专题6.2 功率与机车启动问题-2021年高考物理一轮复习考点扫描学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2690" 【考点扫描】 PAGEREF _Tc2690 1
\l "_Tc13050" 1． 功率 PAGEREF _Tc13050 1
\l "_Tc29708" 2． 功率的计算方法 PAGEREF _Tc29708 1
\l "_Tc5592" 3． 求解功率时应注意的“三个”问题 PAGEREF _Tc5592 2
\l "_Tc1056" 4． 机车功率P=Fv PAGEREF _Tc1056 2
\l "_Tc30255" 5． 模型一 以恒定功率启动 PAGEREF _Tc30255 2
\l "_Tc379" 6． 模型二 以恒定加速度启动 PAGEREF _Tc379 2
\l "_Tc12961" 7． 三个重要关系式 PAGEREF _Tc12961 2
\l "_Tc32702" 8． 倾斜、竖直机车启动问题 PAGEREF _Tc32702 3
\l "_Tc10665" 9． 机车启动a-1/v图像和F-1/v图像问题 PAGEREF _Tc10665 3
\l "_Tc8024" 【典例分析】 PAGEREF _Tc8024 3
\l "_Tc11883" 【专题精练】 PAGEREF _Tc11883 5
【考点扫描】
1． 功率
（1）定义：功与完成这些功所用时间的比值．
（2）物理意义：描述力对物体做功的快慢．
（3）额定功率和实际功率
①额定功率：机械能够长时间工作的最大功率。
②实际功率：机械实际工作时的功率，不能长时间大于额定功率。
2． 功率的计算方法
(1)平均功率的计算
①利用eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)。
②利用eq \x\t(P)＝F·eq \x\t(v)cs α，其中eq \x\t(v)为物体运动的平均速度。
(2)瞬时功率的计算
①利用公式P＝F·vcs α，其中v为t时刻的瞬时速度。
②利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
③利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
3． 求解功率时应注意的“三个”问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．
4． 机车功率P=Fv
（1）F是机车的牵引力,不是机车的合力。
（2）在水平面上：匀速行驶时，F=f；加速行驶时，F-f= ma。
（3）有的问题中f大小恒定，有的问题中f与速率有关f=kv(或kv2)。
5． 模型一 以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
6． 模型二 以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
7． 三个重要关系式
(1)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率达到最大，但速度没有达到最大，即v＝eq \f(P,F)(3)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,Fmin)＝eq \f(P,F阻)(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
8． 倾斜、竖直机车启动问题
9． 机车启动a-1/v图像和F-1/v图像问题
【典例分析】
【例1】(2020·日照联考)汽车发动机的额定功率是60 kW，汽车的质量为2×103 kg，在平直路面上行驶，受到的阻力是车重的0.1倍。若汽车从静止出发，以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，则出发50 s时，汽车发动机的实际功率为(取g＝10 m/s2)( )
A．25 kWB．50 kW
C．60 kWD．75 kW
【答案】C
【解析】汽车受到的阻力f＝0.1mg＝2 000 N，汽车以0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，由牛顿第二定律有F－f＝ma，解得F＝3 000 N；若50 s内车是匀加速运动，则v＝at＝25 m/s，所以50 s末汽车功率P＝Fv＝75 000 W＝75 kW；但汽车发动机的额定功率是60 kW，则50 s内车不是匀加速运动，而是先匀加速后变加速；故出发50 s时，汽车发动机的实际功率为60 kW，选项C正确。
【技巧方法】求解功率时应注意的三个问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
【例2】．(2020·福建闽粤联合体联考)如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列关于重力的功率的说法正确的是( )
A．平均功率PA＞PB B．平均功率PA＝PB C．瞬时功率PA＝PB D．瞬时功率PA＜PB
【答案】D
【解析】：.设斜面的倾角为θ，高度为h，B做自由落体运动，运动时间tB＝eq \r(\f(2h,g))，A做匀加速直线运动，a＝gsin θ，根据eq \f(h,sin θ)＝eq \f(1,2)gsin θ·teq \\al(2,A)得，tA＝eq \r(\f(2h,gsin2θ))，可知tA＞tB；重力做功相等，根据P＝eq \f(WG,t)知，PA＜PB，A、B错误；根据动能定理，mgh＝eq \f(1,2)mv2得，两物体到达地面时的速度大小均为v＝eq \r(2gh)，A物体重力的瞬时功率PA＝mgvsin θ，B物体重力的瞬时功率PB＝mgv，则PA＜PB，C错误，D正确．
【例3】(2020·贵州遵义高三模拟)提高物体(例如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设阻力与物体运动速率的平方成正比，即Ff＝kv2，k是阻力因数)．当发动机的额定功率为P0时，物体运动的最大速率为vm，如果要使物体运动的速率增大到2vm，则下列办法可行的是( )
A．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P0 B．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到eq \f(k,4)
C．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P0 D．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到eq \f(k,16)
【答案】C
【解析】物体匀速运动时，牵引力与阻力相等，由P＝Fvm＝Ffvm＝kveq \\al(3,m)，要使物体运动的速率增大到2vm，阻力因数不变时，需使发动机额定功率增大到8P0，故A错误，C正确；发动机额定功率不变时，需使阻力因数减小到eq \f(k,8)，故B、D错误．
【例4】.(多选)(2020·广东揭阳模拟)质量为400 kg的赛车在平直赛道上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度a与速度的倒数eq \f(1,v)的关系如图所示，则赛车( )
A．速度随时间均匀增大 B．加速度随时间均匀增大
C．输出功率为160 kW D．所受阻力大小为1 600 N
【答案】CD.
【解析】：由题图可知，加速度是变化的，故赛车做变加速直线运动，A错误；由P＝F·v和F－F阻＝ma可得a＝eq \f(P,m)·eq \f(1,v)－eq \f(F阻,m)，由此式可知，赛车速度增大时，加速度逐渐减小，故赛车做加速度逐渐减小的加速运动，B错误；由a＝eq \f(P,m)·eq \f(1,v)－eq \f(F阻,m)结合a－eq \f(1,v)图象可得F阻＝4m(N)，P＝400m(W)，代入数据解得F阻＝1 600 N，P＝160 kW，C、D正确．
【技巧总结】机车启动问题的求解方法
【专题精练】
1．(多选)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时间t，则下列说法中正确的是( )
A．t秒内重力对物体做功为eq \f(1,2)mg2t2
B．t秒内重力的平均功率为mg2t
C．eq \f(t,2)秒末重力的瞬时功率与t秒末重力的瞬时功率之比为1∶2
D．前eq \f(t,2)秒内重力做功的平均功率与后eq \f(t,2)秒内重力做功的平均功率之比为1∶3
【答案】ACD
【答案】物体自由下落，t秒内物体下落h＝eq \f(1,2)gt2，Wt＝mgh＝eq \f(1,2)mg2t2，故A正确；P＝eq \f(W,t)＝eq \f(\f(1,2)mg2t2,t)＝eq \f(1,2)mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前eq \f(t,2)秒末与后eq \f(t,2)秒末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故前eq \f(t,2)秒末与后eq \f(t,2)秒末功率瞬时值之比为P1∶P2＝1∶2，C正确；前eq \f(t,2)秒与后eq \f(t,2)秒下落的位移之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确。
2.(2020·山东烟台高三上学期期末)如图所示，把两个相同的小球从离地面相同高度处，以相同大小的初速度v分别沿竖直向上和竖直向下方向抛出，不计空气阻力．则下列说法中不正确的是( )
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从小球抛出到落地，重力对两小球做的功相等
D．从小球抛出到落地，重力对两小球做功的平均功率相等
【答案】D.
【解析】：由机械能守恒定律得，两小球落地时的速度大小相等，方向相同，A正确；由于两小球落地时速度相同，故重力的瞬时功率相同，B正确；由重力做功公式W＝mgh得，从开始运动至落地，重力对两小球做的功相等，C正确；从抛出至落地，重力对两小球做的功相等，但是两小球运动的时间不同，故重力对两小球做功的平均功率不相等，D错误．
3.(2020·海南海口模拟)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A．3t0时刻的瞬时功率为 eq \f(5Feq \\al(2,0)t0,m)
B．3t0时刻的瞬时功率为 eq \f(15Feq \\al(2,0)t0,m)
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为 eq \f(23Feq \\al(2,0)t0,4m)
D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为 eq \f(25Feq \\al(2,0)t0,6m)
【答案】BD.
【解析】：2t0时刻速度大小v2＝a1·2t0＝eq \f(2F0,m)t0，3t0时刻的速度大小为v3＝v2＋a2t0＝eq \f(F0,m)·2t0＋eq \f(3F0,m)·t0＝eq \f(5F0t0,m)，3t0时刻力F＝3F0，所以瞬时功率P＝3F0·v3＝eq \f(15Feq \\al(2,0)t0,m)，A错，B对；0～3t0时间段，水平力对物体做功W＝F0x1＋3F0x2＝F0×eq \f(1,2)·eq \f(F0,m)(2t0)2＋3F0·eq \f(v2＋v3,2)t0＝eq \f(25Feq \\al(2,0)teq \\al(2,0),2m)，平均功率P＝eq \f(W,t)＝eq \f(25Feq \\al(2,0)t0,6m)，C错，D对．
4．(2020·芜湖模拟)一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，最后重物以最大速度v2匀速上升，不计钢绳重力。则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为eq \f(P,v2) B．重物匀加速过程的时间为eq \f(mv\\al(2,1),P－mgv1)
C．重物匀加速过程的加速度为eq \f(P,mv1) D．速度由v1增大至v2的过程中，重物的平均速度eq \x\t(v)【答案】B
【解析】匀加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀加速运动阶段钢绳的拉力为F＝eq \f(P,v1)，故A错误；根据牛顿第二定律可知F－mg＝ma，结合v＝at解得a＝eq \f(P,mv1)－g，t＝eq \f(mv\\al(2,1),P－mgv1)，故B正确，C错误；在速度由v1增大至v2的过程中，重物做加速度减小的变加速运动，平均速度eq \x\t(v)>eq \f(v1＋v2,2)，故D错误。
5.(2020·江苏七市二模)引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于( )
A．5 W B．20 W
C．100 W D．400 W
【答案】C.
【解析】：学生体重约为50 kg，每次引体向上上升高度约为0.5 m，引体向上一次克服重力做功为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为eq \(P,\s\up6(－))＝eq \f(nW,t)＝eq \f(12×250 J,30 s)＝100 W，故C正确，A、B、D错误．
6.(2019·白银模拟)如图所示，小物块甲从竖直固定的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，重力对乙做功的瞬时功率大于重力对甲做功的瞬时功率
【答案】D
【解析】两物块下落的高度相同，根据动能定理，有mgR＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gR)，可知两物块到达底端时的速度大小相等，但方向不同，A错误；两物块的质量大小关系不确定，故无法判断两物块运动到底端时重力做的功及动能是否相同，B、C错误；在底端时，重力对甲做功的瞬时功率为零，重力对乙做功的瞬时功率大于零，D正确。
7.(2020·吉林五地六校合作体联考)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v­t图象如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确的是( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW D．汽车的最大速度为80 m/s
【答案】C
【解析】由图象可知匀加速直线运动的加速度为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(20,5) m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得F－f＝ma，解得牵引力为F＝f＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A错误。额定功率为P＝Fv＝5 000×20 W＝100 kW，故C正确。当车的速度是25 m/s时，牵引力F′＝eq \f(P,v′)＝eq \f(100 000,25) N＝4 000 N，此时车的加速度a′＝eq \f(F′－f,m)＝eq \f(4 000－0.1×1×104,1×103) m/s2＝3 m/s2，故B错误。当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为vm＝eq \f(P,F)＝eq \f(P,f)＝eq \f(100 000,1 000) m/s＝100 m/s，故D错误。
8.(多选)一辆CRH2型动车组的总质量M＝2.0×105 kg，额定输出功率为4 800 kW。假设该动车组在水平轨道上运动时的最大速度为270 km/h，受到的阻力Ff与速度v满足Ff＝kv，g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．该动车组以最大速度行驶时的牵引力为6.4×104 N
B．从题中给出的数据可算出k＝1.0×103 N·s/m
C．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组受到的阻力为1.6×104 N
D．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组的输出功率为1 200 kW
【答案】AD
【解析】最大速度为vm＝270 km/h＝75 m/s，根据P＝Fv，得该动车组以最大速度行驶时的牵引力为F＝eq \f(P,vm)＝eq \f(4 800×103,75) N＝6.4×104 N，故A正确；当牵引力与阻力相等时，速度达到最大，则有F＝Ff＝kvm，解得k＝eq \f(F,vm)＝eq \f(6.4×104,75) N·s/m＝853.3 N·s/m，故B错误；当匀速行驶的速度为v＝eq \f(vm,2)时，则有F′f＝kv＝853.3×eq \f(75,2) N＝3.2×104 N，此时牵引力F′＝F′f＝3.2×104 N，动车组输出功率P′＝F′v＝3.2×104×eq \f(75,2) W＝1 200 kW，故C错误，D正确。
9.(2020·山东师大附中二模)汽车沿平直公路以恒定功率P从静止开始启动，如图所示为牵引力F与速度v的关系，加速过程在图中的T点结束，所用的时间t＝8 s，通过的路程s＝50 m,8 s后汽车做匀速运动，若汽车所受阻力始终不变，则( )
A．汽车做匀速运动时的牵引力大小为2×105 N B．汽车所受的阻力大小为4×104 N
C．汽车的恒定功率为1.6×105 W D．汽车的质量为8×103 kg
【答案】C
【解析】汽车的加速过程在T点结束，即此后汽车沿平直路面做匀速运动，由平衡条件和图象信息可得F－f＝0，汽车做匀速运动时的牵引力大小为F＝2×104 N，故A错误；汽车所受的阻力大小f＝2×104 N，故B错误；由图象信息得汽车的恒定功率P＝Fv＝2×104×8 W＝1.6×105 W，故C正确；汽车加速运动过程，牵引力做功为W＝Pt，根据动能定理可得Pt－fs＝eq \f(1,2)mv2，解得m＝eq \f(2Pt－fs,v2)＝eq \f(2×1.6×105×8－2×104×50,64) kg＝8.75×103 kg，故D错误。
10.(多选)(2020·江苏宿迁期末)一辆汽车以速度v0在平直的公路上匀速行驶。到达某处时，司机减小油门使汽车输出功率减小为原来的一半，并保持该功率行驶。假设汽车受到的阻力恒定，从减小油门开始，下列能正确表示汽车加速度a、速度v、时间t之间的关系的是( )
A B C D
【答案】AD
【解析】由牛顿第二定律可知f－F′牵＝ma，即eq \f(P,v0)－eq \f(P′,v)＝ma，因P′＝eq \f(P,2)，解得a＝－eq \f(P,2m)eq \f(1,v)＋eq \f(P,mv0)，由题意可知，当eq \f(1,v)eq \f(1,v0)，a＝－eq \f(P,2m)eq \f(1,v)＋eq \f(P,mv0)，故A正确，B错误；汽车匀速行驶时牵引力等于阻力，即f＝F牵＝eq \f(P,v0)；功率突然减小一半，P′＝eq \f(P,2)，汽车的速度由于惯性来不及变化，此时v＝v0，则根据P＝Fv，牵引力立刻减小一半，小于阻力，合力变为反方向，汽车做减速运动；功率一定时，速度减小，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故汽车做加速度不断减小的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，加速度减为零，此时速度刚好减为eq \f(v0,2)，汽车再次以eq \f(v0,2)的速度做匀速直线运动，故C错误，D正确。
11．(2020·衡水模拟)如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v­t图象如图乙所示(在t＝15 s 处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：
甲 乙
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力f1的大小；
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小；
(3)BC路段的长度。
【答案】(1)2 000 N (2)1 m/s2 (3)68.75 m
【解析】(1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有：F1＝f1
P＝F1v1
解得：f1＝eq \f(P,v1)＝eq \f(20×103,10) N＝2 000 N。
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有：
F2＝f2
P＝F2v2
解得：f2＝eq \f(P,v2)＝eq \f(20×103,5) N＝4 000 N
刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1，
根据牛顿第二定律，有：
f2－F1＝ma
解得：a＝1 m/s2。
(3)对于汽车在BC路段运动，由动能定理得：
Pt－f2s＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)
解得：s＝68.75 m。
12.在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出如图所示的F­eq \f(1,v)图象(图线ABC为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB、BO均为直线)。假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定，根据图线ABC，求：
(1)该汽车的额定功率；
(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移大小。
【答案】(1)8×104 W (2)75 m
【解析】(1)图线AB表示牵引力F不变，即F＝8 000 N，阻力Ff不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40 m/s，此后汽车做匀速直线运动。
由题图可知：当达到最大速度vmax＝40 m/s时，牵引力为Fmin＝2 000 N
由平衡条件Ff＝Fmin可得Ff＝2 000 N
由公式P＝Fminvmax 得额定功率P＝8×104 W。
(2)匀加速运动的末速度vB＝eq \f(P,F)，代入数据解得
vB＝10 m/s
汽车由A到B做匀加速运动的加速度为
a＝eq \f(F－Ff,m)＝2 m/s2
设汽车由A到B所用时间为t1，由B到C所用时间为t2、位移为x，则t1＝eq \f(vB,a)＝5 s，t2＝35 s－5 s＝30 s
B点之后，对汽车由动能定理可得
Pt2－Ffx＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，代入数据可得x＝75 m。
θ(
mgsinθ
P/v
f
θ(
mgsinθ
P/v
f
mg
P/v
上坡最大速度vm=P/(f+mgsinθ)
下坡最大速度vm=P/(f-mgsinθ)
竖直提升最大速度vm=P/mg
恒定功率启动a-1/v图像
恒定加速度启动F-1/v图像
由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝eq \f(P,m)·eq \f(1,v)－eq \f(Ff,m)，
①斜率k＝eq \f(P,m)②纵截距b=－eq \f(Ff,m)③横截距eq \f(1,vm)=
①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；
②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；
③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v0；
④C点横坐标对应运动的最大速度1/vm，此时牵引力等于阻力。
最大速度vmax的求法
牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝eq \f(P,F)＝eq \f(P,Ff)
匀加速运动的时间t的求法
牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度vmax′＝eq \f(P额,ma＋Ff)，时间t＝eq \f(vmax′,a)
瞬时加速度a的求法
根据F＝eq \f(P,v)求出牵引力，则加速度a＝eq \f(F－Ff,m)