2022年河南省名校联盟高考数学二模试卷（文科）

2022年河南省名校联盟高考数学二模试卷（文科）

1. 设集合，，，则

A.  B.  C.  D.

2. i是虚数单位，则

A. 1 B. i C.  D. 0

3. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题中正确的是

A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为真命题
B. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 命题“，”的否定是“”

5. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是

A.  B.  C.  D.

6. 正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么

A.  B.  C.  D.

7. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是

A.  B.  C.  D.

8. 已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为
   
    

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

9. 甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下：
   甲：乙得奖．
   乙：丙得奖．
   丙：乙说错了．
   丁：我没得奖．
   四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

10. 记为等比数列的前n项和，若数列也为等比数列，则

A.  B. 1 C.  D. 2

11. 若，，则

A.  B.  C.  D.

12. 已知椭圆C：上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点的纵坐标为，则椭圆C的离心率是

A.  B.  C.  D.

13. 已知点满足约束条件，则的最小值为______ .
14. 写出一个符合“对，”的函数______ .
15. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则此双曲线的离心率是______ .
16. “中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜如图，已知“天眼”的形状为球冠球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，裁得的圆为底，垂直于圆面的直径被载得的部分为高，设球
    冠底的半径为r，球冠的高为h，则球的半径______ .

17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量，，且
    求角B；
    若，，求角
    
    
    
    
    
    
     
18. 2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验，党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：

做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r说明相关关系的强弱，若，认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到
参考公式：
参考数据：，，
完成以下列联表，并判断是否有的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.

，

19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，点M是AB中点，点N是中点，点P是与的交点，点Q在线段上．
    求证：平面；
    求点Q到平面的距离．
    
     

20. 已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为，过点F的直线1与抛物线C相交于A，B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点.
    求抛物线C的方程及F的坐标；
    设，的面积分别为，，求的最大值.
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；
    若函数，当时，证明：，
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
    求曲线C的直角坐标方程；
    已知点P的直角坐标为，l与曲线C交于A，B两点，求
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数，
    解不等式：；
    记的最小值为M，若正实数a，b满足，试求：的最小值.
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，

故选：
进行补集和并集的运算即可．
本题考查了集合的列举法的定义，并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：原式，
故选：
利用，即可得出．
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查古典概型的概率求法，属于基础题．
根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由古典概型的概率公式计算可得答案.

【解答】

解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别记为a，b，c，
田忌的上，中，下三个等次的马分别记为A，B，C，
从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种可能，
根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局，共3种可能，
则田忌的马获胜的概率为
故选：

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．
根据复合命题的判定，否命题与命题的否定以及充分必要条件的知识逐项分析即可.
【解答】
解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为假命题，故A不正确；
命题“若，则”的否命题为：“若，则”，故B不正确；
“”“，或，”，
“”“”，
故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；
命题“，”的否定是“”，故D正确．
故选  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，属于基础题．
根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性判断即可．

【解答】

解：函数是奇函数且是增函数，
对于A，函数定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，
对于B，函数在定义域上不是单调函数，
对于C，函数的定义域上不是单调函数，
对于D，函数定义域为R，且，，故函数是奇函数，又与都是增函数，所以为增函数.
故选：

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
根据向量加法和减法法则进行转化求解即可．

【解答】

解：，F分别是DC，BC的中点，

，
故选：

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
求得双曲线的渐近线方程可得，代入点P的坐标，可得a，b的方程组，解方程即可得到所求双曲线的方程．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线方程为，
可得，
由双曲线经过点，可得，
解得，，
则双曲线的方程为
故选：  

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查三视图与几何体直观图的关系，几何体形状的判断，是基本知识的考查．
画出几何体的直观图，利用几何体的直观图判断直角三角形的个数即可．
【解答】
解：某四面体的三视图：正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，

如图，四面体为正方体的一部分，
4个面都是直角三角形．
故选：  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查简单的合情推理，考查学生逻辑推理能力，是基础题．
分别假设甲、乙、丙、丁，说的是真话，分析四个人说的话，由此能求出结果．

【解答】

解：若甲说的符合事实，由甲知，乙得奖，由乙知，丙未得奖，由丙知，乙说的正确，则丙得奖，矛盾；
若乙说的符合事实，由甲知，乙没得奖，由乙知，丙得奖，由丙知，乙说的正确，则丙得奖，由丁知，丁得奖，矛盾；
若丙说的符合事实，由甲知，乙没得奖，由乙知，丙未得奖，由丙知，乙说的错误，则丙没得奖，由丁知，丁得奖，符合条件；
若丁说的符合事实，由甲知，乙没得奖，由乙知，丙未得奖，由丙知，乙说的正确，则丙得奖，矛盾；
综上：丙说的符合事实，得奖的是丁，
故选：

10.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为q，
若数列也为等比数列，则、、也是等比数列，
则有，即，
变形可得：，
解可得或0，
又由，则，
故选：
根据题意，设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式可得，变形可得关于q的方程，解可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，属于中档题．
把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，化简求解，进一步求得，再由商的关系可得的值．

【解答】

解：由，得，
即，
，
，
则，解得，
则，

故选：

12.【答案】B
 

【解析】解：设，，则，，两式相减可得：，即，线段MN中点的纵坐标为，
解得；于是，解得，
所以椭圆的离心率
故选：
设出M，N，利用平方差法，转化求解a，b的关系，然后求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力．
 

13.【答案】6
 

【解析】

【分析】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，属于基础题．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过点时，
z有最小值为
故答案为：  

14.【答案】x
 

【解析】解：对，，
，即是奇函数，
则满足条件，
故答案为：
根据条件判断函数是奇函数，利用奇函数的定义进行求解即可．
本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键，是基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为
可得双曲线的渐近线方程是
结合题意双曲线的渐近线方程是，得
，可得
因此，此双曲线的离心率
故答案为：
设双曲线的方程为，可得它的渐近线方程是，结合题意解出，再利用平方关系算出，根据离心率公式即可得出此双曲线的离心率．
本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：球冠底的半径为r，球冠的高为h，
则球的半径，
可得，
故答案为：
利用已知条件，结合勾股定理，转化求解即可．
本题考查球的半径的求法，球冠的概念的理解与应用，是基础题．
 

17.【答案】解：由题意得，
故，
因为B为三角形的内角，
所以；
若，，，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
故或
 

【解析】由已知结合向量数量积的坐标表可求，进而可求B；
由已知结合正弦定理可求，然后结合三角形的大边对大角可求
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦定理的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：散点图如右图：

由散点图可知，管理时间y与土地使用面积x线性相关，
依题意：，又，
，
，
，
则，
，
管理时间y与土地使用面积x线性相关性较强．
列联表如下：

，
有的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关．
 

【解析】根据题目数据做出散点图，即可判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关，代入相关系数r公式，求出r的近似值，进而说明相关关系的强弱．
根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题主要考查了线性回归方程，考查了独立性检验的应用，是基础题．
 

19.【答案】证明：连结BN，连结，交于点H，连结MH，
因为，，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，
所以面平面，
又因为平面，所以平面；
解：由可知，面平面，
则点B到平面的距离h即为所求，
由平面ABC，所以为锥体的高，
故，
在中，，
，，
所以，
由等体积法，可得，解得，
所以点Q到平面的距离为
 

【解析】本题考查了点面几何法、线面平行的判定与性质、棱锥的体积，等体积法，属于中档题．
连结BN，连结，交于点H，连结MH，利用线面平行的判定定理证明平面和平面，再由面面平行的判定定理和性质定理即可得证；
将点Q到平面的距离转化为一个锥体的高，利用等体积法，即可求得点Q到平面的距离．
 

20.【答案】解：抛物线C：的焦点，准线方程为，
由抛物线的定义可得，，解得，
所以抛物线的方程为，；
由可得，设，，
易得直线l存在斜率，设为k，
直线l的方程为，与抛物线的方程联立，消去x，可得，
恒成立，，，
设原点O到直线l的距离为，，
所以，
易得，设Q到直线l的距离为，，
所以，
故，
设，，
当且仅当，即时，取得等号，
所以的最大值为
 

【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，解方程可得p，进而得到抛物线的方程和焦点F；
设直线l的方程为，与抛物线的方程联立，运用焦点弦长公式和点到直线的距离公式、三角形的面积公式，可得，求得Q的坐标和Q到直线l的距离，以及面积，再由换元法和基本不等式可得所求最大值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，由题意则有两个不等实根.
设，，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，时，且时，，而，
所以方程有两个不等实根.则；
证明：函数，
当时，，，
，在上单调递增，
，，
因此唯一，使得
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
由，可得：
所以，
，
所以，
 

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与函数有两个不同交点．利用导数研究函数的单调性极值即可得出实数a的取值范围．
函数，当时，，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．
 

22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为，整理得
将直线l的参数方程为为参数，代入，
得到，
所以，，
故
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
直接利用直线与曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：，
，或或，
或或，，
不等式的解集为
由知，，
，
，




，当且仅当时“=”成立，
故的最小值是
 

【解析】先将写为分段函数的形式，然后根据，分别解不等式即可；
由可得，从而得到，再利用基本不等式求出的最小值即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是中档题．