2019年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）（无答案）
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一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.
- 已知正实数 满足 ，则 的值为 .
- 若实数集 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 的值为 .
- 平面直角坐标系中， 是单位向量，向量 满足 ，且 对任意
实数 成立，则 的取值范围是 .
- 设 为椭圆 的长轴顶点， 为 的两个焦点， ，
为 上一点，满足 ，则 的面积为 .
- 在 中随机选出一个数 ，在 中随机选出一个数
，则 被 整除的概率为 .
- 对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最大值. 若正数 满足
， 则 的 值为 .
- 如图，正方体 的一个截面经过顶点
及棱 上一点 ，且将正方体分成体积比为 的两部分，
则 的值为 .
- 将 个数 按任意次序排成一行，拼成一个 位数（首位不为 ），则产生的不同的 位数的个数为 .
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
- 在 中， ， ， .若 是 与 的等比中项，且 是
与 的等差中项，求 的值.
- 在平面直角坐标系 中，圆 与抛物线 恰有一个公共点，且圆 与 轴相切于 的焦点 .求圆 的半径.
- 称一个复数数列 为“ 有趣的” ， 若 ， 且对任意正整数 ，均有
.求最大的常数 ，使得对一切有趣的数列 及任意正
整数 ，均有
全国高中数学联赛（一试-A）试题+答案： 这是一份全国高中数学联赛（一试-A）试题+答案，共5页。
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