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    高中1.1 集合学案及答案

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    这是一份高中1.1 集合学案及答案,共7页。

     

    11 集合

    11.1 集合

     

    新课程标准解读

    核心素养

    1.通过实例了解集合的含义理解元素与集合之间的属于关系

    数学抽象、逻辑推理

    2.针对具体问题能在自然语言和图形语言的基础上用符号语言刻画集合

    数学抽象

    3.在具体情境中了解空集的含义

    数学抽象

     

    第一课时 集合与元素

    中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第四次会议于202138日下午3在北京人民大会堂召开第二次全体会议

    [问题] 与会的人大代表能否构成一个集合?

                                        

                                        

    知识点一 元素与集合的相关概念

    1集合:把一些对象放在一起考虑时这些对象组成了一个集合或集通常用大写拉丁字母表示AB表示集合

    2元素:这些对象中的每一个都叫作这个集合的一个元素通常用小写拉丁字母表示ab表示元素

    3集合中元素的三个基本属性

     

    互异性

    同一集合中的元素是互不相同的

    确定性

    集合中的元素是确定的亦即给定一个集合任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的

    无序性

    集合中的元素没有顺序

    1集合是一个原始的、不加定义的概念就像几何中点、线的概念一样只作描述性说明

    2集合是一个整体已暗含所有”“全部”“全体的含义因此一些对象一旦组成了集合那么这个集合就是这些对象的全体而非个别对象    

    1集合中的元素只能是数、点、代数式吗?

    提示:集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等

    2某班所有的高个子男生能否构成一个集合?

    提示:某班所有的高个子男生不能构成集合因为高个子男生没有明确的标准

    1school中的字母构成的集合中元素的个数为(  )

    A3          B4

    C5  D6

    解析:C 由集合中元素的互异性可知该集合中共s”“c”“h”“o”“l5个元素

    2给出下列说法其中正确的序号是________

    在一个集合中可以找到两个相同的元素;好听的歌能组成一个集合;高一(1)班所有姓氏能构成集合

    解析:错误集合中的元素是互不相同的;错误好听的歌是不确定的所以好听的歌不能组成一个集合;正确高一(1)班的姓氏是确定的所以能构成集合

    答案:

    知识点二 元素与集合的关系

    表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是.

    (1)属于:若S是一个集合aS的一个元素记作aS读作:a属于S

    (2)不属于:a不是S的元素记作aS(aS)读作a不属于S

    1元素与集合之间有第三种关系吗?

    提示:对于一个元素a与一个集合A而言只有aAaA这两种关系

    2符号“∈”“的左边可以是集合吗?

    提示:具有方向性左边是元素右边是集合所以左边不可以是集合

    1已知集合A中含有两个元素a32a1若-3A则实数a的值为________

    解析:3A3a3或-32a1.

    若-3a3a0.此时集合A中含有两个元素-31符合题意;

    若-32a1a=-1此时集合A中含有两个元素-43符合题意

    综上所述实数a的值为0或-1.

    答案:0或-1

    2设集合A表示110以内的所有素数34这两个元素与集合A有什么关系?如何用数学语言表示?

    解:3是集合A中的元素3属于集合A记作3A4不是集合A中的元素4不属于集合A记作4A.

    知识点三 常见的数集及符号表示

    数集

    自然数集

    正整数集

    整数集

    有理数集

    实数集

    符号

    N

     

    NN有何区别?

    提示:N是所有正整数组成的集合N是由0和所有的正整数组成的集合所以NN多一个元素0.

    下列元素与集合的关系判断正确的是_______(填序号)

    0NπQQ1ZR.

    解析:N表示自然数集Q表示有理数集Z表示整数集R表示实数集0NπQQ1ZR.

    答案:①④

    知识点四 集合的分类

    1有限集:元素个数有限的集合(或有穷集)

    2无限集:元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)

    3空集:没有元素的集合叫空集记作空集也是有限集

    下列集合中________是有限集________是无限集________空集(填序号)

    (1)由小于8的正奇数组成的集合;

    (2)由大于5且小于20的实数组成的集合;

    (3)由小于0的自然数组成的集

    解析:(1)因为小于8的正奇数为1357所以其组成的集合是有限集

    (2)因为大于5且小于20的实数有无数个所以其组成的集合是无限集

    (3)因为小于0的自然数不存在所以其组成的集合是空集含有0个元素所以其组成的集合是有限集

    答案:(1)(3) (2) (3)

    集合的概念

    [1] (多选)判断下列每组对象能组成一个集合的是(  )

    A某校高一年级成绩优秀的学生

    B直角坐标系中横、纵坐标相等的点

    C不小于3的自然数

    D2018年第23届冬季奥运会金牌获得者

    [解析] A成绩优秀没有明确的标准所以不能组成一个集合;BCD中的对象都满足确定性所以能组成集合

    [答案] BCD

    判断一组对象能否组成集合的标准

    判断一组对象能否组成集合关键看该组对象是否满足确定性如果此组对象满足确定性就可以组成集合;否则不能组成集合同时还要注意集合中元素的互异性、无序性    

    [跟踪训练]

    (多选)下列给出的对象中不能组成集合的是(  )

    A著名物理学家     B全世界的富豪

    C学习刻苦的人  D小于8的所有素数

    解析:ABC 只有选项D有明确的标准能组成一个集合

     

    元素与集合的关系

    [2] (链接教科书第3页例1)(1)(多选)由不超过5的实数组成集合Aa(  )

    AaA  Ba2A

    C.A  Da1A

    (2)若集合A中的元素x满足NxN则集合A中的元素为________

    [解析] (1)a45所以aA.

    a115所以a1Aa2()22×()2525所以a2A5所以A.

    (2)由题意可得:x为自然数所以可以为236因此x的值为210.因此A中元素有210.

    [答案] (1)ACD (2)210

    判断元素和集合关系的两种方法

    (1)直接法:使用前提:集合中的元素是直接给出的;

    判断方法:首先明确集合由哪些元素构成然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可;

    (2)推理法:使用前提:对于某些不便直接表示的集合;

    判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可    

    [跟踪训练]

    填空:

    已知集合A中的元素x是被3除余2的整数则有:17________A5________A.

    解析:由题意可设x3k2kZ

    3k217k5Z.所以17A.

    3k2=-5k=-Z.所以-5A.

    答案: 

    元素特性的应用

    [3] 已知集合A有两个元素aa21A则实数a的值为________

    [解析] 1Aa1a21a±1.

    a1集合A有重复元素不符合元素的互异性

    a1

    a=-1集合A含有两个元素11符合元素的互异性a=-1.

    [答案] 1

    [母题探究]

    1(变条件)本例若将条件1A改为2A其他条件不变求实数a的值

    解:因为2A所以a2a22a2aa=-.经检验符合元素的互异性

    2(变条件)本例若去掉条件1A其他条件不变则实数a的取值范围是什么?

    解:因为A中有两个元素aa2所以aa2解得a0a1.

    3(变条件)已知集合A含有两个元素1a2aA求实数a的值

    解:aA可知

    a1此时a21与集合元素的互异性矛盾

    所以a1.

    aa2a0a1(舍去)

    综上可知a0.

     

    根据集合中元素的特性求值的三个步骤

       

    [跟踪训练]

    1若以集合A的四个元素abcd为边长构成一个四边形则这个四边形可能是(  )

    A梯形  B平行四边形

    C菱形  D矩形

    解析A A中元素abcd各不相等所以四边形只可能是梯形

    2集合P中含有两个元素14集合Q中含有两个元素1a2PQ相等a________

    解析:由题意知a24a±2.

    答案:±2

    1(多选)下列结论中正确的是(  )

    AaNN  BaZa2Z

    CaQ|a|Q  DaRR

    解析BCD A不正确反例:a1N1N.

    2下列说法正确的是(  )

    A某班中年龄较小的同学能够组成一个集合

    B123 1组成的集合不相等

    C不超过20的非负数组成一个集合

    D方程(x1)(x1)20的所有解组成的集合中有3个元素

    解析:C A项中元素不确定B项中两个集合元素相同因为集合中的元素具有无序性所以两个集合相等D项中方程的解分别是x11x2x3=-1.由互异性知构成的集合含2个元素

    3已知集合S中的三个元素abcABC的三条边长那么ABC一定不是(  )

    A锐角三角形  B直角三角形

    C钝角三角形  D等腰三角形

    解析D 因为集合中的元素必须是互异的所以三角形的三条边长两两不相等故选D.

    4已知集合P中元素x满足:xN2<x<a又集合P中恰有三个元素整数a________

    解析:xN2<x<a且集合P中恰有三个元素

    易知a6.

    答案:6

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