2022马鞍山高三下学期第二次教学质量监测（二模）数学（文）PDF版含答案

2022年高三第二次教学质量监测

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 0          14.      15.           16.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）  【命题意图】本题考查频率分布表，抽样调查，古典概型．难度：中档题．

【解】解：（1）众数为75                                          ……………………2分

竞赛成绩在分的人数为，

竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，

设受奖励分数线为，则，

解得，故受奖励分数线的估计值为．                      .………………………6分

（2）由（Ⅰ）知，受奖励的15人中，分数在的人数为9，分数在的人数为6，

利用分层抽样，可知分数在的抽取3人，分数在的抽取2人，

设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，所有的可能情况有，，，，，，，，，，共10种                                               .………………………8分

满足条件的情况有，，，，，共6种…………10分

故所求的概率为                                       .………………………12分

18．（12分）【命题意图】本题考查解三角形，三角恒等变换．难度：中档题．

【解】（1）由余弦定理：

，故,                            ..............................2分

由于,,,则.                     ............................4分

由正弦定理：，得      ......................................................6分

（2）由（1）知,故,

故                                   ..............................8分

则，故                    .............................10分

因为，所以，所以，解得. .....................12分

19．(12分) 【命题意图】本题考查空间几何体线面关系和体积．难度：中档题．

【证明】（1）因为,所以，所以.

所以为等边三角形，所以.                    ……………………………2分

又因为四边形为等腰梯形，所以，，

所以，且，所以四边形为菱形.

连接,所以.

又因为，分别为棱，的中点，所以,所以……………………4分

因为为正三角形，为棱的中点，所以

又因为平面平面，且平面平面,平面

所以平面，又因为平面

所以,                                            ……………………………7分

又因为平面,平面,

所以平面                                      ……………………………8分

（2）由（1）知四边形是边长为2的菱形，四边形也为菱形，所以，

因为与为等边三角形且边长为2，所以 ………………………10分

所以               ……………………………12分

（其它解法正确同样给分）

20．（12分）【命题意图】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生探究问题的能力，考查的核心素养是数学运算，逻辑推理．难度：较难题．

【解】（1）由题意，，由：，

解得，，所以，抛物线的标准方程：                    ……………………5分

（2）证明：设，设直线方程：，

联立：，整理得：，满足：，

得： ，                                  .……………………….7分

得：

于是：，

………….10分

综上，.                                       .……………………….12分

21．（12分）【命题意图】本题考查导函数及其应用．难度：较难题．

解析：（1）                                   ................................1分

①当时，恒成立，故在上恒增；                   ................................2分

②当时，当时,单调递增，

时，单调递减，

时，单调递增                         ................................4分

综上所述：当时，在上恒增；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减             .................................5分

（2），由于，，

，，                       ...............................7分

令

，由于，则，

故单调递增，                                  ...............................8分

，，

所以存在使得，即                ...............................10分

当时，单调递减，当时，单调递增；

那么，，故，

由于为整数，则的最大值为4.                                     ...............................12分

(2)的解法二：

①当时，，在上单调递增，满足题意；...........7分

②当时，设，由（1）在上单调递减，在上单调递增，，由题意

，即，                            .........9分

令（）

，故单调递增，，

存在使得，那么，解得                ..........11分

故，即，所以整数的最大值为4.              ..........12分

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【命题意图】本题主要考查曲线方程的变换，直线与圆的位置关系以及极坐标运算等知识，考查运算求解能力，数形结合思想．难度：中档题．

【解】（1）曲线的极坐标方程：，得：，

由，得曲线的直角坐标方程：……….2分

由直线：，得：，

设 ；解得：，所以，定点的极坐标为……………………….5分

（2）由（1）得，曲线：，圆心，半径，

由，得圆心到直线的距离.

当直线的斜率不存在时，，经检验满足题意；

当直线的斜率存在时，设，即：.

，直线的方程为:

所以，直线的方程：或……………………….10分

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）【考查意图】本题考查解绝对值不等式，利用基本不等式证明不等式．难度：中等题．

【解】（1），                          ……………………………2分

由此解得：

所以不等式的解集为                          ……………………………5分

（2）由（1），

当且仅当时，即时取等号        .…………………………………10分

        （其他方法酌情给分）