2019-2020学年湖北省武汉市某校七年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年湖北省武汉市某校七年级（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在实数，227，7，π3，0.1010010001，36，35中，无理数有（ ）个．
A.1B.2C.3D.4

2. 下列各式中正确的是（ ）
A.49=±7B.364=4C.−9=−3D.8=4

3. 如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB // CD的是( )

A.∠3=∠4B.∠1=∠2
C.∠D=∠DCED.∠D+∠ACD=180∘

4. 将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40∘，则∠2的度数是( )

A.40∘B.50∘C.60∘D.70∘

5. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A.无限小数都是无理数
B.若a=b，则a＝b
C.y轴上的点，纵坐标为0
D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

6. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC:∠EOB＝2:9，则∠BOD的度数是（ ）

A.15∘B.16∘C.18∘D.20∘

7. 如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35∘，那么同时从B观测轮船的方向是（ ）

A.南偏西 35∘B.东偏西 35∘C.南偏东 55∘D.南偏东 35∘

8. 甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）
A.甲比乙大5岁B.甲比乙大10岁C.乙比甲大10岁D.乙比甲大5岁

9. 在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标均为整数的点为整点，A、B、C、D分别为x轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上的整点．若正方形ABCD．若正方形ABCD内部的整点比正方形ABCD边上的整点要多37个，那么A点坐标为（ ）
A.(4, 0)B.(5, 0)C.(6, 0)D.(7, 0)

10. 如图，已知AB // CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF的度数为（ ）

A.120∘B.135∘C.45∘或135∘D.60∘或120∘
二、填空题（每题3分，共18分）

16的平方根是________．

二元一次方程2x+ay＝7有一个解是x=3y=1 ，则a的值为________．

估计与40最接近的整数是________．

已知，A(−2, 4)，B(3, 4)，则AB长为________．

已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程(a−b)x−(a+b)y＝a+b有一组公共解，则公共解为________．

如图，点A在y轴正半轴，点B在x轴正半轴，点C在x轴负半轴，∠BAO＝40∘，D为x轴上一动点，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，若∠BAE＝α，则∠FDC＝________．（用含α的式子表示）

三、解答题（共8小题，共72分）

（1）计算：32+3−8−2394
（2）解下列方程组：
3x+4y=165x−6y=33

如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB // CD．
证明：∵ AF⊥CE 已知 ，
∴ ∠CGF＝90∘，
∵ ∠1＝∠D 已知 ，
∴ AF // ________，
∴ ∠4＝________＝90∘(________)，
又∵ ∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180∘，
∴ ∠2+∠C＝∠2+∠3＝90∘，
∴ ∠C＝________，
∴ AB // CD 内错角相等，两直线平行 ．


小明想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为4:3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？（通过计算说明）

如图，点A，B的坐标分别为(2, 0)，(0, 1)，将线段AB平移到MN，使点A移至点M的位置，点B至点N的位置，设平移过程中线段AB扫过的面积为S．

（1）如图1，若点N的坐标是(3, 1)，则点M的坐标为________，请画出平移后的线段MN；

（2）如图2，若点M的坐标是(3, 1)，请画出平移后的线段MN，则S的值为________；

（3）若S＝2.5，且点M在坐标轴上，请直接写出所有满足条件的M点的坐标．

如图，已知∠ABC＝63∘，∠ECB＝117∘，∠P＝∠Q．

（1）AB与ED平行吗？为什么？

（2）∠1与∠2是否相等？说说你的理由．

王老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处赵主任交账说：我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1600元，现在还余518元．赵主任算了一下说：你肯定搞错了．
(1)赵主任为什么说王老师搞错了？请你用方程组的知识给予解释；

(2)王老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于5元的整数，笔记本的单价可能为多少？

如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD // BE

（1）求证：∠B+∠C−∠A＝180∘：

（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；

（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC // QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC:∠ACB:∠CBE＝________．

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−a, a)，a≠0，点B的坐标为(b, c)，且a、b、c满足a−2b−3c=−12a−3b−5c=−4 ．
（1）若−a>a，判断点A处于第几象限，给出你的结论并说明理由；

（2）若c为最小正整数，x轴上是否存在一点P，使三角形ABP的面积等于10，若存在，求点P的坐标；若不存在请说明理由．

（3）点C为坐标系内一点，连接AB、OC，若AB // OC，且AB＝OC，直接写出点C的坐标．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省武汉市某校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1.
【答案】
C
【考点】
立方根的性质
算术平方根
无理数的识别
【解析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
227是分数，属于有理数；
0.1010010001是有限小数，属于有理数；
36=6，是整数，属于有理数；
无理数有，7，π3，35共3个．
2.
【答案】
B
【考点】
立方根的性质
算术平方根
【解析】
根据算术平方根和立方根的定义可以进行判定．
【解答】
B、364=4，故选项B正确（1）C、−9不成立，因为负数没有算术平方根，故选项C不正确（2）D、8=22，故选项D不正确（3）故选：B．
3.
【答案】
B
【考点】
平行线的判定与性质
【解析】
根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】
解：A，根据内错角相等，两直线平行可得BD // AC，不合题意；
B，根据内错角相等，两直线平行可得AB // CD，符合题意；
C，根据内错角相等，两直线平行可得BD // AC，不合题意；
D，根据同旁内角互补，两直线平行可得BD // AC，不合题意.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
翻折变换（折叠问题）
平行线的判定与性质
【解析】
结合平行线的性质得出：∠1=∠3=∠4=40∘，再利用翻折变换的性质得出答案．
【解答】
解：如图：
由题意可得：∠1=∠3=∠4=40∘，
则∠2=∠5=180∘−40∘2=70∘.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
命题与定理
【解析】
分别利用无理数的定义、坐标轴上的点的特点、平行公理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
A、无限不循环小数是无理数，故错误，是假命题，不符合题意；
B、若a=b，则a＝b，正确，是真命题，符合题意；
C、y轴上的点，横坐标为0，故错误，是假命题，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
6.
【答案】
C
【考点】
角平分线的定义
邻补角
对顶角
【解析】
根据角平分线的定义和对顶角的性质即可得到结论．
【解答】
设∠EOC＝2x，∠EOB＝9x，
∵ OA平分∠EOC，
∴ ∠AOE=12∠EOC＝x，
根据题意得x+9x＝180∘，解得x＝18∘，
∴ ∠EOA＝∠AOC＝x＝18∘，
∴ ∠BOD＝∠AOC＝18∘，
7.
【答案】
D
【考点】
方向角
【解析】
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．根据定义就可以解决．
【解答】
根据方位角的概念，画出图形如下
由题意可知∠2＝∠1＝35∘，
所以从B观察轮船的方向是南偏东35∘．
8.
【答案】
A
【考点】
二元一次方程的应用
【解析】
设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁．
根据：甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则列方程x−y=y−10x−y=25−x ，然后求x−y的值即可．
【解答】
设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁．
由题意知x−y=y−10x−y=25−x ，即x−2y=−102x−y=25
由①+②得 3×(x−y)＝25−10，即x−y＝5
9.
【答案】
C
【考点】
正方形的性质
坐标与图形性质
【解析】
先找出当点A(n, 0)时，正方形ABCD内部的整点有[1+4+8+12+(n−1)]＝(2n2−2n+1)个，正方形ABCD边上的整点为4n个，由题意列出方程可求解．
【解答】
当点A(1, 0)时，正方形ABCD内部的整点有1个，正方形ABCD边上的整点为4个；
当点A(2, 0)时，正方形ABCD内部的整点有5个，正方形ABCD边上的整点为8个，
当点A(3, 0)时，正方形ABCD内部的整点有13个，正方形ABCD边上的整点为12个，
当点A(4, 0)时，正方形ABCD内部的整点有25个，正方形ABCD边上的整点为16个，
当点A(5, 0)时，正方形ABCD内部的整点有41个，正方形ABCD边上的整点为20个，
∴ 当点A(n, 0)时，正方形ABCD内部的整点有[1+4+8+12+(n−1)]＝(2n2−2n+1)个，正方形ABCD边上的整点为4n个，
∵ 正方形ABCD内部的整点比正方形ABCD边上的整点要多37个，
∴ 2n2−2n+1−4n＝37，
∴ n＝6或−3（舍去），
∴ 点A(6, 0)，
10.
【答案】
C
【考点】
平行线的性质
垂线
【解析】
根据题意画出图形，然后再利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．
【解答】
如图1，
过M作MN // AB，
∵ AB // CD，
∴ AB // CD // NM，
∴ ∠AEM＝∠EMN，∠NMF＝∠MFC，
∵ ∠EMF＝90∘，
∴ ∠AEM+∠CFM＝90∘，
同理可得∠P＝∠AEP+∠CFP，
由折叠可得：∠AEP＝∠PEM=12∠AEM，∠PFC＝∠PFM=12∠CFM，
∴ ∠P=12(∠AEM+∠CFM)＝45∘，
如图2，过M作MN // AB，
∵ AB // CD，
∴ AB // CD // NM，
∴ ∠AEM+∠EMN＝180∘，∠NMF+∠MFC＝180∘，
∴ ∠AEM+∠EMF+∠CFM＝360∘，
∵ ∠EMF＝90∘，
∴ ∠AEM+∠CFM＝360∘−90∘＝270∘，
由折叠可得：∠AEP＝∠PEM=12∠AEM，∠PFC＝∠PFM=12∠CFM，
∴ ∠P＝270∘×12=135∘，
综上所述：∠EPF的度数为45∘或135∘，
二、填空题（每题3分，共18分）
【答案】
±4
【考点】
平方根
【解析】
根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】
解：∵ (±4)2＝16，
∴ 16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【答案】
1
【考点】
二元一次方程的解
解一元一次方程
【解析】
把x＝3，y＝1代入方程2x+ay＝7得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】
把x＝3，y＝1代入方程2x+ay＝7得：6+a＝7，
解得：a＝1．
【答案】
6
【考点】
估算无理数的大小
【解析】
直接利用40最接近的整数为6和7，再计算6.52，即可得出答案．
【解答】
∵ 360，
∴ x=30，
∴ 长方形纸片的长为430 厘米，
∵ 30>5，即长方形纸片的长大于20厘米，
由正方形纸片的面积为400平方厘米，可知其边长为20厘米，
∴ 长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
【答案】
(5, 0)
10
由题意当M在x轴上时，M(4, 5, 0)或(−0.5, 0)，
当M在y轴上时，M(0, 94)或(0, −14)．
【考点】
作图-相似变换
【解析】
（1）根据平移的性质作出图形即可．
（2）根据平移的性质作出图形即可，利用平行四边形的面积核实求解即可．
（3）分两种情形：M在x轴或y轴上分别求解即可．
【解答】
如图，线段MN即为所求．
如图，线段MN即为所求．S=5×2=10，
故答案为10．
由题意当M在x轴上时，M(4, 5, 0)或(−0.5, 0)，
当M在y轴上时，M(0, 94)或(0, −14)．
【答案】
AB // ED，
理由是：∵ ∠ABC＝63∘，∠ECB＝117∘，
∴ ∠ABC+∠BCE＝180∘，
∴ AB // ED；
理由是：∵ ∠P＝∠Q，∠POB＝∠COQ，∠P+∠PBO+∠POB＝180∘，∠Q+∠QOC+∠QCO＝180∘，
∴ ∠PBO＝∠QCO，
∵ AB // DE，
∴ ∠1+∠PBO＝∠2+∠QCO，
∴ ∠1＝∠2．
【考点】
平行线的判定与性质
【解析】
（1）求出∠ABC+∠BCE＝180∘，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠PBO＝∠QCO，根据平行线的性质得出∠1+∠PBO＝∠2+∠QCO，即可求出答案．
【解答】
AB // ED，
理由是：∵ ∠ABC＝63∘，∠ECB＝117∘，
∴ ∠ABC+∠BCE＝180∘，
∴ AB // ED；
理由是：∵ ∠P＝∠Q，∠POB＝∠COQ，∠P+∠PBO+∠POB＝180∘，∠Q+∠QOC+∠QCO＝180∘，
∴ ∠PBO＝∠QCO，
∵ AB // DE，
∴ ∠1+∠PBO＝∠2+∠QCO，
∴ ∠1＝∠2．
【答案】
解：(1)设单价为8元的书购买了x本，单价为12元的书购买了y本，
依题意，得：x+y=105,8x+12y=1600−518,​
解得：x=892,y=1212.
∵ x，y均为正整数，
∴ 赵主任说他搞错了．
(2)设单价为8元的书购买了m本，则单价为12元的数购买了(105−m)本，笔记本的单价为n元，
依题意，得：8m+12(105−m)+n=1600−518，
∴ n=4m−178．
∵ m为正整数，且n为小于5的整数，
∴ m=45，n=2．
答：笔记本的单价为2元．
【考点】
二元一次方程组的应用——其他问题
二元一次不定方程的整数解
【解析】
（1）设单价为8元的书购买了x本，单价为12元的书购买了y本，根据两种书共买了105本且共花费(1600−518)元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，由该值不为整数，即可得出赵主任搞错了；
（2）设单价为8元的书购买了m本，则单价为12元的数购买了(105−m)本，笔记本的单价为n元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m为正整数且n为小于5的整数，即可得出结论．
【解答】
解：(1)设单价为8元的书购买了x本，单价为12元的书购买了y本，
依题意，得：x+y=105,8x+12y=1600−518,​
解得：x=892,y=1212.
∵ x，y均为正整数，
∴ 赵主任说他搞错了．
(2)设单价为8元的书购买了m本，则单价为12元的数购买了(105−m)本，笔记本的单价为n元，
依题意，得：8m+12(105−m)+n=1600−518，
∴ n=4m−178．
∵ m为正整数，且n为小于5的整数，
∴ m=45，n=2．
答：笔记本的单价为2元．
【答案】
在图①中，过点C作CF // AD，则CF // BE．
∵ CF // AD // BE，
∴ ∠ACF＝∠A，∠BCF＝180∘−∠B，
∴ ∠ACF+∠BCF+∠B−∠A＝∠A+180∘−∠B+∠B−∠A＝180∘．
在图2中，过点Q作QM // AD，则QM // BE．
∵ QM // AD，QM // BE，
∴ ∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵ AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴ ∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=12∠CBE，
∴ ∠AQB＝∠BQM−∠AQM=12(∠CBE−∠CAD)．
∵ ∠C＝180∘−(∠CBE−∠CAD)＝180∘−2∠AQB，
∴ 2∠AQB+∠C＝180∘．
1:2:2
【考点】
平行线的性质
垂线
【解析】
（1）过点C作CF // AD，则CF // BE，根据平行线的性质可得出∠ACF＝∠A、∠BCF＝180∘−∠B，据此可得；
（2）过点Q作QM // AD，则QM // BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=12(∠CBE−∠CAD)，结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C＝180∘；
（3）由（2）的结论可得出∠CAD=12∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE＝180∘②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC:∠ACB:∠CBE中可求出结论．
【解答】
在图①中，过点C作CF // AD，则CF // BE．
∵ CF // AD // BE，
∴ ∠ACF＝∠A，∠BCF＝180∘−∠B，
∴ ∠ACF+∠BCF+∠B−∠A＝∠A+180∘−∠B+∠B−∠A＝180∘．
在图2中，过点Q作QM // AD，则QM // BE．
∵ QM // AD，QM // BE，
∴ ∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵ AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴ ∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=12∠CBE，
∴ ∠AQB＝∠BQM−∠AQM=12(∠CBE−∠CAD)．
∵ ∠C＝180∘−(∠CBE−∠CAD)＝180∘−2∠AQB，
∴ 2∠AQB+∠C＝180∘．
∵ AC // QB，
∴ ∠AQB＝∠CAP=12∠CAD，∠ACP＝∠PBQ=12∠CBE，
∴ ∠ACB＝180∘−∠ACP＝180∘−12∠CBE．
∵ 2∠AQB+∠ACB＝180∘，
∴ ∠CAD=12∠CBE．
又∵ QP⊥PB，
∴ ∠CAP+∠ACP＝90∘，即∠CAD+∠CBE＝180∘，
∴ ∠CAD＝60∘，∠CBE＝120∘，
∴ ∠ACB＝180∘−(∠CBE−∠CAD)＝120∘，
∴ ∠DAC:∠ACB:∠CBE＝60∘:120∘:120∘＝1:2:2，
故答案为：1:2:2．
【答案】
∵ −a>a，
∴ −2a>0，
∴ a0，
∵ A(−a, a)，
∴ 点A在第四象限．
由题意c＝1，
∴ a−2b=22a−3b=1 ，
解得a=−4b=−3 ，
∴ A(4, −4)，B(−3, 1)，
如图1中，过点A作AC⊥x轴于C，连接BC，设AB交x轴于D．
∵ AC⊥x轴于C，A(4, −4)，B(−3, 1)，
∴ AC＝4，C(4, 0)，|xC−xB|＝7，|yB|＝1，
∴ S△ABC=12×AC×7＝14，
又∵ S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12⋅CD⋅AC+12⋅CD⋅|yB|=52CD＝14，
∴ CD=285，
∴ D(−85, 0)，
假设点P存在，
∵ S△ABP＝10，
∴ 12⋅PD⋅|yA|+12⋅PD⋅|yB|＝10，
∴ PD＝4，
当点P在点D的左侧时，P(−285, 0)，
当点P在点D的右侧时，P(125, 0)．
解法一：由a−2b−3c=−12a−3b−5c=−4 ，解得b=−a−7c=a+5 ，
∴ B(−a−7, a+5)，
∵ A(−a, a)，
∴ 由平移可知：C(−7, 5)或(7, −5)．
解法二：设a+b＝m，b+c＝n，
则原方程组化为m−2n=−12m−5n=−4 ，解得m=−7n=−2 ，
∴ a+b＝−7，b+c＝−2，
∴ b＝−a−7，c＝a+5，
则B(−a−7, a+5)，
∵ A(−a, a)，
∴ 由平移可知：C(−7, 5)或(7, −5)．
【考点】
三角形综合题
【解析】
（1）由题意aa，
∴ −2a>0，
∴ a0，
∵ A(−a, a)，
∴ 点A在第四象限．
由题意c＝1，
∴ a−2b=22a−3b=1 ，
解得a=−4b=−3 ，
∴ A(4, −4)，B(−3, 1)，
如图1中，过点A作AC⊥x轴于C，连接BC，设AB交x轴于D．
∵ AC⊥x轴于C，A(4, −4)，B(−3, 1)，
∴ AC＝4，C(4, 0)，|xC−xB|＝7，|yB|＝1，
∴ S△ABC=12×AC×7＝14，
又∵ S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12⋅CD⋅AC+12⋅CD⋅|yB|=52CD＝14，
∴ CD=285，
∴ D(−85, 0)，
假设点P存在，
∵ S△ABP＝10，
∴ 12⋅PD⋅|yA|+12⋅PD⋅|yB|＝10，
∴ PD＝4，
当点P在点D的左侧时，P(−285, 0)，
当点P在点D的右侧时，P(125, 0)．
解法一：由a−2b−3c=−12a−3b−5c=−4 ，解得b=−a−7c=a+5 ，
∴ B(−a−7, a+5)，
∵ A(−a, a)，
∴ 由平移可知：C(−7, 5)或(7, −5)．
解法二：设a+b＝m，b+c＝n，
则原方程组化为m−2n=−12m−5n=−4 ，解得m=−7n=−2 ，
∴ a+b＝−7，b+c＝−2，
∴ b＝−a−7，c＝a+5，
则B(−a−7, a+5)，
∵ A(−a, a)，
∴ 由平移可知：C(−7, 5)或(7, −5)．