十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题17 复数 Word版含解析

十二年高考真题分类汇编(2010-2021)  数学

专题17复数

1.（2021·全国1·理T1）设，则(   )

A. B. C. D.

答案：C

解析：本题考查复数的基本运算、共轭复数及其应用.设复数，可得，则，可得，，所以.

2．（2020·全国1·文T2）若，则

A．0 B．1

C．  D．2

答案：C

解析：，所以，故选C．

3.(2019·全国1·文T1)设z=,则|z|= (　　)

A.2 B. C. D.1

【答案】C

【解析】∵z=,

∴z=i,

∴|z|=.

故选C.

4.(2019·全国3·理T2文T2)若z(1+i)=2i,则z=(　　)

A.-1-i B.-1+i

C.1-i D.1+i

【答案】D

【解析】z==1+i.故选D.

5.(2019·北京·理T1文T2)已知复数z=2+i,则z·=(　　)

A. B. C.3 D.5

【答案】D

【解析】∵z=2+i,∴=2-i.

∴z·=(2+i)(2-i)=5. 故选D.

6.(2019·全国2·文T2)设z=i(2+i),则=(　　)

A.1+2i B.-1+2i

C.1-2i D.-1-2i

【答案】D

【解析】z=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.故选D.

7.(2019·全国1·理T2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)

A.(x+1)2+y2=1 

B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 

D.x2+(y+1)2=1

【答案】C

【解析】设z=x+yi(x,y∈R).

因为z-i=x+(y-1)i,

所以|z-i|==1,

则x2+(y-1)2=1.故选C.

8.(2019·全国2·理T2)设z=-3+2i,则在复平面内   对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】C

【解析】由z=-3+2i,得=-3-2i,则在复平面内对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.

9.(2018·全国1·理T1文T2)设z=+2i,则|z|=(　　)

A.0 B. C.1 D.

【答案】C

【解析】因为z=+2i=+2i=i,所以|z|=1.

10.(2018·全国2·理T1)=(　　)

A.-i B.-i 

C.-i D.-i

【答案】D

【解析】=-i.

11.(2018·全国2·文T1)i(2+3i)=(　　)

A.3-2i B.3+2i 

C.-3-2i D.-3+2i

【答案】D

【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.

12.(2018·全国3·理T2文T2)(1+i)(2-i)=(　　)

A.-3-i B.-3+i 

C.3-i D.3+i

【答案】D

【解析】(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.

13.(2018·北京·理T2文T2)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】D

【解析】∵i,∴i的共轭复数为i,而i对应的点的坐标为,点位于第四象限,故选D.

14.(2018·浙江·4)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-i

【答案】B

【解析】∵=1+i,

∴复数的共轭复数为1-i.

15.(2017·全国1·理T3)设有下面四个命题

p1:若复数z满足∈R,则z∈R;

p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;

p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;

p4:若复数z∈R,则∈R.

其中的真命题为(　　)

A.p1,p3     B.p1,p4 C.p2,p3    D.p2,p4

【答案】B

【解析】p1:设z=a+bi(a,b∈R),则∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;

p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;

p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;

p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.

16.(2017·全国2·理T1) =(　　)

A.1+2i    B.1-2i C.2+i            D.2-i

【答案】D

【解析】=2-i,故选D.

17.(2017·全国2·文T2)(1+i)(2+i)= (　　)

A.1-i  B.1+3i C.3+i                D.3+3i

【答案】B

【解析】(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.

18.(2017·山东·文T2)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=(　　)

A.-2i      B.2i C.-2               D.2

【答案】A

【解析】(方法一)∵z==1+=1-i,

∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i.

(方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i.所以z2=-2i.

19.(2017·全国3·理T2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(　　)

A. B.

C. D.2

【答案】C

【解析】由题意,得z==1+i,故|z|=.

20.(2017·全国1·文T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)

A.i(1+i)2 B.i2(1-i)

C.(1+i)2 D.i(1+i)

【答案】C

【解析】∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.

21.(2017·山东·理T2)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a=(　　)

A.1或-1 

B.或-

C.- 

D.

【答案】A

【解析】由z=a+i,得z·=|z|2=a2+3=4,所以a2=1,a=±1,选A.

22.(2017·全国3·文T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】C

【解析】由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.

23.(2017·北京·理T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1) 

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞) 

D.(-1,+∞)

【答案】B

【解析】设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点

(a+1,1-a)在第二象限,所以解得a<-1.故选B.

24.(2016·全国2·理T1)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-3,1) 

B.(-1,3)

C.(1,+∞) 

D.(-∞,-3)

【答案】A

【解析】要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足解得-3<m<1,故选A.

25.(2016·全国3·理T2)若z=1+2i,则=(　　)

A.1 B.-1 C.i D.-I

【答案】C

【解析】由题意知=1-2i,则=i,故选C.

26.(2016·北京·文T2)复数=(　　)

A.i B.1+i 

C.-i D.1-I

【答案】A

【解析】=i,故选A.

27.(2016·全国1·理T2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(　　)

A.1 B.

C. D.2

【答案】B

【解析】(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,y∈R,

所以x=1,y=x=1.

所以|x+yi|=|1+i|=,故选B.

28.(2016·全国1·文T2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(　　)

A.-3 B.-2

C.2 D.3

【答案】A

【解析】由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.

∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,

∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.

29.(2016·全国2·文T2)设复数z满足z+i=3-i,则=(　　)

A.-1+2i B.1-2i

C.3+2i D.3-2i

【答案】C

【解析】由z+i=3-i,得z=3-2i,所以=3+2i,故选C.

30.(2016·全国3·文T2)若z=4+3i,则= (　　)

A.1 B.-1

C.i D.i

【答案】D

【解析】因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|==5,共轭复数为=4-3i.故i,选D.

31.(2016·山东·理T1)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=(　　)

A.1+2i B.1-2i

C.-1+2i D.-1-2i

【答案】B

【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.

32.(2015·全国2·理T2)若a为实数,且(2+ai)·(a-2i)=-4i,则a=(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

【答案】B

【解析】∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,

∴解之,得a=0.

33.(2015·全国·文T3)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=(　　)

A.-2-i B.-2+i

C.2-i D.2+i

【答案】C

【解析】∵(z-1)i=1+i,

∴z=+1=+1=1-i+1=2-i.

34.(2015·全国2·文T2)若a为实数,且=3+i,则a=(　　)

A.-4 B.-3 C.3 D.4

【答案】D

【解析】由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则a=4.

35.(2015·安徽·文T1)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=(　　)

A.3+3i B.-1+3i

C.3+i D.-1+i

【答案】C

【解析】由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选C.

36.(2015·湖南·文T1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=(　　)

A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-i

【答案】D

【解析】由已知得z==-1-i.

37.(2015·全国1·理T1)设复数z满足=i,则|z|=(　　)

A.1 B.

C. D.2

【答案】A

【解析】∵=i,∴z==i,∴|z|=1.

38.(2015·湖北·理T1)i为虚数单位,i607的共轭复数为(　　)

A.i B.-i C.1 D.-1

【答案】A

【解析】∵i607=i151×4+3=i3=-i,∴i607的共轭复数为i.

39.(2015·安徽·理T1)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于(　　)

A.第一象限 

B.第二象限

C.第三象限 

D.第四象限

【答案】B

【解析】由复数除法的运算法则可得,=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选B.

40.(2014·全国2·理T2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(　　)

A.-5 B.5

C.-4+i D.-4-i

【答案】A

【解析】由题意知:z2=-2+i.

又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.

41.(2014·重庆·理T1)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于(　　)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】A

【解析】因为i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选A.

42.(2014·全国1·理T2)=(　　)

A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-I

【答案】D

【解析】=-1-i.故选D.

43.(2014·全国2·文T2)=(　　)

A.1+2i B.-1+2i

C.1-2i D.-1-2i

【答案】B

【解析】=-1+2i,故选B.

44.(2014·全国1·文T3)设z=+i,则|z|=(　　)

A. B. C. D.2

【答案】B

【解析】因为z=+i=+i=+i=i,所以|z|=,故选B.

45.(2013·全国1·理T2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(　　)

A.-4 B.- C.4 D.

【答案】D

【解析】∵(3-4i)z=|4+3i|,

∴z=i.

故z的虚部为,选D.

46.(2013·全国2·文T2)=(　　)

A.2 B.2

C. D.1

【答案】C

【解析】∵=1-i,∴=|1-i|=.

47.(2013·全国2·理T2)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=(　　)

A.-1+i B.-1-i

C.1+i D.1-i

【答案】A

【解析】z==-1+i.

48.(2013·全国1·文T2)=(　　)

A.-1-i B.-1+i

C.1+i D.1-i

【答案】B

【解析】=-1+i.

49.(2012·全国·理T3)下面是关于复数z=的四个命题:

p1:|z|=2,　　                       p2:z2=2i,

p3:z的共轭复数为1+i,　           　p4:z的虚部为-1,

其中的真命题为(　　)

A.p2,p3 B.p1,p2C.p2,p4 D.p3,p4

【答案】C

【解析】z==-1-i,故|z|=,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.

50.(2012·全国·文T2)复数z=的共轭复数是(　　)

A.2+i B.2-i

C.-1+i D.-1-i

【答案】D

【解析】z==-1+i,故z的共轭复数为-1-i.

51.(2011·全国·文T2)复数=(　　)

A.2-i B.1-2i

C.-2+i D.-1+2i

【答案】C

【解析】=-2+i.

52.(2010·全国·理T2)已知复数z=是z的共轭复数,则z·=(　　)

A. B. C.1 D.2

【答案】A

【解析】∵z=

=

=-,

∴=-.

∴z·.

53.(2010·全国·文T3)已知复数z=,则|z|等于(　　)

A. B. C.1 D.2

【答案】B

【解析】z==-=-,|z|=×2=.

54.(2018·天津·理T9文T9)i是虚数单位,复数=　　. 

【答案】4-i

【解析】=4-i.

55.(2019·天津·理T9文T9)i是虚数单位,则的值为___________.

【答案】

【解析】=2-3i.

.

56.(2019·江苏·T 2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是____　. 

【答案】2

【解析】∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,∴a-2=0,∴a=2.

57.(2018·上海·5)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=　　　　. 

【答案】5

【解析】因为(1+i)z=1-7i,

所以|1+i||z|=|1-7i|,即|z|=5,

解得|z|=5.

58.(2017·浙江·12)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=_____,ab=________. 

【答案】5    2

【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,

则解得则a2+b2=5,ab=2.

59.(2017·江苏·T 2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是      　. 

【答案】

【解析】由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=,答案为.

60.(2017·天津·理T9文T9)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为　　. 

【答案】-2

【解析】∵i为实数,

∴-=0,即a=-2.

61.(2016·江苏·T 2)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是　　. 

【答案】5

【解析】因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z的实部是5.

62.(2016·天津·理T9)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为　　. 

【答案】2

【解析】(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.

63.(2016·北京·理T9)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=　       　. 

【答案】-1

【解析】∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,

∴a+1=0,即a=-1.

64.(2015·天津·理T9)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　. 

【答案】-2

【解析】(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.

∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0,

∴a=-2.

65.(2015·江苏·T 3)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为      　. 

【答案】

【解析】因为z2=3+4i,所以|z2|==5,所以|z|=.

66.(2015·重庆·理T11)设复数a+bi(a,b∈R)的模为 ,则(a+bi)(a-bi)=　　. 

【答案】3

【解析】因为复数a+bi的模为,所以,

即a2+b2=3.

于是(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.