专题02 有理数的运算（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学上册期中期末考点大串讲（沪科版）

这是一份专题02 有理数的运算（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学上册期中期末考点大串讲（沪科版），文件包含专题02有理数的运算知识点串讲解析版doc、专题02有理数的运算知识点串讲原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
专题02 有理数的运算（知识点考点大串讲）
【知识点--考点思维导图】

◉知识点一、有理数的加减
1、有理数的加法
（1）定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
（2）法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
3）一个数同0相加，仍得这个数．
备注：利用法则进行加法运算的步骤：
①判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
②确定和的符号(是“+”还是“－”)．
③求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
（3）有理数加法的运算律
1）加法交换律：a+b=b+a
2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
2、有理数的减法
（1）定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
备注：1）任意两个数都可以进行减法运算．
2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
（2）法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：
◎考点1 有理数的加法
例1．（2019·广东省初一月考）有理数、在数轴上的位置如图所示，则的值（ ）

A．大于 B．小于 C．小于 D．大于
【答案】A
【解析】先根据数轴的特点判断出a，b的符号，再根据其与原点的距离判断出其绝对值的大小，然后根据有理数的加法法则得出结果．
【详解】根据a，b两点在数轴上的位置可知，a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，
所以a+b＞0．
故选：A．
【点睛】此题考查数轴,绝对值,有理数的加法法则．解题关键在于用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
例2．（2021·吉林省初三月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先计算-3+2的值，再根据绝对值的意义去绝对值符号即可．
【详解】解：|-3+2|
=|-1|
=1．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法以及求一个数的绝对值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
练习1．（2021·湖北省初三月考）计算等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据有理数的运算法则即可求解．
【详解】=-2
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
练习2．（2021·河北省初一期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为(　　)

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．+6
【答案】A
【解析】抓住示例图形，区别正放与斜放的意义即可列出算式．
【详解】由题意可知：图2中算筹正放两根，斜放5根，则可表示为
(+2)+(﹣5)＝﹣3；
故选A．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算，正确理解图例算筹正放与斜放的意义是关键．
练习3．（2021·河北省初一期末）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）

A．收入88元 B．支出100元
C．收入100元 D．支出188元
【答案】B
【解析】将表中的数据相加，即可得出答案．
【详解】将表中数据相加，得：
-60.00+（-105.00）+88.00+（-23.00）=-100
由题意知：收入为+，支出为-，
∴答案为支出100元．
故选B．
【点睛】本题考查了正、负数的意义的应用，正确理解正、负数的意义是解题的关键．
练习4．（2021·内蒙古自治区中考真题）2021年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：，0，，，，则这5天他共背诵汉语成语（ ）
A．38个 B．36个 C．34个 D．30个
【答案】A
【解析】总成语数= 5天数据记录结果的和+6×5，即可求解．
【详解】解：（+4+0+5-3+2）+5×6=38个，
∴这5天他共背诵汉语成语38个，
故选A.
【点睛】本题考查了正数和负数，正确理解所记录的数的意义，列出代数式是关键．
练习5．（2019·广东省初一月考）如果（）那么（）内应填的数是___________________
【答案】
【解析】根据互为相反数的两个数相加得零可直接求解．
【详解】解：只有互为相反数的两个数和为0，因为3的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查相反数的定义，掌握互为相反数的两个数和为0是解题的关键．
练习6．（2021·内蒙古自治区初一期末）比大而比小的所有整数的和为______．
【答案】
【解析】首先找出比大而比小的所有整数，在进行加法计算即可．
【详解】解：比大而比小的所有整数有，，，0，1，2，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加法，解题关键是找出符合条件的整数，掌握计算法则．
练习7．（2021·四川省初一期末）下面是某个宾馆的五个时钟，显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，你能根据表格给出的国外四个城市与北京的时差，分别在时钟的下方表明前四个时钟所在的城市名称

_____ _____ _____ ____
【答案】伦敦 罗马 北京 纽约
【解析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
【详解】解：由表格，可知北京时间是16点，
则纽约时间为16-13=3点，悉尼时间为16+2=18点，伦敦时间为16-8=8点，罗马时间为16-7=9点，
由钟表显示的时间可得对应城市为伦敦、罗马、北京、纽约、悉尼；
故答案为：伦敦、罗马、北京、纽约．
【点睛】此题考查了正数与负数，弄清各城市与北京的时差是解本题的关键．

◎考点2 有理数的减法
例1．（2021·北京初一期中）某地某天的最高气温是12℃，最低气温是﹣3℃，则该地这一天的温差是（　　）
A．15℃ B．﹣15℃ C．﹣9℃ D．9℃
【答案】A
【解析】依据温差=最高气温-最低气温求解即可．
【详解】该地这一天的温差=12−(−3)=12+3=15℃.
故选：A.
【点睛】考查有理数的减法在实际生活中的应用，掌握有理数的减法法则是解题的关键.
练习1．（2021·江苏省中考真题）计算|﹣1|﹣3，结果正确的是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【解析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得|-1|=1，再根据有理数的减法法则进行计算．
【详解】解：原式＝1﹣3＝﹣2．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，熟悉有理数的减法法则是关键．
练习2．（2019·内蒙古自治区初一期末）设a 是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a－b＋c 的值为（ ）.
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】先分别根据正整数、负整数、绝对值的定义求出a、b、c的值，再代入计算有理数的加减法即可．
【详解】由题意得：，，
则


故选：D．
【点睛】本题考查了正整数、负整数、绝对值的定义、有理数的加减法，熟练掌握各定义与运算法则是解题关键．
练习3．（2021·福建省初一期末）在一次立定跳远测试中，10名学生所测的成绩（单位：厘米）如下：182，160，169，178，180，158，156，163，161，150，则这一组数据中最大值与最小值的差是_________．
【答案】32
【解析】分别得出该组数据的最大值和最小值，再相减得出结果.
【详解】解：该组数据：182，160，169，178，180，158，156，163，161，150中，
最大为182，最小值为150，
故最大值和最小值的差为182-150=32.
故答案为：32.
【点睛】此题考查了有理数的大小比较和有理数减法，弄清题意是解本题的关键．
练习4．（2021·河北省初一期末）用符号(a，b)表示 a、b 两数中较小的一个数，用符号[a，b]表示 a、b 两数中较大的一个数，计算=_____；
【答案】1.5
【解析】根据（a，b）表示a、b两数中较小的一个数，用符号[a，b]表示a、b两数中较大的一个数，分别求出以及的值，进行计算即可.
【详解】根据题意可得：=，，
则：=
故答案为：
【点睛】考查有理数的减法，读懂题目中定义的运算得到以及的值是解题的关键
练习5．（2021·北京初一期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0；（2）3
【解析】（1）利用减法法则变形，再相加减即可得到结果；
（2）利用减法法则变形，结合后相加减即可得到结果．
【详解】（1）解：原式=9+1-10
=0
（2）解：原式=
=
=1+2
=3
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
练习6．（2021·吉林省初一期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位为元）

表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏．盈亏多少．
【答案】盈利49元
【解析】用总数减去其余的各数就是星期六的数量．
【详解】解：458－(－37.8)－(－70.3)－200－138.1－(－9)－188=49(元)
即星期六盈利49元．
【点睛】本题考查有理数的计算．
◉知识点二、有理数的乘除
1、有理数的乘法
（1）有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
②任何数同0相乘，都得0．
备注：① 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
②当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
（2）有理数的乘法运算律：
①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
备注：
①在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
②乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
③运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
2、有理数的除法
（1）倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
备注：①“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
②0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
（2）有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
备注：①一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
②因为0没有倒数，所以0不能当除数．
③法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
◎考点3 有理数的乘法
例1．（2019·天津初三月考）计算的结果等于（ ）
A． B．2
C．-2 D．
【答案】A
【解析】根据有理数的乘法的运算法则：先判断符号，同号为正，异号为负，然后再把数相乘即可.
【详解】=.
故选A.
【点睛】主要考查有理数的运算法则，注意最终符号.
练习1．（2021·湖北省初一期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
【答案】C
【解析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案．
【详解】解：由数轴上点的位置，得
a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．
A、a＜﹣4，故A不符合题意；
B、bd＜0，故B不符合题意；
C、∵|a|＞4，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故C符合题意；
D、b+c＜0，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较、有理数的运算，绝对值的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键
练习2．（2021·安徽省初一期末）计算：
【答案】
【解析】先计算括号内的加法，再根据有理数的乘法法则运算即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．
练习3．（2021·河北省初一期末）若a，b互为倒数，则的值为______________．
【答案】-2
【解析】互为倒数的两个数乘积为1，即ab=1，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵ab互为倒数，
∴ab=1，
把ab=1代入得：﹣2×1=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查倒数的定义，熟知互为倒数的两个数乘积为1是解决此类问题的关键．
练习4．（2021·湖北省初一期末）若a是3的相反数，|b|=4，且ab＜0，则a﹣b的值为________．
【答案】-7
【解析】根据相反数的意义可求得a的值，根据绝对值的意义可求得b的值，继而根据ab