2022年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）

2022年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）

1. 复数的实部为

A.  B. 0 C. 1 D. 2

A.  B.  C.  D.

3. 定义集合且已知集合，，，则中元素的个数为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. 曲线在点处的切线方程为

A.  B.  C.  D.

5. 某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元对年销售量单位：千件的影响．现收集了近5年的年宣传费单位：万元和年销售量单位：千件的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为，则下列结论错误的是

A. x，y之间呈正相关关系
B.
C. 该回归直线一定经过点
D. 当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件

6. 在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，，则二面角的大小为

A.  B.  C.  D.

7. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的实数x的取值共有

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个





 

8. 已知函数，现有下列四个命题：
   ①，，成等差数列；
   ②，，成等差数列；
   ③，，成等比数列；
   ④，，成等比数列．
   其中所有真命题的序号是

A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④

9. 已知，，则

A. 2 B. 4 C.  D.

10. 函数的部分图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为

A.  B.  C.  D.

11. 为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有

A. 2940种 B. 3000种 C. 3600种 D. 5880种

12. 已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是

A.  B.  C.  D.

13. 已知为奇函数，当时，则______.
14. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，则______.
15. 设P为椭圆和双曲线的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为______，______.
16. 如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为______

17. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸单位：服从正态分布，且
    求的概率；
    若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于190mm的零件个数，求X的分布列与数学期望．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知，数列满足，
    求的通项公式；
    设，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在三棱柱中，点在底面ABC内的射影恰好是点C，点D是AC的中点，且
    证明：
    已知，，，求直线与平面所成角的正弦值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数
    当时，求的单调区间；
    若对恒成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在直角坐标系xOy中，抛物线C：与直线l：交于P，Q两点，且抛物线C的准线与x轴交于点M，G是以M为圆心，为半径的圆上的一点非原点，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，
    求抛物线C的方程；
    求面积的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，M为该曲线上一动点．
    当时，求M的直角坐标；
    若射线OM逆时针旋转后与该曲线交于点N，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知正数a，b，c，d满足，证明：
    ；
    
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：，
的实部为
故选：
根据已知条件，结合复数实部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数实部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：
故选：
利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简即可求解．
本题考查了诱导公式，二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：由定义集合且，
又，，
则，
又集合，
则，
即中元素的个数为4，
故选：
由集合的定义，结合集合的交、并、补的运算求解即可．
本题考查了集合的交、并、补的运算，属基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：因为，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
故所求切线方程为
故选：
求出导函数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
本题考查函数导数的应用，切线的斜率以及切线方程的求法，是中档题．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：由表中数据可得，，，
故回归直线一定经过点，
故，解得，故AB正确，C错误，
将代入，解得，
故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，故D正确．
故选：
根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可依次求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：因为底面ABCD，平面ABCD，所以，
又，，所以平面PAD，

因为平面PAD，则，所以二面角的平面角为
在中，，则
故二面角的大小为
故选：
证明线面垂直，线线垂直，找到二面角的平面角，再进行求解．
本题主要考查二面角的计算，属于基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：由程序框图可知，该循环需循环2次输出结果，
则输出，令，解得或，
故输入的实数x的取值共有3个．
故选：
由程序框图可知，，解出x，即可求解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：对于①，，，
故，，成等差数列，故是真命题；
对于②，，，
故，，成等差数列，故是真命题；
对于③，，
故，，不成等比数列，故是假命题；
对于④，，
故，，成等比数列，故是真命题；
故选：
由对数运算及等比数列与等差数列的性质依次判断即可．
本题考查了等比数列及等差数列性质应用及对数运算性质的应用，属于中档题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：由题意，可得，
即，
又，，
代人可得，解得，
所以，
故选：
由，两边平方可得，再由向量展开代人求解即可．
本题考查了向量的线性运算和模的求法，是基础题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，
结合五点法作图，，，故
再把点代入，可得，
，
现将的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
在区间上，，
，
故选：
由周期求出，由五点法作图求出的值，由特殊点坐标求出A，可得函数的解析式．再根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，由特殊点坐标求出函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：根据题意不同的安排方法共有种
故选：
根据题意派往3个医院的人数分配有2种情况：2、2、4，3、3、以此可解决此题．
本题考查排列组合应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：由，得，
，或
当时，原方程化为，当时，原方程化为
画出方程所表示的曲线如图：

当A、B与图中D、E中一点重合时，取最大值为6，
当A、B与图中F、G、K、H中一点重合时，取最小值为，
的最大值与最小值的比值是
故选：
把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合求解．
本题考查曲线与方程，考查数形结合思想，是中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据题意，当时，
则，，
又由为奇函数，则，
故，
故答案为：
根据题意，由函数的解析式求出和的值，结合奇偶性求出的值，进而计算可得答案．
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，可得，
因为，
所以，
解得
故答案为：
由已知利用正弦定理可得，进而根据余弦定理即可求解的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 
 

【解析】解：M的离心率；
设M的右焦点为，因为，且M与N的焦点都在x轴上，
所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，
所以，
解得，
故答案为：
根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆和双曲线的定义即可得出答案．
本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，属于基础题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设圆锥的底面半径为rcm，圆柱形冰块的底面半径为xcm，高为hcm，
由已知可得，，解得，
，
设圆柱形冰块的体积为V，则，
令，
则，
则当时，，当时，，

酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为
故答案为：
设圆锥的底面半径为rcm，圆柱形冰块的底面半径为xcm，高为hcm，由三角形面积求得，可得，，进一步得到冰块体积，，令，，再由导数求最值即可．
本题考查圆柱、圆锥体积公式的应用，考查运算求解能力，训练了利用导数求最值，是中档题．
 

17.【答案】解：因为零件尺寸服从正态分布，
所以，
因为，所以；
依题意可得，
所以
，
，
所以X的分布列为

所以或
 

【解析】由正态分布的对称性求解；服从二项分布，求出相应的分布列及数学期望．
本题考查了离散型随机变量的正态分布和二项分布的分布列及期望，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，
所以，
以上各式相加得，，
又，所以，
当时，，满足上式，
故的通项公式为
由知，，
所以，
故
 

【解析】根据配方法，累加法，结合题目已知等式，可得解，注意检验的情形；
采用裂项求和法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握累加法与裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：点在底面ABC内的射影是点C，
平面ABC，平面ABC，
在中，，，，
，平面
平面，

解：以B为坐标原点，过点B作，以的方向为z轴的正方向，
分别以的方向为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，

设平面的法向量为，
则即
可取
又，
，
直线与平面所成角的正弦值为
 

【解析】证明，推出平面然后证明
以的方向为z轴的正方向，分别以的方向为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

20.【答案】解：的定义域为，……分
当时，……分
当时，，则的单调递减区间为，……分
当时，，则的单调递增区间为……分
由对恒成立，得对恒成立．……分
设，则当时，；当时，……分
所以，……分
则，……分
解得，
故a的取值范围是……分
 

【解析】当时，求得，进而可求得的单调区间；
对恒成立对恒成立，构造函数，求导分析，可求得其最小值为2e，再解不等式即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题
 

21.【答案】解：依题意可设，，则，
因为，
所以，故
又，所以
故抛物线C的方程为
现证明抛物线C：在点处的切线方程为
证明如下：联立方程组整理得，
则
因为在抛物线C上，
所以，即，
故抛物线C：在点处的切线方程为
设，，，
则直线GA，GB的方程分别为和
因为点G在直线GA，GB上，所以
故直线AB的方程为
联立方程组整理得，
则，，
故，
点到直线AB的距离为，
故的面积为，
由题可知，，，
则圆M的方程为，故，
因为，
所以
所以
故面积的取值范围为
 

【解析】依题意求出点P和点Q的坐标，用向量表示垂直，即可求得抛物线的方程；
先求出抛物线上的切线方程，考虑点G在上，求点G到直线AB的距离，以及AB的长度，即可的面积范围．
本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，三角形面积的范围问题，属于难题．
 

22.【答案】解：因为，所以，，
因为，所以或，所以M的极坐标为或，
故M的直角坐标为或
设，则
因为，，
所以
令，
则
所以，
当时，有最大值，
此时，，
故的最大值为
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】证明：因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
又正数a，b，c，d满足，
所以；
因为正数a，b，c，d满足，
所以由柯西不等式，
可得，
当且仅当，时，等号成立，
故
 

【解析】由重要不等式和不等式的性质可得证明；
运用柯西不等式和不等式的性质可得证明．
本题考查不等式的证明，注意基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．