高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数学案

3.1.3　简单的分段函数

某村电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．

方案二：不收管理费，每度0.58元．

[问题]　(1)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？

(2)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

知识点　分段函数

1．定义：一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．

2．图象：分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．

对分段函数的再理解

(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；　　　　

(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；

(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；

(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．

函数y＝是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？

提示：函数y＝是分段函数，它是一个函数．

1．已知f(x)＝则f(－2)＝________．

答案：2

2．函数y＝的定义域为________________，值域为____________．

答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞)

3．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是________(填序号)．

答案：④

[例1]　(1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　)

A．R　　　　　　　　　 B．(0，＋∞)

C．(－∞，0)  D．(－∞，0)∪(0，＋∞)

(2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．

[解析]　(1)要使f(x)有意义，需x≠0，

故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1，1)．又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．

[答案]　(1)D　(2)(－1，1)　(－1，1)

1．分段函数定义域、值域的求法

(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；

(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．

2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　　　　

[跟踪训练]

函数f(x)＝的值域是(　　)

A．R  B．[0，＋∞)

C．[0，3]  D．[0，2]∪{3}

解析：选D　当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2∈[0，2]，所以函数f(x)的值域为[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}．

[例2]　已知函数f(x)＝

(1)求f(f(f(－2)))的值；

(2)若f(a)＝，求a.

[解]　(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，

∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，

∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.

(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；

当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1，1]；

当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．

综上，a＝2或a＝±.

1．求分段函数的函数值的方法

(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论；

(2)代入到不同的解析式中；

(3)通过解方程求出字母的值；

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．　　　　

[跟踪训练]

1．已知函数f(x)＝设f(0)＝a，则f(a)＝(　　)

A．－2  B．－1

C.  D．0

解析：选A　∵a＝f(0)＝03－1＝－1，

∴f(a)＝f(－1)＝2×(－1)＝－2，故选A.

2．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选C　当0<a<1时，a＋1>1，则f(a)＝，

f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，

∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝.

∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.

当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，则2(a－1)＝2a，无解．

综上，f＝6.

[例3]　(链接教科书第74页例6、例7)已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．

(1)用分段函数的形式表示该函数；

(2)画出函数的图象；

(3)写出该函数的值域．

[解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，

当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x.

∴f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示：

(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．

[母题探究]

(变条件)若本例条件变为“已知函数f(x)＝|x|－2”，如何求解？

解：(1)f(x)＝|x|－2＝

(2)函数的图象如图所示：

(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．

分段函数图象的画法

(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；

(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．　　　　

[跟踪训练]

1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　)

解析：选C　函数f(x)＝|x|sgn x＝故函数f(x)＝|x|sgn x的图象为y＝x所在的直线，故选C.

2．(多选)已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解可以是(　　)

A．1  B．2

C．－1  D．3

解析：选AC　当x≥0时，原不等式可化为x＋x≤2，

∴x≤1，∴0≤x≤1；

当x<0时，原不等式可化为x≤2，

∴x<0.

综上，不等式的解集为(－∞，1]．故可选A、C.

[例4]　(链接教科书第73页例5)某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．

(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；

(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？

[解]　(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]，

g(x)＝

(2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得x＝15，

即当12≤x<15时，f(x)<g(x)，

当x＝15时，f(x)＝g(x)，

当15<x≤20时，f(x)>g(x)．

②当20<x≤30时，f(x)>g(x)，

故当12≤x<15时，选A俱乐部合算，

当x＝15时，两家俱乐部一样合算，

当15<x≤30时，选B俱乐部合算．

分段函数的实际应用

(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；

(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．　　　　

[跟踪训练]

某地区电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准．

解：(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx(k≠0)．

将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.

当x>100时，设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)．

将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，得解得

所以y＝0.8x－15.

综上可得y＝

(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．

1．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．3

C.  D．

解析：选D　由题意得f(3)＝，从而f(f(3))＝f＝＋1＝.

2．(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　)

A．f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝

D．f(x)＝

解析：选AD　对于B，取x＝2，得f(2)＝3或4，对于C，取x＝1，f(1)＝5或1，所以B、C都不合题意，故选A、D.

3．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

解析：选B　法一：函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B.

法二：由f(－1)＝2，知图象过点(－1，2)，排除A、C、D.

4.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．

解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的．当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，

得解得

当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，将(1，－1)代入，得k＝－1.

所以f(x)的解析式为f(x)＝

答案：f(x)＝