人教版七年级下册8.2 消元---解二元一次方程组导学案

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第17课 二元一次方程组的解法

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课程标准
1. 理解消元的思想；
2. 会用代入法解二元一次方程组.
3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；
4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；
5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．

知识精讲

知识点01 消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

知识点02 代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
注意：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．

代入消元法的一般步骤：
（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。

知识点03 加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
注意：
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．

能力拓展


考法01 用代入法解二元一次方程组
【典例1】用代入法解方程组：
【分析】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．
【答案与解析】
解：由①得 ③
将③代入② ，解得．
将代入③，得x＝3
所以原方程组的解为．
【点睛】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．

【即学即练】m 取什么数值时，方程组的解
（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.
【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；
（2）m=-3，-2，0，.
【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：
解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．
把x=1代入②得，y=0．
所以方程组的解为
请用同样的方法解方程组：．
【分析】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．
【答案与解析】
解：由①得，2x﹣y=2③，
把③代入②得，1+2y=9，
解得：y=4，
把y=4代入③得，x=3，
则方程组的解为
【点睛】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．

【即学即练】解方程组（1）（2）
【答案】
解：
将①代入②：，
得 y=4，
将y=4代入①：2x－12=2
得 x=7，
∴原方程组的解是.
（2）
解：由②，设x=4，y=3
代入①：4－4·3=5
4－12=5
－8=5

∴，，
∴原方程组的解为.
考法02 方程组解的应用
【典例3】如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．
【答案】B．
【解析】
解：，
由①得y=3-x ③
将③代入②得：6x=12，
解得：x=2，
将x=2代入②得：10﹣y=9，
解得：y=1，
将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，
解得：m=2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【典例4】已知和方程组的解相同，求的值．
【分析】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．
【答案与解析】
解：依题意联立方程组
①+③得5x＝10，解得x＝2．
把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以，
又联立方程组，则有，
解得．
所以(2a+b)2011＝-1．
【点睛】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.

【即学即练】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得 已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．

【答案】
解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，
解得：c=﹣5，
把与分别代入ax+by=2，得，
解得：，
则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．
考法03 加减法解二元一次方程组
【典例5】用加减消元法解方程组
【分析】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.
【答案与解析】
解：此式可化为：
由(1)：3x+4y=18 (1)
由(2)：6x+5y=27 (2)
(1)×2：6x+8y=36 (3)
(3)－(2)：3y=9
y=3
代入(1)：3x+12=18
3x=6
x=2
∴
【点睛】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元.

【即学即练】方程组的解为： .
【答案】
【典例6】若关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解．
【分析】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x+y，x-y看作一个整体，则两个方程同解．
【答案与解析】
解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x+y)与(x-y)分别看成一个整体当作未知数，可得 解得：
【点睛】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

【即学即练】三个同学对问题“若方程组的解是，
求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ．
【答案】
解：由方程组的解是，得，
上式可写成，与比较，
可得：．
考法04 用适当方法解二元一次方程组
【典例7】解方程组
【分析】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.
【答案与解析】
解：设，则
原方程组可化为
解得
即 ，所以
解得
所以原方程组的解为．
【点睛】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.

【即学即练】
【答案】
解：去分母，整理化简得，，
②×3－①×2得，，即，
将代入①得，，即，
所以原方程组的解为.
【典例8】试求方程组的解．
【答案与解析】
解：
①－②，整理得 ③
∵，∴13－y≥0，即y≤13，
当时，③可化为，解得；
当时，③可化为，无解.
将代入②，得，解得.
综上可得，原方程组的解为：或.
【点睛】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.

【即学即练】若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．

【答案】
解：方程组，
①×3+②得：11x=22，
解得：x=2，
将x=2代入①得：6﹣y=7，
解得：y=﹣1，
∴方程组的解为，
将代入y=kx+9得：k=﹣5，
则当k=﹣5时，（k+1）2=16．
分层提分


题组A 基础过关练
1．用加减法解方程组下列解法错误的是（ ）
A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y
【答案】D
【解析】
【详解】
本题考查了加减法解二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
A、，可消去x，故不合题意；
B、，可消去y，故不合题意；
C、，可消去x，故不合题意；
D、，得，不能消去y，符合题意．
故选D．
2．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各选项分别计算，即可解答．
【详解】
方程组利用加减消元法变形即可．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
3．解方程组，用加减法消去y，需要（　　）
A．①×2﹣② B．①×3﹣②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2
【答案】C
【解析】
【分析】
先把的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．
【详解】
解：①×2得：4x+6y=2③，
③+②得：7x=9，
即用减法消去y，需要①×2+②，
故选C．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
4．用加减法将方程组中的未知数消去后，得到的方程是（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
方程组两方程相减消去x即可得到结果．
【详解】
解：
②-①得：8y=-16，即-8y=16，
故选D．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×2
【答案】D
【解析】
【详解】
由已知可得，消元的方法有两种，分别为：
（1）要消去y，可以将①×3＋②×5；
（2）要消去x，可以将①×（-5）＋②×2．
故选D
6．用代入消元法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( )
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得y＝2x－5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据代入消元法解二元一次方程组的步骤可知变形②更简单.
【详解】
解：观察方程①②可知，②中的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将②变形为y＝2x－5③，再把③代入①即可求出方程组的解.
故应选D.
【点睛】
本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法解方程组时化简系数较简单的方程是解题的关键.
7．已知a，b满足方程组则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：，
①+②：4a+4b=16
则a+b=4，
故选B．
考点：解二元一次方程组．
8．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．±2 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】
【详解】
二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．
【分析】∵是二元一次方程组的解，∴，解得．
∴．即的算术平方根为2．故选C．
9．若，则x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x的值，利用代入消元法求出y的值即可．
详解：∵，
∴
将方程组变形为，
①+②×2得，5x=5，解得x=1，
把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，
∴方程组的解为．
故选D．
点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
10．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．
【详解】
解：解方程组，得，
∴点（1.5，0.5）在第一象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．
11．若方程组的解满足x+y＝0，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】
试题解析：方程组两方程相加得：4（x+y）=2+2a，即x+y=（1+a），
由x+y=0，得到（1+a）=0，
解得：a=-1．
故选A．
12．在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，
解得且①，
由于乙看错c，所以
②，
解由①②构成的方程组可得：
故选B．
题组B 能力提升练
13．已知，用含的代数式表示=________．
【答案】y=3-2x
【解析】
【详解】

移项得：y=3-2x.
故答案是：y=3-2x．
14．已知、满足方程组，则的值为___．
【答案】1
【解析】
【分析】
首先根据方程组的解的定义正确求出方程组的解，然后计算出x-y或直接让两个方程相减求解．
【详解】
方法一：解方程组，
解得：，
∴x-y=1；
方法二：两个方程相减，得.
x-y=1，
故答案为1.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本方法是解题的关键，同时注意此题中的整体思想．
15．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意，把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．
【详解】
解：根据题意把代入方程组，得
，
①+②，得：7（a+b）=7，
则a+b=1，
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题．
16．若方程组，则的值是_____．
【答案】24．
【解析】
【分析】
把分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．
【详解】
解：
∵，
∴．
故答案为：24．
17．已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．
【答案】5
【解析】
【分析】
①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．
【详解】
解：，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵，
∴2-a=-3，
∴a=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
18．已知是二元一次方程组的解，则m+3n的立方根为　 　．
【答案】2
【解析】
【详解】
把代入方程组，得：，解得，
∴，∴，
故答案为2.
19．若单项式﹣5x4y2m+n与2017xm﹣ny2是同类项，则m-7n的算术平方根是_________.
【答案】4
【解析】
【详解】
试题分析：根据同类项定义由单项式﹣5x4y2m+n与2017xm﹣ny2是同类项，可以得到关于m、n的二元一次方程4=m﹣n，2m+n=2，解得：m=2，n=﹣2，因此可求得m﹣7n=16，即m﹣7n的算术平方根==4，
故答案为 4．
考点：1、算术平方根；2、同类项；3、解二元一次方程组
20．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
方法一：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解；
方法二：根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a,b．
【详解】
详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴将解代入方程组
可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组整理为：
解得：
方法二：∵关于x、y的二元一次方程组的解是
∴方程组的解是
解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
21．若方程组的解是则方程组的解为________
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为：.
题组C 培优拔尖练
22．解下列方程组
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
本题需要把两个方程组化简后，根据方程的形式选用合适的方法求解．
【详解】
（1），
整理得，
两式相减得：，
把 代入中，得；
所以原方程组的解为：．
（2）原方程组变式为，
两式相减得：，
将代入中，得，
解得：．
所以原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了我二元一次方程组的解法，通过变形选择合适的方法求解是快速解题的关键．
23．（1）用代入法解方程组：
（2）用加减法解方程组：
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；
（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.
【详解】
解：（1）
由①得x=3+y③
将③代入②得：y=
将y=代入③得：x=
所以原方程组的解为：
（2）原方程组可化为：
①×2得：6x+4y=24③
②×3得：6x-9y=-15④
③-④得：13y=39，解得：y=3
将y=3代入①中得：x=2
所以原方程组的解为：
【点睛】
本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.
24．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得 ；乙解题时看错了n，解得．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】n = 3 , m = 4，
【解析】
【详解】
试题分析：
由题意可知是方程的解，由此即可求得n的值；是方程的解，由此看求得m的值；这样即可得到正确的原方程组，再解方程组，即可求得原方程组的正确解；
试题解析：
由题意可知是方程的解，
∴，解得n=3；
是方程的解，
∴，解得m=4；
∴原方程组为： ，解此方程组得，
∴m=4，n=3，原方程组的解为：.
点睛：在本题中“甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得 ”这句话的含义是：“”是关于的二元一次方程“”的解.
25．阅读探索
解方程组
解：设a1x，b2y，原方程组可变为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（2）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_______．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设=x，=y，可得出关于x、y的方程组，即可求出x、y的值，进而可求出a、b的值；（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，根据已知方程组的解确定出m、n的值即可.
【详解】
（1）设=x，=y，
原方程组可变形为，
解得：，即，
解得：.
（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，
原方程组可变形为：，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
解得：.
故答案为
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.