高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质学案及答案

第四讲  三角函数图像和性质

[玩前必备]

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, , π, , 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.

3．三角函数图象变换

4[常用结论]

（1）对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．

（2）与三角函数的奇偶性相关的结论

若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．

若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

[玩转典例]

题型一  三角函数的5大性质

例1　(安老师原创)已知函数f(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin x cos x＋1.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及最小值；

(3)写出函数f(x)的单调递增区间．

(4)写出函数f(x)的对称轴和对称中心.

(5)函数f(x)向右平移t个单位为偶函数，求t的最小正值。

[玩转跟踪]

1．（2020·山东高三下学期开学）函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是(    )

A． B．是图象的一个对称中心

C． D．是图象的一条对称轴

3.（2019·呼和浩特开来中学）已知函数.

(1)求的值及f(x)的对称轴；

(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.

题型二  三角函数模型中“ω”范围的求法探究

例2　(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.  D.

例3　已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)

A．最小值2   B．最大值2

C．最小值1   D．最大值1

例4　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．

[玩转跟踪]

1．(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　)

A.  B．

C.  D.

2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若f(x)在区间上是单调函数，且f(－π)＝f(0)＝－f，则ω的值为(　　)

A.  B．或2

C.   D．1或

3.设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则 ω的最小值为________．

题型三  三角函数的图像和图像变换

例5　（2017山东）设函数，其中．已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．

[玩转跟踪]

1．(2014·辽宁卷) 将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A．在区间上单调递减    B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减    D．在区间上单调递增

2.【2017课标1，9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

3.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．最大值为，图象关于直线对称

B．图象关于y轴对称

C．最小正周期为

D．图象关于点对称

题型四  由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例6　(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝                .

(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为        ．

[玩转跟踪]

1．(四川，6)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)

A．2，－     B．2，－

C．4，－     D．4，

2.(2020·石家庄质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)

A.   B.

C.   D.

题型五　三角函数大题

例7　已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．

[玩转跟踪]

1．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数

（1）求的单调递增区间；

（2）求在上的最小值及取最小值时的的集合.

2．(山东，18)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值．

[玩转练习]

1．(2020·永州模拟)函数y＝2cos的部分图象大致是(　　)

2．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

3．将曲线y＝sin(2x＋φ)向右平移个单位长度后得到曲线y＝f(x)，若函数f(x)的图象关于y轴对称，则φ＝(　　)

A.  B．

C．－   D．－

4．(2020·郑州市第一次质量预测)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下列结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

5.(多选)已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)

A．A＝1　　　　　　　　 B．A＝2

C．ω＝   D．ω＝

6．(多选)函数f(x)＝2sin的图象为C，如下结论正确的是(　　)

A．f(x)的最小正周期为π

B．对任意的x∈R，都有f＋f＝0

C．f(x)在上是减函数

D．由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C

7．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________．

8．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是________．

9．(2020·安徽合肥一中等六校教育研究会联考)将函数y＝cos x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.

10．(一题两空)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

12．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3，且f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．