初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数导学案

中考复习之二次函数与几何综合学案

一、知识与方法归纳

1. 解决“函数与几何综合”问题，一般是将函数特征和几何特征综合在一起进行研究．

思路一：研究函数，可以从相关的点坐标出发，将点坐标转化为线段长，再结合其图象的几何意义，把函数特征转移到几何图形中建方程求解；

思路二：研究几何图形，可以把几何图形中角度的特征转化为线段长，把几何特征集中到函数上建方程求解．

2. 整合信息时的两个环节：

①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b．

②点坐标与线段长的互转．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．

二、练习题

1. 如图，抛物线（）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在x轴下方的抛物线对称轴上是否存在点P，使△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使最

大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，，求y2与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．

（3）在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与（2）中的函数图象交于点F，H，则四边形EFHG能否成为平行四边形？若能，求出m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

3. 已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），

①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；

②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．

图1

图2

4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C(0，4)，对称轴与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）设点P(x，y)是第一象限内该抛物线上的一动点，△PCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O，P，E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．

5. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，AB=3，直线x=m（）与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在第一象限内的直线x=m上是否存在点P，使得以P，B，D为顶点的三角形与△OBC全等？若存在，求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．

6. 如图，在平面直角坐标系中，AB=AC，点A，C分别是直线与坐标轴的交点，点B在抛物线上，且该抛物线上存在一点D，使得四边形ABCD是平行四边形．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P以每秒1个单位长度的速度从点A向终点D运动，同时点Q以相同的速度从点C向终点A运动，设运动的时间为t秒，则当t为何值时PQ⊥AC？

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以M，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 在Rt△AOB中，已知∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△AOB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，抛物线经过A，O，C三点，且其对称轴与线段OB交于点D．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）线段OB交抛物线于点E，P为线段OE上一动点（不与点O，E重合），设点P的横坐标为m，△OCP的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

（3）在（2）的条件下，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，是否存在点P，使得PD=CM？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 如图，二次函数的图象与x轴交于

A(，0)，B(，0)两点，且．

（1）求k的取值范围．

（2）设二次函数的图象与y轴交于点M，若OM=OB，求该二次函数的解析式．

（3）在（2）的条件下，若N是x轴上的一点，在二次函数

的图象上是否存在点Q，使得以N，A，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．

9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1，)，点B在x轴的负半轴上，且∠ABO=30°，抛物线经过A，O，B三点．

（1）求该抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）P为x轴下方的抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，是否存在点P，使其中一个三角形的面积与四边形BPOD的面积之比为2:3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】

1．（1）．

（2）存在，P1(，-1)，P2(，)，P3(，)．

（3）存在，M(，)．

2．（1）．

（2）（）．

（3）四边形EFHG能成为平行四边形，．

3．（1）．

（2）①P1(2，1)，P2(，)，

P3(，)．

②．

4．（1）．

（2）（）．

（3）存在，直线PE的解析式为或．

5.（1）．

（2）存在，直线BP的解析式为或

或．

6.（1）．

（2）当时PQ⊥AC．

（3）存在，(1，)，(1，)，(1，)，

(1，4)，(1，-4)．

7.（1）．

（2）（）．

（3）存在，(，)，(，)．

8.（1）．

（2）．

（3）存在，(1，-2)，相应的平行四边形的面积为2；

(，2)，相应的平行四边形的面积为；

(，2)，相应的平行四边形的面积为；

(1，-2)，相应的平行四边形的面积为2．

（注：，对应的是不同的平行四边形）

9.（1），对称轴为直线．

（2）存在，C(-1，)．

（3）存在，P(，)．