2021学年3.2 函数的基本性质第二课时学案设计

第二课时　函数的最大(小)值

科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．

[问题]　(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？

(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？

(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？

知识点　函数的最大值与最小值

前提条件：设D是函数f(x)的定义域．

(1)最大值：如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．

(2)最小值：如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值m＝f(b)，称m为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点．

最大值和最小值统称为最值．

对函数最大值(最小值)定义的再理解

(1)M(m)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；

(2)最大(小)值定义中的“对一切x∈D成立”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥m)成立．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何函数都有最大(小)值．(　　)

(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)或f(b)．(　　)

(3)函数的最大值一定比最小值大．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________．

答案：－1　2

3．函数f(x)＝，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为______，最小值为________．

答案：1　

[例1]　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．

[解]　作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.

当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，

故f(x)的最大值为1，最小值为0.

用图象法求最值的3个步骤

[跟踪训练]

　已知函数f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值．

解：(1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值.

[例2]　(链接教科书第80页例2)已知函数f(x)＝.

(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；

(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．

[解]　(1)f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．

证明：设x1，x2是区间[0，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.

因为x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是单调递增的，

故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝＝，最小值为f(2)＝＝.

1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性；

(2)利用单调性求出最大(小)值．

2．函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)；

 (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．　　　　

[跟踪训练]

1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有>0成立，且f(－3)＝－1，f(1)＝2，则f(x)在[－3，1]上的最大值是________．

解析：由题意可知函数f(x)在R上为增函数，则其在[－3，1]上的最大值应为f(1)＝2.

答案：2

2．已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．

(1)判断函数f(x)的单调性并证明；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值．

解：(1)f(x)是增函数，证明如下：

设x1和x2是区间[3，5]上任意两个实数，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝，

因为3≤x1<x2≤5，

所以x1－x2＜0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

所以f(x)在[3，5]上为增函数．

(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，

则f(x)max＝f(5)＝，

f(x)min＝f(3)＝.

[例3]　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

[解]　(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0，

所以f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，

所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.

(2)法一：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，

即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．

记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，

由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上为增函数，

知当x＝1时，y取得最小值3＋a.

所以当3＋a>0即a>－3时，f(x)>0恒成立．

于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．

法二：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．

所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，

因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上为减函数，

所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，

所以a>－3，

故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．

分离参数法解决恒成立问题

在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间I上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间I上的任意x，a<f(x)恒成立，则a<f(x)min；若在区间I上存在x使a>f(x)成立，则a>f(x)min；若在区间I上存在x使a<f(x)成立，则a<f(x)max，其他(如a≥f(x)等)情形类似可得相应结论．　　　　

[跟踪训练]

设函数f(x)＝x－，x∈[1，＋∞)，则使f(mx)＋mf(x)<0恒成立的实数m的取值范围是________．

解析：易知f(x)为增函数，且m≠0.若m>0，由函数f(x)的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数，此时不符合题意．若m<0，则f(mx)＋mf(x)<0可化为mx－

＋mx－<0，所以2mx－·<0，即1＋<2x2.因为y＝2x2在x∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋<2，即m2>1，得m<－1.

答案：(－∞，－1)

1．二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝(　　)

A．－1　　　　　　　　 B．1

C．－2  D．－

解析：选A　二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则解得a＝－1.

2．若函数f(x)＝在区间[1，a]上的最小值为，则a＝________．

解析：∵f(x)＝在区间[1，a]上单调递减，

∴函数f(x)的最小值为f(a)＝＝，∴a＝4.

答案：4

3．函数f(x)＝kx＋2x＋3k－1，若对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，则实数k的取值范围是________．

解析：f(x)＝kx＋2x＋3k－1＝(k＋2)x＋3k－1.由对于任意x∈[－4，1]，不等式f(x)≤0恒成立，可得解得－9≤k≤－.所以k的取值范围是.

答案：