湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数学案，共6页。
 5．2.3　诱导公式新课程标准解读核心素养1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式数学抽象2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简与证明、求值问题转化为锐角三角函数的化简与证明、求值问题数学运算、逻辑推理 第一课时　诱导公式一至四“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：是以圆心为对称中心的中心对称图形；又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．[问题]　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　诱导公式一至四1．终边相同的角的同一三角函数值相等．公式一：sin(α＋2kπ)＝sin_α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan(α＋2kπ)＝tan_α，其中k∈Z.公式二：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．公式三：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．公式四：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．2．公式一至四的法则kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的同名函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．诱导公式的作用(1)绝对值大于2π的角(0，2π)范围的角(0，π)范围的角；(2)负角正角．　　　　 诱导公式中角α必须是锐角吗？提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．(　　)(2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．(　　)(3)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．(　　)(4)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝不成立．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．已知cos(π＋θ)＝，则cos θ＝________．答案：－3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________．答案：－44．cos(－30°)＝________，sin＝________．答案：　给角求值问题[例1]　(链接教科书第166页例9)求下列三角函数值：(1)cos；(2)tan(－855°)；(3)tan＋sin.[解]　(1)cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.(3)原式＝tan＋sin＝－tan－sin＝－1－＝－.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤　　　　 [跟踪训练]计算：(1)sin；(2)sin(－60°)＋cos 225°＋tan 135°；(3)sin·cos·tan.解：(1)原式＝－sin＝－sin＝－sin＝－.(2)原式＝－sin 60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－－cos 45°－tan 45°＝－－－1＝－.(3)原式＝sincostan＝－sincostan＝－××1＝－.化简求值问题[例2]　(链接教科书第168页例11)化简：(1)；(2).[解]　(1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝＝＝＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．　　　　 [跟踪训练]化简：(1)；(2)(n∈Z)．解：(1)原式＝＝＝1.(2)原式＝＝＝＝－.给值(式)求值问题[例3]　　已知cos＝，求cos的值．[解]　cos＝cos＝－cos＝－.[母题探究]1．(变设问)在本例条件下，求：(1)cos的值；(2)sin2的值．解：(1)cos＝cos＝cos＝.(2)sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝.2．(变条件)若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，如何求得？解：因为α∈，则α－∈.所以cos＝－cos＝－cos＝ ＝ ＝.解决条件求值问题的两技巧　　　　 [跟踪训练]已知tan＝，求tan的值．　解：tan＝－tan＝－tan＝－.1．(2021·连云港高一质检)cos＝(　　)A.　　 B．－　　　C．－　　　D.解析：选D　cos＝cos ＝cos＝cos ＝.2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　)A．sin α＝sin βB．sin(α－2π)＝sin βC．cos α＝cos βD．cos(2π－α)＝－cos β解析：选C　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos  α＝cos β.3．设tan(5π＋α)＝m，则＝________．解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，∴原式＝＝＝＝＝.答案：4．若角α的终边经过点P(－3，4)，则sin(α＋2 021π)＝________．解析：由三角函数的定义可得sin α＝＝，由诱导公式可得sin(α＋2 021π)＝sin(α＋π)＝－sin α＝－.答案：－5．化简：sin 270°＋tan 765°＋tan 225°＋cos 240°.解：sin 270°＋tan 765°＋tan 225°＋cos 240°＝(－sin 90°)＋tan 45°＋tan 45°＋(－cos 60°)＝－1＋1＋1－＝.