高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程学案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程学案，共7页。
 2．2　从函数观点看一元二次方程 新课程标准解读核心素养会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解函数的零点与方程根的关系数学抽象、直观想象、逻辑推理 函数与方程有着一定的联系，如一次函数y＝ax＋b与一元一次方程ax＋b＝0之间关系的探究：  a>0a<0一次函数y＝ax＋b的图象一元一次方程ax＋b＝0的根有一个实数根有一个实数根发现一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的解．[问题]　你能否对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点的横坐标和对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解建立联系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根与函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作该方程的实数根．同时x也叫作y＝ax2＋bx＋c的零点．即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点也就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根．　　　　 函数y＝x2－3x＋2的零点是________．解析：由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2，故函数y＝x2－3x＋2的零点为1和2.答案：1和2知识点二　一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，2＝有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，2＝有一个零点x＝－无零点 1．从代数角度思考，函数的零点如何求？提示：直接解函数对应的方程，它的相异的实数根就是函数的零点．2．从函数的图象看，函数的零点如何求？提示：从函数的图象看，函数的图象与x轴交点的横坐标，就是相应函数的零点．1．函数y＝(x－1)(x2＋x－2)的零点是________．答案：1，－22．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2.答案：2 二次函数的零点与对应方程的实根[例1]　(链接教科书第46页例2)(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________；(2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________．[解析]　(1)由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4.所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4.(2)由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2＝－6x2－5x－1的零点为－和－.[答案]　(1)3和4　(2)－和－二次函数零点的求法(1)代数法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点；(2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点．　　　　 [跟踪训练]求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．解：(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－.(2)①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1，又－(－1)＝.当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1.当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和.综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1.当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和.(3)由图象可知，函数有两个零点－1和3.函数的零点个数的判断与证明[例2]　(链接教科书第45页例1)若a>2，求证： 函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．[证明]　因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，又a>2，所以Δ>0，所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．[母题探究](变设问)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．解：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解．函数无零点．当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0.即或解得a≥2或a≤－2，又a≠2所以a>2或a≤－2，所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件为a>2或a≤－2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的判断对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.(1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点；(2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点；(3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．　　　　 [跟踪训练]求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．证明：当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点.二次函数零点的分布探究[例3]　(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．[解]　(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点．(2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个正实数根．显然a≠2.由一元二次方程的根与系数的关系得即所以a≤－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2]．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)零点的分布探究结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理：(1)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点；　　　　 (2)⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点；(3)x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．[跟踪训练]已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．(1)若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围．解：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a，(1)因为该函数有两个不相等的正零点，所以解得0<a<或<a<1，所以a的取值范围是∪.(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，所以或解得a>1或a<0.所以a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．1．已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为(　　)A．y＝2(x－1)2＋3　　　　　 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3  D．y＝－2(x＋1)2＋3解析：选D　设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k，根据顶点为(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3，故选D.2．已知：p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的________条件．解析：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根⇔x1x2＝<0⇔ac<0，所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分 3．讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．解：当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则函数的零点为2；当a＝时，则(x－2)＝0，解得x1＝x2＝2，则函数的零点为2；当a≠0且a≠时，由(ax－1)(x－2)＝0，解得x1＝，x2＝2，则函数的零点为和2.