2022年四川省九市（内江市、广安市、雅安市、遂宁市、眉山市、乐山市）高考数学二模试卷（理科）

2022年四川省九市（内江市、广安市、雅安市、遂宁市、眉山市、乐山市）高考数学二模试卷（理科）

1. 已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

2. 已知复数，则

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则

A.  B.  C.  D.

4. 的展开式中，含项的系数为

A. 120 B. 40 C.  D.

5. 如图，长方体中，点E是棱的中点，点F是棱上的动点．给出以下结论：
   ①在F运动的过程中，直线能与AE平行；
   ②直线与EF必然异面；
   ③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上．其中，所有正确结论的序号是

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

6. 设等差数列的前n项和为，且，，则取最小值时，n的值为

A. 19 B. 20 C. 21 D. 20或21

7. 已知直线与相交于点A，过A的直线l与圆M：相交于点B，C，且，则满足条件的直线l的条数为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 函数的图象大致为

A.  B.
C.  D.

9. 已知抛物线C以坐标原点O为顶点，以为焦点，过的直线与抛物线C交于两点A，B，直线AB上的点满足，则

A.  B.  C. 40 D. 80

10. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会即2022年北京冬季奥运会的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶、冰球、花样滑冰、跳台滑雪、自由式滑雪、雪车这6个项目随机选择3个比赛项目现场观赛注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛，则所选择的3个观赛项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为

A. 1 B.  C. 2 D.

11. 已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为若点是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

12. 设，，，则a，b，c的大小关系正确的是

A.  B.  C.  D.

13. 如图，在中，两直角边，，点E，F分别为斜边AB的三等分点，则______.
    
     

14. 函数的图象向右平移后所得函数图象关于y轴对称，则______.
15. 造纸术是我国古代四大发明之一，现在我国纸张的规格采用国际标准，常用的复印纸是幅面采用A系列的，，，…，规格的一种．其中A系列的幅面规格为：①规格的纸张的幅宽用x表示和长度用y表示的比例关系是；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格．将纸张沿长度方向对开成两等分，便成规格．……，如此继续对开，得到一张纸的面积为，则一张纸的面积为______
16. 已知P，A，B，C，D都在同一个球面上，平面平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为______.
17. 某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入单位：亿元进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码x的值分别对应2012年至2021年．
    
    若用模型①，②拟合y与x的关系，其相关系数分别为，，试判断哪个模型的拟合效果更好？
    根据中拟合效果更好的模型，求y关于x的回归方程系数精确到，并估计该县2025年的乡村经济收入结果精确到
    参考数据：，，，，

参考公式：对于一组数据，，…，，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，






 

18. 已知向量，，设函数
    求函数的单调递增区间；
    设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____，求的取值范围．
    从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
    ①；②；③a，b，c成等比数列．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，已知是边长为6的等边三角形，点M，N分别在AB，AC上，，O是线段MN的中点．将沿直线MN进行翻折，A翻折到点P，使得二面角是直二面角，如图
    
    若平面POC，求MN的长；
    求二面角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
    求椭圆C的方程；
    设是椭圆C上第一象限内的点，直线l过P且与椭圆C有且仅有一个公共点．
    ①求直线l的方程用，表示；
    ②设O为坐标原点，直线l分别与x轴，y轴相交于点M，N，试探究的面积是否存在最小值．若存在，求出最小值及相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    当时，求曲线在点处的切线方程；
    若a为整数，当时，，求a的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为，为参数，曲线C的方程为以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
    求直线l及曲线C的极坐标方程；
    设直线l与曲线C相交于M，N两点，满足，求直线l的斜率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数
    若存在，使得，求实数a的取值范围；
    令的最小值为若正实数a，b，c满足，求证：
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：，

故选：
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：由复数，
则，
故选：
由复数模的运算及复数的运算求解即可．
本题考查了复数模的运算，重点考查了复数的运算，属基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：因为，
则
故选：
由已知结合两角差的正弦公式展开即可求解．
本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：展开式中含的项为，
所以的系数为40，
故选：
根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了下的运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：长方体中，，，，
连接，，EF，当E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：
，，，
四边形是平行四边形，运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，故①正确，②错误；

以为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则当点E，F分别是、中点，且长方体为正方体时，
设棱长为2，则，，，
，，则，
又两向量有公共点，，M，N三点共线，
点可能在直线PQ上，故③正确．
故选：
当点E，F分别为棱，中点时，可证明四边形是平行四边形，由此能判断①②；建立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱，中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线，判断③．
本题考查命题真假的判断，考查空间中、直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：设等差数列的公差为d，，，
，，
解得，，
时，
解得，
则取最小值时，n的值为20或
故选：
利用等差数列的通项公式与求和公式可得，d，令，即可得出结论．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：由，得，点，
圆M：的标准方程为，
圆心坐标为，半径，
由，可得圆心M到直线l的距离，直线l过点，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
圆心M到直线l的距离，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
圆心到直线l的距离，此方程无解，
故满足条件的直线l的条数为
故选：
分直线l的斜率不存在与存在两种情况，利用垂径定理及勾股定理即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：函数的定义域为R，
，则为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除选项A；
当时，，可排除选项D；
由，可排除选项
故选：
首先判断的奇偶性，可得图象的对称性，再考虑的值与，的变化，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：由直线AB上的点满足，可知，
故直线AB的方程为，即，
将代入可得，则抛物线方程为，
联立，得，设，，
则，，故，
故
故选：
根据，可得直线AB的斜率，进而求得直线方程，求得，得到抛物线方程，联立后利用弦长公式求得从而求出答案．
本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线相交的弦长问题，属中档题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为X，则X的可能取值为1，2，3，
，，，

故选：
分别求出奖牌的项目为1，2，3的概率，按照均值的公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：由双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为
可知，，，，
双曲线的方程为，双曲线的准线方程为，

由双曲线的性质知，，

故选：
由已知易得双曲线的方程为，双曲线的准线方程为，，计算可得最小值．
本题考查双曲线的第二定义，以及双曲线的几何性质，距离和的最小值的求法，属中档题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：，
设，
，
所以在上单调递增且，
，
，
，令，

所以在上单调递减且，
，
即，
即，
，令，
，
时，，时，，
故在上单调递增，且，
，
，
即，即，

故选：
构造函数，即可比较大小．
本题考查了函数的性质，对数的运算，属于基础题．
 

13.【答案】10
 

【解析】解：以CB、CA为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
点E，F分别为斜边AB的三等分点，
，；
，，
，
故答案为：
以CB、CA为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，从而转化为坐标运算即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：的图象右移得到函数，
的图象关于y轴对称，
，，
又，
，
故答案为：
由的图象右移得到函数，结合对称性求值．
本题考查了三角函数图象变换及三角函数图象性质应用，属于基础题．
 

15.【答案】9984
 

【解析】解：可设纸张的面积分别为，，1，2，3，4，
则为等比数列，公比为，
，解得，
一张纸的面积为
故答案为：
根据已知条件，结合等比数列的通项公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握等比数列的通项公式是解本题的关键，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，过点P作于Q，

平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
，故四棱锥的体积最大，即PQ最大，
，PQ最大，即面积最大，
由，，
得，，得，
当且仅当时取等号，此时面积最大，为等边三角形．
取的外心为，正方形ABCD的外心为，
过，分别作所在平面的垂线，交点为O，
O即为四棱锥外接球的球心，
四边形为矩形，，，
设外接球半径为R，则
故答案为：
先求出四棱锥的体积最大时，为等边三角形，再找出外接球的球心，通过勾股定理即可求得半径．
本题主要考查空间想象能力的培养，球与多面体的切接问题等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：因为更接近1，所以的拟合效果更好．
根据题中所给数据得，
则，
所以回归方程为，
2025年的年份代码为14，
当时，，
所以估计该县2025年的乡村经济收入为亿元．
 

【解析】根据相关系数即可得出答案；
根据最小二乘法结合题中数据求出，即可求出回归方程，再根据回归方程即可求出该县2025年的乡村经济收入的估计值．
本题考查了回归模型的选择，回归方程的求解以及利用回归方程作出预测，属于中档题．
 

18.【答案】解：
由，，解得，，
所以函数数的单调递增区间为，；
选择①：由；及正弦定理得，
即，，，，
，则，，则，
，即的取值范围为
选择②：由；可得，
，，，，
，，，则，
，即的取值范围为
选择③；由a，b，c成等比数列．则，
由余弦定理得，当且仅当时取等号，，
，则，
，即的取值范围为
 

【解析】由，，可求函数的单调递增区间；
选择①：由已知可得，求得，可求，可求的取值范围．
选择②：由已知可得，求得，可求，可求的取值范围．
选择③：由已知可得，可求，可求的取值范围．
本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角形内角和，函数值域等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，属中档题．
 

19.【答案】解：设BC中点为E，因为是边长为6的等边三角形，O是线段MN的中点，则，
又因为二面角是直二面角，平面平面，平面PMN，
所以平面MNB，
以O为原点，分别以OM，OE，OP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，，则，，，，
所以，
因为平面POC，则，故，
又，得，
解得，故
因为平面PMN，则平面PMN的一个法向量为，
由，得，
设平面PMB的一个法向量为，
则，
又，取解得，，
故，
所以，
故二面角的余弦值为
 

【解析】以O为原点建立空间直角坐标系，写出的坐标，由即可求解参数，从而得结果；
分别求出平面PMN与平面PMB的一个法向量，结合二面角的向量夹角公式即可求解．
本题主要考查二面角的求解，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：由题意可得，解得，
故椭圆C的方程为
①由题意知，P在椭圆上，故，直线l斜率一定存在，
设l：，
联立椭圆方程得：，
由有且仅有一个公共点，可得，
得，，
对于确定的点P，直线l只有一条，
即关于k的一元二次方程有两个相同的根，
，，
化简得
②由l：知，
令，，令，，
，
又，即，
得，当且仅当时取等号，
此时面积最小为，点
 

【解析】利用离心率和点的坐标解方程组即可；
①设出直线l的方程，联立椭圆方程，利用得到关于k的一元二次方程，解出k，即可写出直线l；②直接表示出面积，借助基本不等式求最小值即可．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：当时，，
，
所以，
又，
所以在点处的切线方程为，即；
当时，恒成立，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
设，



，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
所以，
又a为整数，
所以a的最小值为
 

【解析】求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可得出答案；
由，可得，求导，再令，用导数法得到时，取得极小值，分和时，即论证，再验证是否成立即可．
本题考查了利用导数的几何意义求切线方程以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线l的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为；
曲线C的方程为，根据，转换为极坐标方程为；
根据题意：，
所以，
故，，
所以，
整理得，
解得，
故
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：
所以在上递减，在上递增，
所以，
，解得，
即实数a的取值范围是
证明：由得，a，b，，
所以，
当且仅当，，时等号成立．
 

【解析】由绝对值定义分类去绝对值符号化为分段函数，由函数性质得最小值，再解相应不等式可得结果；
由柯西不等式证明即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，柯西不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．