陕西省2021届高三教学质量测评（四）数学（文科）试卷（解析版）

这是一份陕西省2021届高三教学质量测评（四）数学（文科）试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省高考数学教学质量测评试卷（文科）（四）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6＜0}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．复数z满足，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知等边△ABC的外接圆是等边△EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
4．已知函数，则f（f（4））＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知tan2α＝﹣，且α∈（π，），则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，CD＝2BD，b＝2，则c＝（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
7．已知正项等比数列{an}中，a2a8+a4a6＝8，则log2a1+log2a2+⋅⋅⋅+log2a9＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．执行如图所示的程序框图，若输入a＝2，b＝4，则输出S的值为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
9．已知向量＝（﹣1，2），＝（3，4），t∈R，则|t﹣|的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．10
10．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（　　）

A．π B．π C． D．
11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A（0，），＝（1，﹣），P为C右支上一点，当|PA|+|PF1|取得最小值时，＝λ，则C的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．
12．已知函数（x＞0，e为自然对数的底数），，若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，+∞） B．[e，+∞） C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最小值为　 　．
14．已知函数f（x）＝ex+2x，过点（1，2）作曲线y＝f（x）的切线，则函数的切线方程为　 　．
15．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且，|PF2|+|F2Q|＝4，则椭圆E的短轴长为　 　．

16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC＝BC＝2，AC⊥BC，AA1＝4，过点E作一个截面与平面BFC1平行，则截面的周长为　 　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说朗、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查．得到如下列联表．

喜爱某种食品
不喜爱某种食品
合计
男生
20


女生

10

合计
60


（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关？
（Ⅲ）用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，E，F分别为SB，AD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面SCD；
（Ⅱ）若∠BAD＝60°，SD＝4，AB＝2，求三棱锥C﹣DEF的体积．

19．在递增等差数列{an}中，a2+a4＝8，a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，证明：．
20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，且点（1，）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点（0，3）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O构成三角形，求△AOB面积的最大值．
21．已知函数，，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为x﹣2y+n＝0．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）证明：f（x）＞2g（x）﹣1．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0．
（Ⅰ）求曲线C和直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于A，B两点，点P是曲线C上的一个动点，求△ABP的面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+2＜0；
（Ⅱ）对任意的x∈R，f（x）≤m2+2m恒成立，求m的取值范围．


参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6＜0}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵A＝{x|x≤3}，B＝{x∈Z|﹣1＜x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}．
故选：A．
2．复数z满足，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵，
∴复数，
∴，
故选：B．
3．如图，已知等边△ABC的外接圆是等边△EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
解：由题可知△EFG内切圆的切点分别为A，B，C，
∴EA＝EC，FA＝FB，GC＝GB．又△EFG是等边三角形，
∴△ACE，△ABF，△BCG，△ABC是4个全等的等边三角形，
∴所求的概率P＝＝．
故选：C．
4．已知函数，则f（f（4））＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵，
∴，
故选：A．
5．已知tan2α＝﹣，且α∈（π，），则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵，
∴tanα＝2，或，
又∵，
∴tanα＝2，
∴，即，解得，
∴．
故选：C．
6．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是∠BAC的平分线，CD＝2BD，b＝2，则c＝（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
解：在△ABD中，由正弦定理得，，
在△ACD中，由正弦定理得，，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴CD•sinC＝BD•sinB，
又CD＝2BD，
∴，
∴，
∵b＝2，
∴c＝1，
故选：B．
7．已知正项等比数列{an}中，a2a8+a4a6＝8，则log2a1+log2a2+⋅⋅⋅+log2a9＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
解：∵a2a8+a4a6＝8，∴，又∵an＞0，∴a5＝2，
∴，
∴log2a1+log2a2+⋯+log2a9＝log2（a1a2⋯a9）＝，
故选：B．
8．执行如图所示的程序框图，若输入a＝2，b＝4，则输出S的值为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
解：执行程序如下：a＝2，b＝4，i＝0，S＝0
→S＝8，i＝﹣1，b＝3；
→S＝8+6＝14，i＝﹣2，b＝1；
→S＝14+2＝16，i＝﹣3，b＝﹣2，ab＝﹣4＜0，符合输出条件，输出S＝16，
故选：C．
9．已知向量＝（﹣1，2），＝（3，4），t∈R，则|t﹣|的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．10
解：∵，，∴，，，
∴＝，
∴当时，取最小值为100，∴的最小值为10，
故选：D．
10．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（　　）

A．π B．π C． D．
解：由三视图还原几何体如图所示．由题可知该几何体是底面为边长为2的正方形，
斜高都为的正四棱锥S﹣ABCD．
连接正方形ABCD的两条对角线AC与BD，交于点O'，连接SO'，则SO'是四棱锥S﹣ABCD的高，
设E为BC的中点，连接SE，则SE⊥BC，易知外接球的球心O在SO'上．
连接OC，O'E，在Rt△ESO'中，，EO'＝1，EO'⊥SO'，∴SO'＝2．
设外接球的半径为R，则OO'＝|2﹣R|，OC＝R，，∴OO'2+O'C2＝OC2，
即，解得，
∴外接球的体积，

故选：D．
11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A（0，），＝（1，﹣），P为C右支上一点，当|PA|+|PF1|取得最小值时，＝λ，则C的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．
解：记t＝|PA|+|PF1|＝|PA|+|PF2|+2a≥|AF2|+2a，当A，P，F2三点共线时，t有最小值，
此时，所以．
设焦距为2c，则F2（c，0），所以．
又，所以，化简得e4﹣e2﹣2＝0，解得e2＝2（舍负），
所以双曲线C的离心率（舍负），
故选：C．
12．已知函数（x＞0，e为自然对数的底数），，若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，+∞） B．[e，+∞） C． D．
解：因为x＞0，所以，
当且仅当，即x＝e时，f（x）取最小值2，
由，得，令g'（x）＝0得x＝e，
当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，
所以当x＝e时，g（x）有极大值也是最大值，为，
要使函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有零点，
即使方程f（x）﹣g（x）＝0有解，
则只需，解得，
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最小值为　　．
解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示．

作直线l0：x﹣3y＝0，平移直线l0，可知当直线l0平移至点C时，目标函数z＝x﹣3y取得最小值．
联立，解得点C的坐标为，
则．
故答案为：．
14．已知函数f（x）＝ex+2x，过点（1，2）作曲线y＝f（x）的切线，则函数的切线方程为　（e2+2）x﹣y﹣e2＝0　．
解：把点（1，2）代入f（x）＝ex+2x可知，点（1，2）不在曲线上．
设切点为（x0，y0），∵f（x）＝ex+2x，∴f'（x）＝ex+2，则所求切线的斜率．又，
∴，，∴x0＝2，∴，
∴所求的切线方程为y﹣（e2+4）＝（e2+2）（x﹣2），即（e2+2）x﹣y﹣e2＝0．
故答案为：（e2+2）x﹣y﹣e2＝0．
15．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且，|PF2|+|F2Q|＝4，则椭圆E的短轴长为　　．

解：如图，连接PF1，QF1.因为|OP|＝|OQ|，|OF1|＝|OF2|，
所以四边形PF1QF2为平行四边形．
又PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，
解得，
∴b2＝a2﹣c2＝2，∴椭圆E的短轴长．

故答案为：．
16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC＝BC＝2，AC⊥BC，AA1＝4，过点E作一个截面与平面BFC1平行，则截面的周长为　　．

解：如图，取AF的中点G，分别在CC1，BC上取点H，M，使，，
连接EG，GH，HM，EM．又F，G分别是AA1，AF的中点，
∴．又AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴FG∥HC1，FG＝HC1，
∴四边形FGHC1为平行四边形，∴GH∥FC1，GH＝FC1，∴GH∥平面BFC1．
∵，，∴MH∥BC1，，
∴MH∥平面BFC1.又MH∩GH＝H，∴平面EGHM∥平面BFC1．
又AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝2，E，F分别是AB，AA1的中点，AC⊥BC，AA1＝4，
∴，AF＝A1F＝2，∴，
，．
在△BEM中，，，∠EBM＝45°，
∴EM2＝BM2+BE2﹣2BM⋅BEcos45°＝，∴，
∴平面EGHM的周长为＝，
即所求的截面周长为．
故答案为：．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说朗、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查．得到如下列联表．

喜爱某种食品
不喜爱某种食品
合计
男生
20


女生

10

合计
60


（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关？
（Ⅲ）用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解：（Ⅰ）由表可知，100名学生中喜爱某种食品的学生有60 人，
其中喜爱某种食品的男生有20人，不喜爱某种食品的女生有10人，
∴喜爱某种食品的女生有40人，
不喜爱某种食品的男生有30人，
则完成列联表如下：

喜爱某种食品
不喜爱某种食品
合计
男生
20
30
50
女生
40
10
50
合计
60
40
100
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴有99.9%的把握认为喜爱某种食品与性别有关．
（Ⅲ）用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，
则其中男生有（人），分别设为A，B；女生有（人），分别设为1，2，3，4，
则从这6名学生中随机抽取2人有如下15种结果：AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，12，13，14，23，24，34，
其中恰好有1名男生喜爱某种食品有8种结果：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，
∴所求的概率．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，E，F分别为SB，AD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面SCD；
（Ⅱ）若∠BAD＝60°，SD＝4，AB＝2，求三棱锥C﹣DEF的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：如图，取SC的中点G，连接DG，EG，
∵E是SB的中点，
∴EG是△SBC的中位线，
∴EG∥BC，．
又DF∥BC，，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴EF∥DG．
又EF⊄平面SCD，DG⊂平面SCD，
∴EF∥平面SCD；
（Ⅱ）解：如图，连接AC，BD交于点O，连接EO，
∴BO＝OD，
∴EO∥SD，．
又SD⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，
∴，
∴VC﹣DEF＝VE﹣CDF＝＝＝．


19．在递增等差数列{an}中，a2+a4＝8，a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，证明：．
【解答】（Ⅰ）解：设递增等差数列{an}的公差为d（d＞0）．
由，a2+a4＝8，a1，a3，a7成等比数列，
得，
解得a1＝2，d＝1或0，（0舍去），
∴．
（Ⅱ）证明：设，
由（Ⅰ）知＝，
∴Tn＝b1+b2+⋯+bn＝＝＝＝．
20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，且点（1，）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点（0，3）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O构成三角形，求△AOB面积的最大值．
解：（Ⅰ）∵抛物线x2＝8y的焦点坐标为（0，2），
∴椭圆的半焦距c＝2．
由题可知，
解得a2＝8，b2＝4，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵A，B，O三点构成三角形，所以直线l的斜率存在且不为0，
则可设直线l的方程为y＝kx+3．
联立，
消去y整理得（2+k2）x2+6kx+1＝0．
由△＞0得36k2﹣4（2+k2）＞0，
即，
∴，，
∴＝＝．
易知，点O到直线l：y＝kx+3的距离，
∴＝＝．
设，
则，
∴，
当且仅当t＝3，即时等号成立，
∴△AOB面积的最大值为．
21．已知函数，，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为x﹣2y+n＝0．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）证明：f（x）＞2g（x）﹣1．
解：（Ⅰ）由已知得，∴n＝﹣1，
∵，
∴，解得：m＝1．
（Ⅱ）证明：设h（x）＝ex﹣x﹣1，则h'（x）＝ex﹣1，
由h'（x）＞0得x＞0；由h'（x）＜0得x＜0，
∴h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）在x＝0处取得最小值为h（0）＝0，
∴当x＞0时，ex＞x+1，∴，∴，
要证f（x）＞2g（x）﹣1，则在（0，+∞）上恒成立，
只需使在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
设，则，
由H'（x）＞0得x＞1，由H'（x）＜0得0＜x＜1，
∴H（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴H（x）在x＝1处取得极小值也是最小值，为H（1）＝0，
即在（0，+∞）上恒成立，
∴原不等式成立．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0．
（Ⅰ）求曲线C和直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于A，B两点，点P是曲线C上的一个动点，求△ABP的面积的最大值．
解：（Ⅰ）将（α为参数）中的参数α消去得x2+y2＝4，
将x2+y2＝ρ2代入上式得ρ2＝4，
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2．
将x＝ρcosα，y＝ρsinα代入直线方程x﹣y+2＝0得直线l的极坐标方程为ρcosα﹣ρsinα+2＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C是圆心为（0，0），半径R＝2的圆．
设P（2cosθ，2sinθ），则坐标原点O到直线l的距离，
∴，
∴＝＝．
又∵θ∈[0，2π），
∴，
∴，
∴△ABP面积的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+2＜0；
（Ⅱ）对任意的x∈R，f（x）≤m2+2m恒成立，求m的取值范围．
解：（I）f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|＝，......2分，
所以不等式f（x）+2＜0等价于，或，或；
解得x∈∅，或＜x＜2，或x≥2；
所以不等式f（x）+2＜0的解集为（，+∞）．......5分
（Ⅱ）由（I）知f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|＝，
作出函数f（x）的图象如图所示：

由图象可知﹣3≤f（x）≤3；......8分
因为对任意的x∈R，有f（x）≤m2+2m恒成立，
所以m2+2m≥3，......9分
即m2+2m﹣3≥0，
解得m≥1或m≤﹣3，
所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．......10分