湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体导学案

6．4　用样本估计总体

6．4.1　用样本估计总体的集中趋势

中国体育彩票的种类有：超级大乐透、排列3、排列5、七星彩、地方体彩、足球彩票、竞彩、顶呱刮等等．体育彩票市场曾创造了无数的神话，相当一部分中奖者在谈及自己的中奖经历时都表示他们能够中奖，是经过长期研究体育彩票的统计量，用样本估计总体的集中趋势，然后得出较科学的“推测”结果．

[问题]　你想知道他们研究哪些统计量才有助于科学“推测”的吗？

知识点一　统计学中的两个统计概念

1．总体参数：是用来描述总体特征的指标，常见的总体参数有总体平均数、众数和中位数及总体方差等．

2．统计量：是用来描述样本特征的指标，常见的统计量有样本平均数、样本方差等．

统计学的基本思想是什么？

提示：用样本统计量中的数据特征估计总体参数的数据特征．

知识点二　平均数(均值)

1．若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数＝．

2．若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为＝x1f1＋x2f2＋…＋xnfn．

3．分层抽样中总体均值μ的简单估计

在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL.

我们称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权，对i＝1，2，…，L，用i表示从第i层抽出样本的平均值，我们称＝W11＋W22＋…＋WLL是总体均值μ的简单估计．

1．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．

解析：＝6.

答案：6

2．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________．

解析：＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.

答案：9.5

知识点三　众数、中位数

1．众数：观测数据中出现次数最多的数是众数．

2．中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是中位数．

具体而言，当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数．

众数、中位数、平均数的比较

1．中位数一定是样本数据中的一个数吗？

提示：不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数据就是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数才是中位数．

2．一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？

提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个．

某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是(　　)

A.7，7　　　　　　　　　 B．8，7.5

C．7，7.5  D．8，6

解析：选C　从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，所以中位数是＝7.5.

[例1]　(链接教科书第230页例1)(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：

甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；

乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11.

则下面结论中正确的是(　　)

A．甲的极差是29　　　　　 B．乙的众数是21

C．甲的平均数为21.4  D．甲的中位数是24

[解析]　把两组数据按从小到大的顺序排列，得

甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37；

乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23.

故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以A正确；乙中出现最多的数据是21，所以B正确；甲的平均数为x甲＝(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以C正确；甲的中位数为(22＋24)＝23，故D不正确．

[答案]　ABC

平均数、众数、中位数的计算方法

平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．　　　　

[跟踪训练]

1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)

A．85，85，85　　　　　　　 B．87，85，86

C．87，85，85  D．87，85，90

解析：选C　从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.

2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选A　因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A.

[例2]　(链接教科书第231页例3)某地统计部门为了解企业员工的收入状况，决定进行抽样调查．估计该地共有产业工人大约50 000人，企业管理人员约1 000人，工人与管理人员的月工资收入差异比较大．该地统计部门用分层抽样的方法抽取产业工人500人，企业管理人员10人．被抽取的500名产业工人的人均月工资为5 328元，10名企业管理人员的人均月工资为8 426元，试估计这个地区企业员工的人均月工资．

[解]　被抽取的500名产业工人的人均月工资为5 328元，故这500名产业工人的月工资总额为(5 328×500)元．同理，被抽取的10名企业管理人员的月工资总额为(8 426×10)元，所以被抽取的这510名企业员工的月工资总额为(5 328×500＋8 426×10)元．

因此，被抽取的这510名企业员工的人均月工资(即样本的平均数为)≈5 389(元)．

故估计该地区企业员工的人均月工资约为5 389元．

总体均值u的简单估计

已知将总体分为L层，每层的样本平均数为i(i＝1，2，…，L)，且第i层的层数为Wi＝(N为总体容量，Ni为第i层的样本容量)．

则总体均值u的简单估计＝W11＋W22＋…＋WLL即为加权平均数(层权Wi为第i层的频率fi)．　　　　

[跟踪训练]

　甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭．他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率．甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？

解：好评率是由好评人数除以总评价人数得到的.98%的好评率意味着如果有100人评价，那么其中98%人给了好评．

设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1；在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.由题目条件，＝98%，＝85%.综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为，化简得＝0.98·＋0.85·.

其中，和分别是各自的层权，总好评率等于相应的好评率与其层权乘积的和．

所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率．

由以上分析可知，当且仅当n1＝n2时，总好评率等于＝91.5%.

[例3]　(链接教科书第234页例4)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少(精确到元)?

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．

[解]　(1)平均数是：＝4 000＋(7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋1 333＝5 333(元)．

中位数是4 000元，众数是4 000元．

(2)平均数是＝4 000＋(26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋2 212＝6 212(元)．

中位数是4 000元，众数是4 000元．

(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

众数、中位数、平均数的意义

(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大；

(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．　　　　

[跟踪训练]

　下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)：

(1)这两组数据的平均数，中位数和众数各是多少？

(2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？

解：(1)一班平均数：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，

一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，所以一班中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次；

二班平均数：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，

二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，所以二班的中位数是29次，

29出现的次数最多，所以二班的众数是29次．

(2)运用平均数表示两个班的成绩更合适．

1．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)

A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数

C．中位数<众数<平均数  D．众数＝中位数＝平均数

答案：D

2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数和中位数分别为(　　)

A．84，68  B．84，78

C．84，81  D．78，81

解析：选C　将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两个数是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81.

3．(多选)下列说法中，正确的是(　　)

A．数据2，4，6，8的中位数是4，6

B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4

C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据

D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是

解析：选BCD　数据2，4，6，8的中位数为＝5，显然A是错误的，B、C、D都是正确的．故选B、C、D.

4．小玲家的鱼塘里养了2 500条鲢鱼，按经验，鲢鱼的成活率约为80%.现准备打捞出售，为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如下表：

那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是________ kg.

解析：平均每条鱼的质量为＝1.8(kg)，

因为成活的鱼的总数约2 500×80%＝2 000(条)，

所以总质量约是2 000×1.8＝3 600(kg)．

答案：3 600