2018-2019学年湖北省黄石市白沙片区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2018-2019学年湖北省黄石市白沙片区八年级（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若y=1−2xx有意义，则x的取值范围是( )
A.x≤12且x≠0B.x≠12C.x≤12D.x≠0

2. 下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A.35，45，1B.3，4，6
C.5，12，13D.0.9，1.2，1.5

3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A.18B.13C.27D.0.5

4. 如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60∘，∠C=45∘，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )

A.432B.22C.832D.32

5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130∘，则∠AOE的大小为( )

A.75∘B.65∘C.55∘D.50∘

6. 若1≤a≤2，则化简a2−2a+1+|a−2|的结果是（ ）
A.2a−3B.−aC.3−2aD.1

7. 已知xy=3，那么xyx+yxy的值是( )
A.23B.−23C.±23D.±3

8. 如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为( )

A.4B.2C.22D.2

9. 如图，四边形ABCD中，AD // BC，∠ABC+∠DCB＝90∘，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1＝3，S3＝9，则S2的值为（ ）

A.12B.18C.24D.48

10. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF交AC于点M，连结DE，BO．若∠COB=60∘，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≅△CMB；③DE=EF；④S△AOE :S△BCM =2:3．其中正确结论的个数是( )

A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题，（每小题3分共18分）

12−4+|3−2|＝________．

若y=x−12+12−x−6，则xy=________．

如图长方形内两相邻正方形的面积分别是8和3，则长方形内阴影部分的面积是________．


三角形的三边长为a、b、c，且满足等式(a+b)2−c2＝2ab，则此三角形是________三角形（直角、锐角、钝角）．

已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为________3或27 ．

如图，已知∠MON＝120∘，点A，B分别在OM，ON上，且OA＝OB＝a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α(0∘<α<120∘且α≠60∘)，作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD＝CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α＝30∘时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为a2；
其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）．

三、解答题：（共72分）

计算
（1）(548−627+415)÷3

（2）(7+5)2−(7−5)2

先化简，再求值：(1x−y+1x+y)÷x2yx2−y2，其中x=3+1,y=3−1．

如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积？


某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？

（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？

已知：如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．
求证：GF＝GC．


一船在灯塔C的正东方向83海里的A处，以20海里时的速度沿北偏西60∘方向航行．
（1）多长时间后，船距灯塔最近？

（2）多长时间后，船到灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？

如图，D为AB上一点，△ACE≅△BCD，AD2+DB2＝DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．


计算观察下列计算
由(2+1)(2−1)＝1，得12+1=2−1；
由(3+2)(3−2)＝1，得13+2=3−2；
由(2+3)(2−3)＝1，得12+3=2−3．
（1）通过观察你能得出什么规律？

（2）利用（1）中你发现的规律计算，从计算结果中找出规律，并利用规律完成计算
(12+1+13+2+12+3+⋯⋯+12019+2018)×(2019+1)

在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：________．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：________；（将结论直接写在横线上）

(2)如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3)如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=22，CD=14BC，请求出GE的长．
参考答案与试题解析
2018-2019学年湖北省黄石市白沙片区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.
【答案】
A
【考点】
分式有意义、无意义的条件
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式及分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：1−2x≥0,x≠0,
解得：x≤12且x≠0.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
勾股数
【解析】
判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
A、352+452＝12，不是勾股数，故本选项不符合题意．
B、32+42≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．
C、52+122＝132，是勾股数，故本选项符合题意．
D、0.92+1.22＝1.52，不是勾股数，故本选项不符合题意．
3.
【答案】
B
【考点】
最简二次根式
【解析】
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】
解：A，18=32，故此选项错误；
B，13是最简二次根式，故此选项正确；
C，27=33，故此选项错误；
D，0.5=22，故此选项错误.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
勾股定理
含30度角的直角三角形
角平分线的定义
角平分线的性质
【解析】
在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．
【解答】
解：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=∠ADB=90∘.
在Rt△ADC中，AC=8，∠C=45∘，
∴ AD=CD.
∴ AD=22AC=42.
在Rt△ADB中，AD=42，∠ABD=60∘，
∴ BD=33AD=463.
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠EBD=30∘.
在Rt△EBD中，BD=463，∠EBD=30∘，
∴ DE=33BD=423.
∴ AE=AD−DE=823．
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
菱形的性质
【解析】
先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】
解：在菱形ABCD中，∠ADC=130∘，
∴ ∠BAD=180∘−130∘=50∘，
∴ ∠BAO=12∠BAD=12×50∘=25∘.
∵ OE⊥AB，
∴ ∠AOE=90∘−∠BAO=90∘−25∘=65∘．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
二次根式的性质与化简
【解析】
利用二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可．
【解答】
∵ 1≤a≤2，
∴ a2−2a+1+|a−2|
＝|a−1|+|a−2|
＝a−1+2−a
＝1，
7.
【答案】
C
【考点】
二次根式的化简求值
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简(xyx+yxy)2，代入xy＝3，最后再开方即可．
【解答】
解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，
所以(xyx+yxy)2=x2⋅yx+y2⋅xy+2xy=4xy，
∵ xy=3，
所以4xy=12，
即(xyx+yxy)2=12.
∵ x与y是同号，
∴ 原式=±23.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
正方形的性质
勾股定理
【解析】
设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果．
【解答】
解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：
S△BDF=4+a2−12×4−12a(a−2)−12a(a+2)
=2+a2−12a2+a−12a2−a
=2．
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
【解析】
根据已知条件得到AB=3，CD＝3，过A作AE // CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝3，由已知条件得到∠BAE＝90∘，根据勾股定理得到BE=AB2+AE2=23，于是得到结论．
【解答】
∵ S1＝3，S3＝9，
∴ AB=3，CD＝3，
过A作AE // CD交BC于E，
则∠AEB＝∠DCB，
∵ AD // BC，
∴ 四边形AECD是平行四边形，
∴ CE＝AD，AE＝CD＝3，
∵ ∠ABC+∠DCB＝90∘，
∴ ∠AEB+∠ABC＝90∘，
∴ ∠BAE＝90∘，
∴ BE=AB2+AE2=23，
∵ BC＝2AD，
∴ BC＝2BE＝43，
∴ S2＝(43)2＝48，
10.
【答案】
B
【考点】
矩形的性质
线段垂直平分线的性质
全等三角形的性质
【解析】
①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；
③可证明∠CDE=∠DFE；
④可通过面积转化进行解答．
【解答】
解：①∵ 矩形ABCD中，O为AC中点，
∴ OB=OC，
∵ ∠COB=60∘，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ OB=BC，
∵ FO=FC，
∴ FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵ △BOC为等边三角形，FO=FC，
∴ BO⊥EF，BF⊥OC，
∴ ∠CMB=∠EOB=90∘，
∴ BO≠BM，
∴ △EOB与△CMB不全等；
故②错误；
③易知△ADE≅△CBF，∠CBF=∠FBO=∠OBE=30∘，
∴ ∠ADE=∠CBF=30∘，∠BEO=60∘，
∴ ∠CDE=60∘，∠DFE=∠BEO=60∘，
∴ ∠CDE=∠DFE，
∴ DE=EF，
故③正确；
④易知△AOE≅△COF，
∴ S△AOE=S△COF，
∵ S△COF=2S△CMF，
∴ S△AOE:S△BCM=2S△CMF:S△BCM=2FMBM，
∵ ∠FCO=30∘，
∴ FM=CM3，BM=3CM，
∴ FMBM=13，
∴ S△AOE:S△BCM=2:3，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选B.
二、填空题，（每小题3分共18分）
【答案】
3
【考点】
实数的性质
二次根式的加减混合运算
【解析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】
原式＝23−2+2−3
=3；
【答案】
−3
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出x与y的值．
【解答】
由题意可知：x−12≥012−x≥0 ，
解得：x=12，
∴ y=0+0−6=−6，
∴ xy=−3，
【答案】
26−3
【考点】
二次根式的应用
【解析】
根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是22和3，由图知，矩形的长和宽分别为22+3，22，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】
∵ 长方形内两相邻正方形的面积分别是8和3，
∴ 两相邻正方形的边长分别是22和3，
∴ 矩形的长和宽分别为22+3，22，
∴ 矩形的面积＝8+26，
∴ 长方形内阴影部分的面积＝8+26−8−3＝26−3，
【答案】
直角
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【解答】
∵ (a+b)2−c2＝2ab，
∴ a2+2ab+b2−c2＝2ab，
∴ a2+b2＝c2，
∴ 三角形是直角三角形．
【答案】
2
【考点】
勾股定理
【解析】
分两种情况：
①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
分别根据勾股定理计算AC和BC即可．
【解答】
分两种情况：
①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDA＝90∘，
∵ CD=3，AD＝1，
∴ AC＝2，
∵ AB＝2AC，
∴ AB＝4，
∴ BD＝4−1＝3，
∴ BC=CD2+BD2=32+(3)2=23；
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
同理得：AC＝2，AB＝4，
∴ BC=CD2+BD2=(3)2+52=27；
综上所述，BC的长为23或27．
【答案】
①③④
【考点】
菱形的判定与性质
旋转的性质
轴对称的性质
等边三角形的性质
【解析】
①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM′是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；
②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD＝∠E＝60∘，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；
③当α＝30∘时，即∠AOD＝∠COD＝30∘，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC＝OA＝AD＝CD，可作判断；
④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断．
【解答】
①∵ A、C关于直线OM′对称，
∴ OM′是AC的垂直平分线，
∴ CD＝AD，
故①正确；
②连接OC，
由①知：OM′是AC的垂直平分线，
∴ OC＝OA，
∴ OA＝OB＝OC，
以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，
∵ ∠MON＝120∘，
∴ ∠BOE＝60∘，
∵ OB＝OE，
∴ △OBE是等边三角形，
∴ ∠E＝60∘，
∵ A、C、B、E四点共圆，
∴ ∠ACD＝∠E＝60∘，
故②不正确；
③当α＝30∘时，即∠AOD＝∠COD＝30∘，
∴ ∠AOC＝60∘，
∴ △AOC是等边三角形，
∴ ∠OAC＝60∘，OC＝OA＝AC，
由①得：CD＝AD，
∴ ∠CAD＝∠ACD＝∠CDA＝60∘，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ AC＝AD＝CD，
∴ OC＝OA＝AD＝CD，
∴ 四边形OADC为菱形；
故③正确；
④∵ CD＝AD，∠ACD＝60∘，
∴ △ACD是等边三角形，
当AC最大时，△ACD的面积最大，
∵ AC是⊙O的弦，当AC为直径时最大，此时AC＝2a，
S△ACD＝×(2a)2＝；
故④正确，
所以本题结论正确的有：①③④
三、解答题：（共72分）
【答案】
原式＝548÷3−627÷3+415÷3
＝20−18+45
＝2+45；
原式＝7+5+235−(7+5−235)
＝435．
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】
（1）利用二次根式的除法法则运算；
（2）先利用完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】
原式＝548÷3−627÷3+415÷3
＝20−18+45
＝2+45；
原式＝7+5+235−(7+5−235)
＝435．
【答案】
解：原式=(x+yx2−y2+x−yx2−y2)÷x2yx2−y2=2xx2y=2xy，
当x=3+1,y=3−1时，
原式=2xy=2(3+1)(3−1)=23−1=1．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．
【解答】
解：原式=(x+yx2−y2+x−yx2−y2)÷x2yx2−y2=2xx2y=2xy，
当x=3+1,y=3−1时，
原式=2xy=2(3+1)(3−1)=23−1=1．
【答案】
如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，设BD＝x，则CD＝14−x．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2−BD2＝152−x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2−CD2＝132−(14−x)2，
∴ 152−x2＝132−(14−x)2，解得x＝9，此时AD2＝152−92＝122，故AD＝12，
△ABC的面积：12×BC×AD=12×14×12=84．
【考点】
三角形的面积
【解析】
先作出三角形的高，然后求出高，利用三角形的面积公式进行计算．
【解答】
如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，设BD＝x，则CD＝14−x．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2−BD2＝152−x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2−CD2＝132−(14−x)2，
∴ 152−x2＝132−(14−x)2，解得x＝9，此时AD2＝152−92＝122，故AD＝12，
△ABC的面积：12×BC×AD=12×14×12=84．
【答案】
甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
售完这批T恤衫商店共获利5960元
【考点】
分式方程的应用
【解析】
（1）可设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；
（2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．
【解答】
设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有
78001.5x+30=6400x，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程组的解，且符合题意，
1.5x＝60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
6400x=160，
160−30＝130（元），
130×60%×60+160×60%×(40÷2)−160×[1−(1+60%)×0.5]×(40÷2)
＝4680+1920−640
＝5960（元）
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
【答案】
证明：如图，取BE的中点H，连接FH、CH．
∵ F是AE的中点，H是BE的中点，∴ FH是三角形ABE的中位线，
∴ FH // AB且FH=12AB，
又∵ 点E是DC的中点，
∴ EC=12DC，
∵ AB＝DC
∴ FH＝EC
又∵ AB // DC，
∴ FH // EC．
∴ 四边形EFHC是平行四边形，
∴ GF＝GC．
【考点】
全等三角形的性质与判定
三角形中位线定理
平行四边形的性质
【解析】
取BE的中点H，连接FH、CH，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFHC为平行四边形即可．
【解答】
证明：如图，取BE的中点H，连接FH、CH．
∵ F是AE的中点，H是BE的中点，∴ FH是三角形ABE的中位线，
∴ FH // AB且FH=12AB，
又∵ 点E是DC的中点，
∴ EC=12DC，
∵ AB＝DC
∴ FH＝EC
又∵ AB // DC，
∴ FH // EC．
∴ 四边形EFHC是平行四边形，
∴ GF＝GC．
【答案】
0.6小时船与灯塔最近
0.8小时船在灯塔正北方．此时船为灯塔有8海里．
【考点】
方向角
勾股定理的应用
【解析】
（1）根据方向角可知∠CAD＝60∘，由三角函数可求AD的长，根据时间＝路程÷速度，列式计算即可求解；
（2）根据三角函数可求AE，CE的长，根据时间＝路程÷速度，列式计算即可求解．
【解答】
过点C作CD⊥AB于D，此时船与灯塔最近．
90∘−60∘＝30∘，
CD＝AC×sin30∘＝83×12=43海里，
AD＝AC×cs30∘＝12海里，
12÷20＝0.6（小时）．
答：0.6小时船与灯塔最近．
过点C作CE⊥AC交AB于点E，则AE＝2CE，
∵ AC＝83，
∴ CE2+(83)2＝(2CE)2，
∴ CE＝8海里，
∴ AE＝16海里，
16÷20＝0.8（小时）．
答：0.8小时船在灯塔正北方．此时船为灯塔有8海里．
【答案】
△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵ △ACE≅△BCD，
∴ AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD，
∵ AD2+DB2＝DE2，
∴ AD2+AE2＝DE2，
∴ ∠EAD＝90∘，
∴ ∠EAC+∠DAC＝90∘，
∴ ∠DAC+∠B＝90∘，
∴ ∠ACB＝180∘−90∘＝90∘，
∵ AC＝BC，
∴ △ABC是等腰直角三角形．
【考点】
全等三角形的性质
勾股定理的逆定理
【解析】
根据全等三角形的性质得出AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD，根据勾股定理的逆定理得出∠EAD＝90∘，求出∠ACB＝90∘，即可求出答案．
【解答】
△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵ △ACE≅△BCD，
∴ AC＝BC，∠EAC＝∠B，AE＝BD，
∵ AD2+DB2＝DE2，
∴ AD2+AE2＝DE2，
∴ ∠EAD＝90∘，
∴ ∠EAC+∠DAC＝90∘，
∴ ∠DAC+∠B＝90∘，
∴ ∠ACB＝180∘−90∘＝90∘，
∵ AC＝BC，
∴ △ABC是等腰直角三角形．
【答案】
n+1+n与n+1−n互为倒数（n为正整数）；
原式＝(2−1+3−2+⋯+2019−2018)×(2019+1)
＝(2019−1)×(2019+1)
＝2019−1
＝2018．
【考点】
分母有理化
二次根式的混合运算
【解析】
（1）利用题中的等式可得到n+1+n与n+1−n互为倒数（n为正整数）这个结论；
（2）利用（1）中的结论得到原式＝(2−1+3−2+⋯+2019−2018)×(2019+1)，然后合并后利用平方差公式计算．
【解答】
n+1+n与n+1−n互为倒数（n为正整数）；
原式＝(2−1+3−2+⋯+2019−2018)×(2019+1)
＝(2019−1)×(2019+1)
＝2019−1
＝2018．
【答案】
垂直,BC=CD+CF
CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵ 正方形ADEF中，AD=AF，
∵ ∠BAC=∠DAF=90∘，
∴ ∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC ，
∴ △DAB≅△FAC，
∴ ∠ABD=∠ACF，
∵ ∠BAC=90∘，AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC=45∘．
∴ ∠ABD=180∘−45∘=135∘，
∴ ∠BCF=∠ACF−∠ACB=135∘−45∘=90∘，
∴ CF⊥BC．
∵ CD=DB+BC，DB=CF，
∴ CD=CF+BC．
过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵ ∠BAC=90∘，AB=AC，
∴ BC=2AB=4，AH=12BC=2，
∴ CD=14BC=1，CH=12BC=2，
∴ DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ AD=DE，∠ADE=90∘，
∵ BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴ 四边形CMEN是矩形，
∴ NE=CM，EM=CN，
∵ ∠AHD=∠ADE=∠EMD=90∘，
∴ ∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90∘，
∴ ∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM∠AHD=∠DMEAD=DE ，
∴ △ADH≅△DEM，
∴ EM=DH=3，DM=AH=2，
∴ CN=EM=3，EN=CM=3，
∵ ∠ABC=45∘，
∴ ∠BGC=45∘，
∴ △BCG是等腰直角三角形，
∴ CG=BC=4，
∴ GN=1，
∴ EG=GN2+EN2=10．
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90∘，推出△DAB≅△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≅△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90∘，推出△DAB≅△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=2AB=4，AH=12BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90∘，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
①正方形ADEF中，AD=AF，
∵ ∠BAC=∠DAF=90∘，
∴ ∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC ，
∴ △DAB≅△FAC，
∴ ∠B=∠ACF，
∴ ∠ACB+∠ACF=90∘，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≅△FAC，
∴ CF=BD，
∵ BC=BD+CD，
∴ BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵ 正方形ADEF中，AD=AF，
∵ ∠BAC=∠DAF=90∘，
∴ ∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC ，
∴ △DAB≅△FAC，
∴ ∠ABD=∠ACF，
∵ ∠BAC=90∘，AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC=45∘．
∴ ∠ABD=180∘−45∘=135∘，
∴ ∠BCF=∠ACF−∠ACB=135∘−45∘=90∘，
∴ CF⊥BC．
∵ CD=DB+BC，DB=CF，
∴ CD=CF+BC．
过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵ ∠BAC=90∘，AB=AC，
∴ BC=2AB=4，AH=12BC=2，
∴ CD=14BC=1，CH=12BC=2，
∴ DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ AD=DE，∠ADE=90∘，
∵ BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴ 四边形CMEN是矩形，
∴ NE=CM，EM=CN，
∵ ∠AHD=∠ADE=∠EMD=90∘，
∴ ∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90∘，
∴ ∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM∠AHD=∠DMEAD=DE ，
∴ △ADH≅△DEM，
∴ EM=DH=3，DM=AH=2，
∴ CN=EM=3，EN=CM=3，
∵ ∠ABC=45∘，
∴ ∠BGC=45∘，
∴ △BCG是等腰直角三角形，
∴ CG=BC=4，
∴ GN=1，
∴ EG=GN2+EN2=10．