人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用巩固练习

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用巩固练习，共4页。试卷主要包含了化简，已知taneq \f＝2，求等内容，欢迎下载使用。

A．－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5) C．－eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(15),5)
解析：由eq \f(5π,2)＜θ＜3π可知θ是第二象限角，
所以csθ＝－eq \f(1,5)，而eq \f(5π,4)＜eq \f(θ,2)＜eq \f(3π,2)，所以eq \f(θ,2)为第三象限角，
所以sineq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－csθ,2))＝－eq \f(\r(15),5).故选C.
答案：C
2．若sinα＝eq \f(5,13)，α是第二象限角，则taneq \f(α,2)＝________.
解析：因为α是第二象限角，所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13)，taneq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,sinα)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13))),\f(5,13))＝5.
答案：5
3．已知csα＝eq \f(\r(3),3)，α为第四象限角，则taneq \f(α,2)的值为________．
解析：∵α为第四象限角，∴sinα＜0.
∴sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(1,3))＝－eq \f(\r(6),3).
∴taneq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,sinα)＝eq \f(1－\f(\r(3),3),－\f(\r(6),3))＝eq \f(\r(2)－\r(6),2).
答案：eq \f(\r(2)－\r(6),2)
4．已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－eq \f(4,3)，则tanα＝________.
解析：∵tan(π＋2α)＝tan2α，∴tan2α＝－eq \f(4,3)，又∵tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)且tanα＜0，解得tanα＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
5．化简： eq \r(\f(1,2)－\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs2α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π)))).
解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，∴csα＞0，
则由半角公式得 eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs2α)＝csα，
∴原式＝eq \r(\f(1,2)－\f(1,2)csα).
又∵eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，∴sineq \f(α,2)＞0，
∴eq \r(\f(1,2)－\f(1,2)csα)＝sineq \f(α,2)，即原式＝sineq \f(α,2).
1．cs2eq \f(π,8)－eq \f(1,2)的值为( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),4)
解析：cs2eq \f(π,8)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(π,8)－1))＝eq \f(1,2)cseq \f(π,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4).
答案：D
2．下列各式与tanα相等的是( )
A.eq \r(\f(1－csα,1＋cs2α)) B.eq \f(sinα,1＋csα)
C.eq \f(sinα,1－cs2α) D.eq \f(1－cs2α,sin2α)
解析：由于eq \f(1－cs2α,sin2α)＝eq \f(2sin2α,2sinαcsα)＝tanα.
答案：D
3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝eq \f(4,5)，则taneq \f(α,2)的值为( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：∵sin(270°＋α)＝eq \f(4,5)，∴csα＝－eq \f(4,5).
又∵180°＜α＜270°，∴90°＜eq \f(α,2)＜135°.
∴taneq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝－eq \r(\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))))＝－3.
答案：D
4．已知taneq \f(α,2)＝3，则csα＝( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(4,15) D．－eq \f(3,5)
解析：csα＝eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq \f(1－32,1＋32)＝－eq \f(4,5).
答案：B
5．已知csα＝eq \f(4,5)，且eq \f(3,2)π＜α＜2π，则taneq \f(α,2)等于( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3)或eq \f(1,3) D．－3
解析：∵eq \f(3π,2)＜α＜2π，∴eq \f(3π,4)＜eq \f(α,2)＜π.
∴taneq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1－csx,1＋csx))＝－eq \r(\f(1－\f(4,5),1＋\f(4,5)))＝－eq \f(1,3)，故选A.
答案：A
6．已知α为锐角，且sinα∶sineq \f(α,2)＝3∶2，则taneq \f(α,2)的值为( )
A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(\r(7),3) D.eq \f(\r(5),4)
解析：∵eq \f(sinα,sin\f(α,2))＝eq \f(2sin\f(α,2)cs\f(α,2),sin\f(α,2))＝2cseq \f(α,2)＝eq \f(3,2).
∴cseq \f(α,2)＝eq \f(3,4)，∵α为锐角，∴sineq \f(α,2)＝eq \r(1－\f(9,16))＝eq \f(\r(7),4)，
∴taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(\r(7),3).
答案：C
7．化简 eq \r(\f(1＋cs3π－θ,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＜θ＜2π))＝________.
解析：原式＝eq \r(\f(1－csθ,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)))，∵eq \f(3π,2)＜θ＜2π，∴eq \f(3π,4)＜eq \f(θ,2)＜π，∴sineq \f(θ,2)＞0，故原式＝sineq \f(θ,2).
答案：sineq \f(θ,2)
8．函数y＝2cs2x＋sin2x的最小值是________．
解析：y＝2cs2x＋sin2x＝1＋cs2x＋sin2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1，∴ymin＝－eq \r(2)＋1.
答案：1－eq \r(2)
9．已知tan(π－α)＝2，则eq \f(sin2α,sin2α－sinαcsα－cs2α)的值是__________．
解析：∵tan(π－α)＝－tanα＝2，
∴tanα＝－2，
∴原式＝eq \f(2sinαcsα,sin2α－sinαcsα－cs2α)＝eq \f(2tanα,tan2α－tanα－1)＝eq \f(2×－2,－22－－2－1)＝－eq \f(4,5).
答案：－eq \f(4,5)
10．已知taneq \f(α,2)＝2，求：
(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；(2)eq \f(6sinα＋csα,3sinα－2csα)的值．
解析：(1)∵taneq \f(α,2)＝2，∴tanα＝eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(2×2,1－4)＝－eq \f(4,3).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(tanα＋1,1－tanα)＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1＋\f(4,3))＝－eq \f(1,7).
(2)由(1)知tanα＝－eq \f(4,3)，
∴eq \f(6sinα＋csα,3sinα－2csα)＝eq \f(6tanα＋1,3tanα－2)＝eq \f(6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋1,3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))－2)＝eq \f(7,6).
11．化简cs2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cs(θ－180°)．
解析：原式＝eq \f(1＋cs2θ＋30°,2)＋eq \f(1－cs2θ－30°,2)＋eq \f(1,2)sin2θ
＝1＋eq \f(1,2)[cs(2θ＋30°)－cs(2θ－30°)]＋eq \f(1,2)sin2θ
＝1＋eq \f(1,2)(cs2θcs30°－sin2θ·sin30°－cs2θcs30°－sin2θ·sin30°)＋eq \f(1,2)sin2θ
＝1＋(－sin2θsin30°)＋eq \f(1,2)sin2θ＝1.
12．已知函数f(x)＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8))).求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调增区间．
解析：f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝
eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋\f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \r(2)cs2x.
(1)函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)当2kπ－π≤2x≤2kπ，即kπ－eq \f(π,2)≤x≤kπ(k∈Z)时，函数f(x)＝eq \r(2)cs2x是增函数，故函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．