筑宽度为米的两条互相垂直的小路，余下的部分作为草地，现给两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是每平米元．

（1）买地砖需要多少元? (用含的式子表示)；

（2）当时，计算地砖的费用．

【答案】（1）；（2）11250元

【解析】（1）根据图形的特点表示出地砖的面积，即可求解；

（2）把，代入（1）中的代数式即可求解.

【详解】解:依题意, 地砖的面积为,

所以买地砖至少需要元

当时，

.

所以当时,地砖的费用是元.

【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据图形的特点表示出地砖的面积.

17．8分（2021·西安高新第一中学初中校区初一期末）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在着神奇的“黑洞数”现象：

(1)请你用不同的三个数再试试，你发现了什么“神奇”的现象？

(2)请用所学过的知识现象解释一下(1)中的发现．

【答案】(1) 大数减去小数都是198,交换后都是981,后面的和都是1089;(2)详见解析.

【解析】(1)任选三个数代入即可.

(2)利用设代数式的方法设出这三位数代入即可.

【详解】(1)①代入321,交换百个数字:123,用大数减去小数:321-123=198,交换百个数字:981,做加法:198+891=1089.

②代入977,交换百个数字:779,用大数减去小数:977-779=198,交换百个数字:981,做加法:198+891=1089.

②代入583交换百个数字:385,用大数减去小数:583-385=198,交换百个数字:981,做加法:198+891=1089.

发现:大数减去小数都是198,交换后都是981,后面的和都是1089.

(2)设这三位数为100a+10b+a-2.则交换百个数字:100(a-2)+10b+a.

用大数减去小数:100a+10b+a-2-[100(a-2)+10b+a]=198.

故满足条件的三位数最后结果都是一样的.

【点睛】本题考查代数式的应用,关键在于三位数的设法.

18．8分（2019·浙江全国·初一课时练习）代数式8x＋5y可以表示很多意义，例如：若x表示苹果每千克的钱数，y表示香蕉每千克的钱数，则8x＋5y表示买8 kg苹果和5 kg香蕉共花的钱数．请你给8x＋5y赋予另一种实际意义．

【答案】见解析

【解析】同一个代数式可以表示不同的实际意义，本题答案不唯一，但一定要写出与生活实际联系的代数式意义.

【详解】解：若x表示成人的门票价格，y表示儿童的门票价格，则8x＋5y表示8个成人和5个儿童购买门票共用的钱数(答案不唯一)

【点睛】本题考查代数式的实际意义.

19．10分（2019·甘肃临泽·初一月考）按下列程序计算．

填写表格：

请将题中计算程序用代数式表示出来，并进行化简．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）将各数代入程序计算后填写表格即可；

（2）根据程序列出代数式，根据运算法则化简即可．

【详解】（1）

填写表格：

（2）根据题意得：

【点睛】本题考查的是列代数式及整式的混合运算，能根据程序正确的列出代数式是关键．

20．10分（2021·江苏太仓·初一期中）已知：，．求下列代数式的的值．

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】（1）3；（2）31；（3）25．

【解析】（1）把多项式乘积展开，再将已知代入，即可求解；

（2）根据（1）得到，再利用完全平方公式，即可求解；

（3）根据将用来表示，再代入，合并同类项即可求解．

【详解】解：（1）∵，而，

∴ ．

故答案为．

（2）由（1）知，

∴ ．

故答案为．

（3）∵，得，

则．

故答案为．

【点睛】本题目考查整式的乘法，难度一般，是常考知识点，熟练掌握代数式之间的转化是顺利解题的关键．

21．12分（2021·浙江慈溪·初三期末）解下列两题：

(1)已知，求的值；

(2)已知α为锐角，且2sinα=4cos30°﹣tan60°，求α的度数．

【答案】(1) 6；(2) 锐角α=30°

【解析】（1）根据等式,设a=3k，b=4k，代入所求代数式化简求值即可；

（2）由cos30°=，tan60°=，化简即可得出sinα的值，根据特殊角的三角函数值即可得．

【详解】解：(1)∵，

∴设a=3k，b=4k，

∴==6，

故答案为：6；

(2)∵2sinα=4cos30°﹣tan60°=4×﹣=，

∴sinα=，

∴锐角α=30°，

故答案为：30°．

【点睛】本题考查了化简求值，特殊角的三角函数值的应用，掌握化简求值的计算是解题的关键．

22．12分（2021·江苏大丰·初一月考）已知a2+ab=4，ab﹣b2=﹣3，求下列代数式的值．

（1）a2+b2

（2）a2+2ab﹣b2．

【答案】（1）7；（2）1

【解析】（1）已知两式相减即可求出所求代数式的值；
（2）已知两式相加即可求出所求代数式的值．

【详解】解：（1）∵①，②，
∴①−②得：；
（2）∵①，②，
∴①＋②得：．

【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．14分（2021·湖北随州·初一期末）甲、乙两家体有用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动.甲店的优惠办法是:每买一副乒乓球拍赠盒乒乓球:乙店的优惠办法是:按定价的9折出售,某班需购买兵乓球拍4副，乒乓球若干(不少于4盒).

(1)用代数式表示(所填代数式需化简):当购买兵乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款      元，在乙店购买需付款       元:

(2)若只能选择到一家商店购买， 当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算?说出你的理由:

(3)若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球多少盒时，到两家商店所花费用一样多?

(4)若只能选择到一家商店购买，结合(2)(3)的结论，请你回答当购买兵乓球的盒数在什么范围时，到乙商店购买合算.

【答案】（1）5x＋60；4.5x+72；（2）当购买乒乓球盒数为10盒时，到甲商店购买比较合算，理由见解析；（3）当购买乒乓球24盒时，到两家商店所花费用一样多；（4）当购买乒乓球的盒数大于24盒时，到乙商店购买合算.

【解析】（1）根据题意，分别用x表示出甲、乙两店的总付款即可；

（2）将x=10分别代入（1）中的代数式中，然后比较总付款即可判断；

（3）令（1）中两代数式相等，解方程求x即可；

（4）结合(2)(3)的结论，即可发现当x在何范围内时，到乙商店购买合算.

【详解】解：（1）由题意可知：在甲店购买需付款：20×4＋5（x－4）=（5x＋60）元；

在乙店购买需付款：90%（20×4+5x）=（4.5x+72）元.

故答案为5x＋60；4.5x+72；

（2）到甲商店购买比较合算，理由如下，

当x=10时，在甲店购买需付款：5×10＋60=110元

在乙店购买需付款：4.5×10＋72=117元

∵110元＜117元

∴到甲商店购买比较合算

答：当购买乒乓球盒数为10盒时，到甲商店购买比较合算.

（3）由题意可知：5x＋60=4.5x+72

解得：x=24

答：当购买乒乓球24盒时，到两家商店所花费用一样多.

（4）由（3）可知，当购买乒乓球24盒时，到两家商店所花费用一样多，由（2）可知当购买乒乓球盒数为10盒时，到甲商店购买比较合算，即当购买乒乓球小于24盒时，到甲商店购买比较合算

∴当购买乒乓球的盒数x＞24时，到乙商店购买合算.

答：当购买乒乓球的盒数大于24盒时，到乙商店购买合算.

【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和一元一次方程的应用，掌握实际意义各个量之间的关系是解决此题的关键.