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    高中数学湘教版(2019)必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数导学案

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    这是一份高中数学湘教版(2019)必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数导学案,共8页。

     

    41 实数指数幂和幂函数

    41.1 有理数指数幂

     

    新课程标准解读

    核心素养

    理解n次方根、n次根式的概念能正确运用根式运算性质化简求值

    数学抽象、数学运算

     

    公元前五世纪古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数也不能用分数来表示希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生

    [问题] x23这样的x有几个?它们叫做3的什么?怎样表示?

                                        

                                        

                                        

    知识点一 根式

    1n次方根

     

    定义

    若一个()xn次方(nNn2)等于axna则称xn次方根

    n

    奇数

    an次方根记作

    (1)a>00

    (2)a00

    (3)a<00

    n

    偶数

    正数an次方根有两个它们互为相反数其中正的n次方根叫作算术根记作.a>0x±

    规定 0;负数没有偶次方根

     

    2根式

    (1)定义:式子叫作根式(nNn2)其中n叫作根指数a叫作被开方数

    (2)性质:(n>1nN)

    ()n

    注意()n的区别

    (1)是实数ann次方根是一个恒有意义的式子不受n的奇偶限制但这个式子的值受n的奇偶限制其算法是对a先乘方再开方(都是n)结果不一定等于an为奇数时a;当n为偶数时|a|

    (2)()n是实数an次方根的n次幂其中实数a的取值由n的奇偶决定其算法是对a先开方后乘方(都是n)结果恒等于a.    

    正数an次方根一定有两个吗?

    提示:不一定n为偶数时正数an次方根有两个且互为相反数;当n为奇数时正数an次方根只有一个且仍为正数

    1判断正误(正确的画“√”错误的画“×”)

    (1) 3π.(  )

    (2)814次方根是±3.(  )

    答案:(1)× (2)

    2(多选)xna(x0)则下列说法中正确的有(  )

    An为奇数时xn次方根为a

    Bn为奇数时an次方根为x

    Cn为偶数时xn次方根为±a

    Dn为偶数时an次方根为±x

    答案:BD

    3有意义x的取值范围是________;若有意义x的取值范围是________

    答案: R

    知识点二 分数指数幂

    1分数指数幂的意义

    分数指数幂

    正分数指数幂

    规定:a(a>0mnNn2)

    负分数指数幂

    规定:a(a>0mnNn2)

    0的分数指数幂

    0的正分数指数幂为0的负分数指数幂没有意义

     

    2指数幂的运算性质

    (1)asatast(a>0stQ)

    (2)(as)tast(a>0stQ)

    (3)(ab)tatbt(a>0b>0tQ)

    1为什么分数指数幂的底数规定a>0?

    提示:a<0n为偶数m为奇数aa无意义;若n为奇数aa有意义

    a0a0无意义

    2同底数幂相除ar÷as同次的指数相除分别等于什么?

    提示:ar÷asars.

    判断正误(正确的画“√”错误的画“×”)

    (1)x(x>0)(  )

    (2)分数指数幂a可以理解为a相乘(  )

    (3)0的任何指数幂都等于0.(  )

    (4)化简式子[()2]的结果是.(  )

    答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

    根式的概念

    [1] (1)16的平方根为________275次方根为________

    (2)已知x76x________

    [解析] (1)(±4)216

    16的平方根为±4.275次方根为.

    (2)x76x.

    [答案] (1)±4  (2)

    判断关于n次方根的结论应关注两点

    (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;

    (2)n为奇数时a的正负决定着n次方根的符号    

    [跟踪训练]

    1(多选)下列说法正确的是(  )

    A164次方根是2

    B.的运算结果是±2

    Cn为大于1的奇数时对任意aR都有意义

    Dn为大于1的偶数时只有当a0时才有意义

    解析:CD 164次方根应是±22所以正确的应为CD.

    2已知m102m等于(  )

    A.          B

    C.  D±

    解析:D m102m210次方根10是偶数210次方根有两个且互为相反数m±.

     

     

     

    利用根式的性质化简与求值

      [2] (链接教科书第94页例1)化简与求值:

    (1)

    (2)

    (3)

    (4) .

    [] (1) =-5.

    (2) 3.

    (3)a12a0

    .

    (4)原式=yx|xy|yx.

    xy原式=xyyx0

    x<y原式=yxyx2(yx)

    根式化简的思想和注意点

    (1)根式的化简思想是将根式有理化利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和()公式)将所求代数式恰当地变形达到化繁为简的目的;

    (2)化简根式时需注意:在根式计算中含有(n为正偶数)的形式中要求a0a可以是任何实数    

    [跟踪训练]

    计算 4________

    解析:原式=-34×|(2)3|=-33229.

    答案:29

    根式与分数指数幂的互化

    [3] (链接教科书第95页例3)用根式或分数指数幂表示下列各式:aa(a>0)(a>0), (a>0)

    [] aa(a>0)aa2

    (a>0)a(a>0)

     a.

    根式与分数指数幂互化的规律

    (1)根指数 分数指数的分母被开方数()的指数分数指数的分子;

    (2)在具体计算时通常会把根式转化成分数指数幂的形式然后利用有理数指数幂的运算性质解题

    [跟踪训练]

    1(多选)下列结论中正确的有(  )

    A(2)(2)

    B[(2)×(3)](2)(3)

    Ca>0(ar)s(as)r

    D.()

    解析:CD 对于A选项(2)>0(2)无意义错误;对于B选项左侧=右侧无意义错误CD均正确

    2用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)

    (1)(2)a3·(3) .

    (1)a.

    (2)a3·a3·aaa.

    (3) b·b·(a2)=-ba.

    有理数指数幂的运算

    [4] (链接教科书第95页例4)计算下列各式:

    (1)(0.002) 10(2)1()0

    (2)(a2b3)·(4a1b)÷(12a4b2c)

    [] (1)原式=(1)×150010(2)11010201=-.

    (2)原式=-4a21b31÷(12a4b2c)=-·a3(4)·b2(2)c1=-ac1=-.

    指数幂运算的解题通法

    (1)有括号的先算括号里的无括号的先做指数运算;

    (2)先乘除后加减负指数幂化成正指数幂的倒数;

    (3)底数是负数先确定符号底数是小数先化成分数底数是带分数先化成假分数;

    (4)若是根式应化为分数指数幂并尽可能用幂的形式表示运用指数幂的运算性质来解答;

    (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂也不能既有分母又含有负指数幂形式力求统一    

    [跟踪训练]

    计算下列各式(式子中字母都是正数)

    (1)0.027

    (2)÷.

    (1)0.027()20.090.09.

    (2)原式[2×(6)÷(3)]ab4ab04a.

    1xy0则使=-2xy成立的条件可能是(  )

    Ax0y0  Bx0y0

    Cx0y0  Dx0y0

    解析:B 2|xy|=-2xyxy0.xy0xy0故选B.

    2(多选)下列运算结果中一定正确的是(  )

    Aa3·a4a7  B(a2)3a6

    C.a  D=-π

    解析AD a3a4a34a7A正确;当a1(12)3=-1显然不成立B不正确;|a|C不正确; =-πD正确故选AD.

    32<a<3 的化简结果是(  )

    A52a  B2a5

    C1  D1

    解析:C 原式=|2a||3a|2<a<3原式=a23a1.

    4用根式的形式表示下列各式(x>0y>0)

    (1)x________(2)x________(3)xy________

    答案:(1) (2) (3)

    5计算:(0.008 1)×10×(0.027)________

    解析:原式=3×3=-.

    答案:

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