2022湖南省名校联考联合体高二下学期3月联考试题数学含解析

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时量：120分钟满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．某社区为迎接2022农历虎年，组织了隆重的庆祝活动，为全面了解社区居民的文娱喜好，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10：13：12，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ）
A．20B．22C．24D．26
4．“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他死后，墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形．如图，球与圆柱的侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则（ ）
A．B．1C．2D．4
5．的展开式的各项系数和为，则a的值是（ ）
A．2B．3C．6D．8
6．阿波罗尼斯研究圆锥曲线的光学性质得到：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A（6，2），被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则直线FQ的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，若实数m，n满足不等式，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若数列满足，，其前n项和为，且，设，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．复数z的虚部为B．
C．复数z对应的点在第二象限D．
10．下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
11．设，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知A（，0），B（4，0），若，则下列关于动点P的结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹所包围的图形的面积等于
B．当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是6
C．当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．若点Q（，1），则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，，则________．
14．已知点P是曲线上一动点，则曲线在点P处的切线的斜率最大为________．
15．已知函数，则函数的最小值为________．
16．若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，．
（1）求A；
（2）若，求△ABC面积的最大值．
18．（本小题12分）
已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，的前n项和为，且，（）．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．（本小题12分）
大学生创业越来越被视为一个迂回的路径来解决就业，人社部门和相关部门还发布了一系列政策，鼓励大学生创新事业，试图通过学院和大学，政府和社会建立有效机制，引导学生创新，支持大学生实践创业．为积极吸纳人才创业，繁荣地方经济，某市特别打造了大学生智慧孵化园区项目，为了了解大学生对产业园创业孵化项目的满意度，从有意来本市创业的大学生中随机抽取若干大学生对该项目进行评分（满分100分），绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
（1）若规定：分数不少于70分称为项目规划合格，不少于80分称为项目规划优秀．求出这个样本的项目规划合格率和优秀率；
（2）在等级为不满意的学生中，硕士研究生占，现从该等级大学生中按学历分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任项目督导员．记X为硕士督导员的人数，求X的分布列及数学期望E（X）．
20．（本小题12分）
如图1，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=60°，AE=AF=，BE=DF=．将图中各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥．
（1）证明PA⊥底面ABCD；
（2）设点T为BC上的点，且二面角B−PA−T的平面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
21．（本小题12分）
已知双曲线C1：，抛物线C2：（），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．
（1）求抛物线C2的方程；
（2）过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．
22．（本小题12分）
已知函数，其中，．
（1）若，求的最小值；
（2）若，，求证：满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意