湘教版（2019）第5章 三角函数5.2 任意角的三角函数导学案

5．2　任意角的三角函数

5．2.1　任意角三角函数的定义

第一课时　用比值定义三角函数

初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角，sin α＝，cos α＝，tan α＝，三角函数值为两个边长的比值．

[问题]　(1)若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

(2)若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？

知识点一　任意角的三角函数的定义

如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，r＝|OP|＝，利用点P的坐标定义sin α＝；cos α＝；tan α＝．以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切．

对于任意的角α，sin α，cos α都分别唯一对应一个值；当α≠＋kπ(k∈Z)时，tan α也唯一对应一个值，此时y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数称为三角函数．

对三角函数定义的再理解

(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；

(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．　　　　

对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？

提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．

已知角α的终边与单位圆的交点为P，则tan α＝(　　)

A.　　　 B．－　　　　

C.　　　 D．－

答案：B

知识点二　三角函数值的符号

如图所示：

正弦：一二象限正，三四象限负；

余弦：一四象限正，二三象限负；

正切：一三象限正，二四象限负．

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.(　　)

(2)若tan α>0，则α一定是第一象限角．(　　)

(3)若sin α<0且cos α>0，则角α是第三角限角．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

[例1]　(链接教科书第160页例1)(1)已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；

(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

[解]　(1)r＝＝5|a|.

若a>0，则r＝5a，故sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.

若a<0，则r＝－5a.同理可得sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.

(2)直线 x＋y＝0，即y＝－x，则直线通过第二和第四象限．

①在第二象限内取直线上的点(－1，)，

则r＝ ＝2，

所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

②在第四象限内取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，

所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.

利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况：

(1)若已知角α终边上一点P(x，y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)；

(2)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上的点，则首先求r＝ ，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)；

(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；

(4)参数问题：若点的坐标、角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．　　　　

[跟踪训练]

1．已知角α的终边上一点P(m, )，且cos α＝，则m＝________．

解析：由题意得x＝m，y＝ ，∴r＝|OP|＝ ，

∴cos α＝＝＝，很明显m>0，

解得m＝ .

答案：

2．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．

解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，

则解得即P，

所以sin α＝y＝，cos α＝x＝.

[例2]　(链接教科书第162页例3)(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

(2)填空sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)．

[解析]　(1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．

(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0.

[答案]　(1)D　(2)>

正弦、余弦函数值的正负规律

[跟踪训练]

1．若－<α<0，则点(tan α，cos α)位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选B　由－<α<0知α为第四象限角，则tan α<0，cos α>0，点在第二象限．

2．若角α的终边经过点P(3，a)(a≠0)，则(　　)

A．sin α＞0  B．sin α＜0

C．cos α＞0  D．cos α＜0

解析：选C　由三角函数的定义可知，sin α＝符号不确定，cos α＝>0，故选C.

3．判断下面各式的符号：

(1)sin·cos；(2)cos 6·sin 6.

解：(1)∵<<π，∴是第二象限角，

∴sin>0，cos<0，

∴sin·cos<0.

(2)∵<6<2π，∴6弧度的角为第四象限角，

∴cos 6>0，sin 6<0，∴cos 6·sin 6<0.

[例3]　求函数f(x)＝的定义域．

[解]　要使f(x)有意义，则

所以

解得2kπ＜x＜2kπ＋，k∈Z.

所以原函数的定义域为.

求三角函数定义域的方法

(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制；

(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．　　　　

[跟踪训练]

求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝＋.

解：(1)要使函数式有意义，需tan x≠0，解得x≠kπ(k∈Z)．

要使tan x有意义，需x≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)．

所以函数的定义域为.

(2)由题意得

由cos x≥0得x的终边在y轴上，或第一象限，或第四象限，或在x轴正半轴上．

由－tan x≥0，得tan x≤0，则角x的终边在第二象限，或第四象限，或在x轴上．

综上，角x的终边在第四象限或x轴正半轴上．

所以函数的定义域为.

1．(2021·南通高一月考)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(1，－2)，则sin α＝(　　)

A．－　　　　　　　 B．

C.  D．－

解析：选D　点P(1，－2)到原点的距离r＝＝，由三角函数的定义可得：sin α＝＝＝－，故选D.

2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2，3]  B．(－2，3)

C．[－2，3)  D．[－2，3]

解析：选A　由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以解得－2<a≤3.

3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为(　　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．以上三种情况都可能

解析：选B　∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．

4．若角60°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是_______．

解析：由题意，得tan 60°＝－，解得a＝－4.

答案：－4

5．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．

解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.

答案：－1