高中数学湘教版（2019）必修 第一册第6章 统计学初步6.4 用样本估计总体学案及答案

6．4.2　用样本估计总体的离散程度

2019年国际射击联合会世界杯总决赛在福建莆田落下帷幕．中国射击队获得11金15银18铜共44枚奖牌，在奖牌榜上高居首位．这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下：

甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4

乙：9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7

[问题]　(1)如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？

(2)如果这是一次选拔性考核，你认为派哪名运动员参赛最好？

知识点一　极差

将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称为全距，用R表示．

极差的统计意义是什么？

提示：极差反映了一组数据变化的幅度，是描述数据离散程度的最简单的代表值，它极易受极端值的影响，由于极差只利用了一组数据两端的信息，不能全面地描述全部数据的离散程度．

知识点二　方差

1．总体方差(方差)：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差．

2．样本方差：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用x表这n个数据的均值，则称s2＝为这n个数据的样本方差．

3．分层抽样中的全部样本方差

如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为1，2，样本方差分别为s，s，则全部样本方差为s2＝{n1＋n2}．

拓展：如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjnj，第j层的样本容量为nj，样本均值为xj，样本方差为s，j＝1，2，…，k.记j＝n，则全部样本方差为s2＝j.

　方差的统计意义是什么？

提示：方差s2刻画了样本数据相对于样本均值x集中或离散的程度．s2越大离散程度越大，越不整齐．

　国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：

则应派________参赛最为合适．

解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．

答案：丙

知识点三　标准差

标准差是方差的算术平方根．总体方差σ2，总体标准差σ＝，样本方差s2，样本标准差s＝.

显然s＝ .

对方差、标准差的再理解

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小；

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；

(3)标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差；

(4)标准差的单位与样本数据一致．　　　　

[例1]　(链接教科书第238页例5)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高(单位：cm)如下：

甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42

乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40

问：(1)哪种玉米苗长得高？

(2)哪种玉米苗长得齐？

[解]　(1) 甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，

乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．

所以甲<乙，即乙种玉米苗长得高．

(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2，

s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1 288＝128.8.

所以s<s，即甲种玉米苗长得齐．

用样本的标准差、方差估计总体的方法

用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．　　　　

[跟踪训练]

甲、乙两种冬小麦连续5年的平均单位面积产量(单位：t/km2)如下：

其中产量比较稳定的冬小麦品种是________．

解析：甲＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10(t/km2)，

乙＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10(t/km2)，

即甲、乙两种冬小麦的平均产量都为 10 t/km2.

＝×(0.04＋0.01＋0.01＋0＋0.04)＝0.02，

s＝×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244，

即s<s，故甲种冬小麦的产量比较稳定．

答案：甲

[例2]　(链接教科书第238页例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？

[解]　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占层权为w甲＝＝，

乙＝70，乙队队员在所有队员中所占层权为w乙＝＝，

则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝w甲x甲＋w乙乙＝×60＋×70＝68(kg)，

甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s乙＋(乙－)2]＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.

计算分层抽样中样本方差s2的步骤

(1)确定1，2，s，s；

(2)确定；

(3)应用公式s2＝{n1[s＋(1－)2]＋n2[s＋(2－)2]}，计算s2.　　　　

[跟踪训练]

　某培训机构招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差．

解：依题意A＝130，s＝115，B＝110，s＝215，

∴＝×130＋×110＝115，

∴全体学生的平均成绩为115分．

全体学生成绩的方差为

s2＝[s＋(A－)2]＋[s＋(B－)2]

＝×(115＋225)＋×(215＋25)＝85＋180＝265.

[例3]　某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低)．去年测评的数据如下：

甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；

乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.

(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；

(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；

(3)根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？

[解]　(1)甲学校人民满意度测评数据的平均数为

甲＝×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，

中位数为＝99，

乙学校人民满意度测评数据的平均数为

乙＝×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，

中位数为＝99.

(2)甲学校人民满意度测评数据的方差：

s＝×[(96－100)2＋(112－100)2＋…＋(98－100)2]＝55.25，

乙学校人民满意度测评数据的方差：

s＝×[(108－100)2＋(101－100)2＋…＋(106－100)2]＝29.5.

(3)由(1)(2)可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好．

标准差(方差)的两个作用

(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小；

(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差或标准差来确定稳定性．　　　　

[跟踪训练]

　在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？

(1)平均说来一队比二队防守技术好；

(2)二队比一队技术水平更稳定；

(3)一队有时表现很差，有时表现又非常好；

(4)二队很少不失球．

解：(1)正确．从平均失球数的角度，一队的平均失球数1.5小于二队的平均失球数2.1.

(2)正确．标准差越小，发挥越稳定，二队失球数的标准差0.4小于一队失球数的标准差1.1，所以说二队的技术水平更稳定．

(3)正确．从标准差的角度考虑，一队失球数的标准差为1.1，均值为1.5，说明表现好时失球很少，表现差时失球较多．

(4)正确．综合平均数和标准差两个指标考虑，平均数大且标准差小，说明失球数多为1，2，3.

实际生活中决策的制订(开放问题)

[实例]　有甲、乙两名射击运动员，10次射击成绩(单位：环)如表．

　　现要从两名运动员中选拔一人参加比赛，根据下列设置的三种情境，请你帮助教练员制订出符合实际情况的选拔标准．

情境1　如果10次射击成绩中，前9次都是个人独自进行训练的成绩，最后一次是教练在场的射击成绩，那么作为教练员，你最有可能根据什么成绩作为选拔的标准？

情境2　如果这10次射击成绩是大型比赛选拔赛中的射击成绩，作为教练员，你可能怎样制订选拔标准？

情境3　教练员发现，按照上面的标准看，甲、乙两名运动员相差不大，并且该运动队的成绩已经超过其他同水平运动队，只要维持目前状态就能取得冠军．因此，教练员需要选择一名运动水平相对稳定的队员参赛．此时应制订怎样的选拔标准？

提示：在情境1中，教练员可能会制订这样的标准，即标准1：以两名运动员的最后一次射击成绩作为评价标准，选择成绩较高者参赛．据此，显然应选择乙参加比赛．

在情境2中，教练员可能会制订这样的标准，即标准2：以两名运动员10次射击成绩的众数作为评价标准，选择众数较高者参赛．甲射击成绩的众数是9环，乙射击成绩的众数是10环．据此，选择乙参加比赛．

教练员也可能制订标准3：以两名运动员10次射击成绩的中位数作为评价标准，选择中位数较高者参赛．甲射击成绩的中位数是9环，乙射击成绩的中位数是8.5环．据此选择甲参加比赛．

教练员还可能制订标准4：以两名运动员10次射击成绩的平均数作为评价标准，选择平均数较高者参赛．甲射击成绩的平均数是8.5环，乙射击成绩的平均数是8.6环．据此，选择乙参加比赛．

在情境3中，教练员可能制订标准5：可以用两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，标准差越小成绩越稳定．甲射击成绩的标准差s甲≈0.92环，乙射击成绩的标准差s乙≈1.28环．据此，选择甲参加比赛．

[标准评价]　在这里，不同的标准没有对和错的问题，也不存在所谓唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策．至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．

1．(多选)下列对一组数据的分析，说法正确的是(　　)

A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定

B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定

C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定

D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定

解析：选ACD　极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．故选A、C、D.

2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　　)

A．9.4，0.484　　　　　 B．9.4，0.016

C．9.5，0.04  D．9.5，0.016

解析：选D　＝＝9.5，

s2＝×(0.12×4＋0.22)＝0.016.

3．在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，则高一年级全体学生身高的方差为________．

解析：把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为s；把样本中女生的身高记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为s，把样本的平均数记为，方差记为s2.

则＝＝165.2，

s2＝

＝

＝51.486 2，

即样本的方差为51.486 2.

因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2.

答案：51.486 2