河北省保定市七校2022届高三下学期第一次联合模拟数学试题

保定市2021-2022学年下学期高中七校联合模拟第一次考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数在复平面内对应点为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由复数对应点可得，根据复数除法运算可计算得到结果.

【详解】对应的点为，，

.

故选：B.

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】计算出A的区间，按照交并补的定义求解即可.

【详解】解不等式 ，

 解得 ，

即 ， ，

故选：C.

3. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（    ）

A. 1∶1 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 2∶3

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.

【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，

圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，

其比例为1:1，

故选：A.

4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数定义求出和，再利用二倍角公式求解即可.

【详解】根据三角函数定义，，

由二倍角公式.

故选：D

5. 已知向量，，，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，结合向量夹角范围可得结果.

【详解】，，

，解得：，

又，，即与的夹角为.

故选：D.

6. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由题意求出，，再由可求得，从而可求表示出，进而可求得离心率

【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，

由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点，

当时，，得，所以，

当时，，所以，

因为，所以，

所以，得，

所以，

所以双曲线的离心率为，

故选：B

7. 已知函数的图象关于点对称，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据对称性可得，由此可构造方程求得结果.

【详解】图象关于点对称，，

又，

，

，解得：，.

故选：C.

8. 在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，，，则（    ）

A  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】如图，取的中点，连接，则可得梯形 为平面所在的截面，则为三棱台的体积，设正方体的棱长为2，先求出，从而可求出，进而可求出的值

【详解】如图，取的中点，连接，

因为M为棱的中点，所以∥，，

因为∥, ，

所以四边形为平行四边形，

所以∥，，

所以∥，，

所以梯形 为平面所在的截面，

则为三棱台的体积，

不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，

因为，

所以

,

所以，

所以，

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 正态分布的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（    ）.

A.  B.

C.  D.

【9题答案】

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案.

【详解】解：由正态分布的正态密度曲线关于直线对称，

对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为，故选项A正确；

对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项B正确；

对C：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示，故选项C正确；

对D：由对称性可得，故选项D错误.

故选：ABC.

10. 已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（    ）.

A.  B.

C.  D.

【10题答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】在同一直角坐标系中画出的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD.

【详解】函数在同一坐标系中的图象如下：

所以，

所以

所以

所以，

故选：BD

11. 在正方体中，点、分别是棱、的中点，则下列选项中正确的是（    ）.

A.

B. 平面

C. 异面直线与所成的角的余弦值为

D. 平面截正方体所得的截面是五边形

【11题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，然后运用向量可判断ABC，然后运用平行线法作出平面截正方体所得的截面，即可判断D.

【详解】

以点为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则

因为，，，所以，故A正确；

因为，，设平面的法向量为

所以由，可得，所以可取，

因为，，所以不与平面平行，故B错误；

因为，

所以

所以异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；

连接，在上取靠近的四等分点为，则

连接，在上取靠近的三等分点为，则

所以平面截正方体所得的截面是五边形，故D正确

故选：AD

12. 已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（    ）.

A. （）

B.

C. 若，则

D. 若数列单调递增，则的取值范围是

【12题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A， 由 ，多写一项，两式相减即可得出答案.

对于B，由 （），多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件.

对于C，由分析知，所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，由等差数列得前项和公式即可得出答案.

对于D，因为数列单调递增，根据，即可求出的取值范围.

【详解】对于A，因为，当，两式相减得：

（）,所以A正确.

对于B，因为（）,所以，

两式相减得：（），所以B不正确.

对于C，，令，则，，因为

，所以.令，则， ，所以.

因为（），而，所以.

所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列.

偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.

则：

，所以C正确.

对于D，，令，则，，则

又因为，令则，所以，

同理：，

，

因为数列单调递增，所以，

解得：，

解得：，

解得：，

解得：，

解得：，

所以的取值范围是，所以D不正确.

故选：AC.

【点睛】本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用，得出的奇数项、偶数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知是奇函数，且当时，．若，则______．

【13题答案】

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意，利用奇函数的性质可知时，代入中可求出的值.

【详解】解：因为是奇函数，，

所以，

因为当时，，

所以，所以，解得：.

故答案为：1.

14. 已知向量，，，则与的夹角为______.

【14题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】首先求出，设向量与的夹角为，再根据计算可得；

【详解】解：因为，所以，

设向量与的夹角为，因为，因为，所以.

故答案为：

15. 函数的图象在点处的切线的斜率为______．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导函数，代入计算即可；

【详解】解：因为，所以，即，故函数在点处的切线的斜率为；

故答案为：

16. 若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.

【16题答案】

【答案】##-0.25

【解析】

【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解.

【详解】因为函数在上单调递减，

所以，，则，

又因为函数在上的最大值为，

所以，即，

所以.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程．

17. 已知数列是递增的等比数列，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【17~18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意列出方程求出公比可得；

（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.

【小问1详解】

设数列的公比为，，则.

由得，由得，

所以，解得或（舍去），

所以.

所以数列的通项公式为.

【小问2详解】

由条件知，设，

则，

将以上两式相减得，

所以.

设，

则.

18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.

（1）若，求b；

（2）若D为的中点，且，求的面积.

【18~19题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出 ，然后按照正弦定理计算即可；

（2）利用 ，以及AD是中线的特点列方程即可.

【小问1详解】

因为，所以

在中，由正弦定理得，

即.

【小问2详解】

在中，由余弦定理得……①

因为D为的中点，所以.

在中，由余弦定理得.

在中，由余弦定理得.

由得……②

联立①②可得，即，

故答案为： ， .

19. 2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：

（1）根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）

（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望.

附：.

【19~20题答案】

【答案】（1）表格见解析，没有；   

（2）分布列见解析，.

【解析】

【分析】（1）完成列联表，再利用独立性检验求解；

（2）由题得的所有可能取值为0，1，2，3，4，再求出对应的概率，即得分布列和期望.

小问1详解】

解：由题得列联表如下：

没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关.

【小问2详解】

解：由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.

的所有可能取值为0，1，2，3，4.

的分布列为：

.

20. 如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．

（1）证明：平面平面.

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

【20~21题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证明平面得，再根据几何关系得，进而得平面，最后结合判定定理即可证明；

（2）根据题意，以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.

【小问1详解】

证明：因为圆所在的平面，即平面，

而平面，所以．

因为是圆的直径，为圆周上一点，

所以．

又，

所以平面，而平面，

则，

因为，，

所以．又，

所以，而为线段的中点，

所以．

又，

所以平面，

而平面，故平面平面．

【小问2详解】

解：以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设，则，，，，，．

设平面的法向量为，

则令，得．

由（1）知平面的一个法向量为，

设二面角为，易知为锐角，则，

即二面角的余弦值为．

21. 已知椭圆的焦距为，左､右焦点分别是，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.

【21~22题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意列出等式，求得 ，即得答案；

（2）考虑直线斜率是否存在，存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，结合直线与直线的斜率之和为化简整理可得参数之间的关系式，即可证明结论.

【小问1详解】

由题意得，

由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上，

可知：，又，

解得：

所以椭圆的方程为：.

【小问2详解】

证明：①当直线的斜率不存在时，设直线，

由题意可知，且，设，

因为直线的斜率之和为，所以，

化简得，所以直线的方程为.

②当直线的斜率存在时，

设方程为，

联立消去，化简得.

，

由题意可得，

因为直线的斜率之和为，

所以，

，

，

，

，

化简整理得，

当且仅当时，即 或且 时符合题意，

直线的方程：，即，

故直线过定点，

综上①②可得直线过定点.

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，以及直线和椭圆相交时的直线过定点问题，解答时要注意考虑直线斜率是否存在的情况，斜率存在时设出直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，然后结合条件得等式，化简即可，难点在于计算量较大并且运算繁琐，需要十分细心.

22. 已知函数，．

（1）设函数，求的最大值；

（2）证明：．

【22~23题答案】

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用导数分析函数在定义域上的单调性，由此可求得函数的最大值；

（2）原不等式等价于，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，结合基本不等式可证得所求不等式成立.

【小问1详解】

解：因为，所以．

当时，；当时，．

所以在上为增函数，在上为减函数，从而．

【小问2详解】

证明：原不等式等价于，

则，令，则，

所以，在上单调递增．

令，则，，

所以，存在唯一使得，即，

当时，；当时，

此时在上单调递减，在上单调递增，

要证，即要证．

于是原问题转化为证明不等式组，

由，得，代入．

对两边取对数得，代入，得．

因，当且仅当，时，等号成立，

所以．

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.