2022届高考数学二轮专题复习18圆锥曲线中的综合问题

圆锥曲线中的综合问题

1．定点问题

1．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上．

（1）求的方程；

（2）过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）解：因为四点，，，中恰有三点在上，

而点，关于原点对称，，

所以点，，在曲线上，代入可得，解得，

所以的方程为．

（2）解：当直线斜率不存在时，得，，，

则直线方程为，过点；

当直线斜率存在时，设为，，，则，

联立，整理得，，，，

则，所以，

又

，

所以，即直线过点．

2．已知点是椭圆的右焦点，点到直线的距离为，椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率分别为，，若，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）直线过定点．

【解析】（1）由题意知，点到直线的距离，，

又椭圆的离心率，，，

∴椭圆方程．

（2）设该直线过定点，设直线的方程，

联立，消去整理得，

设，，则，，

，

，

，

即，

，解得，即直线过定点．

3．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，轴，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，为的中点，作射线交椭圆于点，交直线于点，且满足，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标．

【答案】（1）；（2）证明见解析，．

【解析】（1）因为，，

则，

又，解得，

故椭圆的方程为．

（2）当直线斜率存在且不为0时，设（），，

由，

得，，

故，

则，与联立，得，

与联立，得，

因为，则，

即，解得，则，恒过点，

当时，易知，，

由，得，则过点；

当斜率不存在时，设，易知，，

由，得，则过点，

综上，直线过定点．

2．定值问题

1．已知抛物线的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．

【答案】（1）x2＝2y；（2）证明见解析．

【解析】（1）∵点N（t，1）在抛物线上，且，

∴，解得p＝1，

∴抛物线C的方程为x2＝2y．

（2）依题意，设直线，，，

联立，得，

则，∴，

故为定值．

2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A为椭圆C的左顶点，过点作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）是定值，定值为．

【解析】（1）由题意知，

∴椭圆C的方程为．

（2）直线l的方程为，，，，

，

∴，，，

直线AP方程为，令，得，

∴，同理，

∴

为定值．

3．已知椭圆的一个焦点到双曲线渐近线的距离为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积，证明：四边形ABCD的面积为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）不妨取左焦点，到渐近线的距离为，解得，

∴，

又∵点是椭圆上一点，∴，解得，

因此，椭圆的方程为．

（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，不妨设，

则，

又，解得，

根据椭圆的对称性，不妨取，则，

则，

所以；

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，

设点，联立，得，

则，，

因为，得，即，

所以，，解得，

，

原点到直线AB的距离为，

因为，且，

所以（定值），

综上述四边形ABCD的面积为定值．

3．定线问题

1．已知椭圆的左、右端点分别为，，其离心率为，过的右焦点的直线与交于异于，的，两点，当直线的斜率不存在时，．

（1）求的方程；

（2）若直线与交于点，试问点是否在一条定直线上？若是，求出此定直线方程；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）点在定直线上．

【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为，

因为直线斜率不存在时，可得，

由题意得，解得，

故椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，，，

联立，整理得，

则，，所以，

由题意可得直线的方程为，直线的方程为，

则，

即，

把代入上式，

得，

即，故点在定直线上．

2．已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证：点N在定直线上．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）设动点，

∵动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，

∴，整理得，

∴曲线C的方程为．

（2）设，，，直线方程，

与椭圆方程联立，整理得，

，

由韦达定理得，化简得，

由已知得，，

则直线的方程为，直线的方程为，

联立直线和得，

代入，、可得，化简可得，

所以N点在一条定直线上．

4．最值与范围问题

1．在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由右焦点知，，

当垂直于x轴时，最小，其最小值为．

又∵，解得，，

∴椭圆C的标准方程为．

（2）解法一：取，

则点M在直线上，且点M为线段的中点，

∴．

当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，；

当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为，

则点O到直线的距离，

联立方程，消去y整理得，

则，，，

，

∴，

令，则，

此时，

综上可得，面积的取值范围为．

解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，

由，得点P的坐标为，

则点P到直线的距离为1，

又，∴的面积为，

当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为，

设P，A，B的坐标分别为，，，

则，，

由，得，

，

即．

故点P在直线上，且此直线平行于直线．

则点P到直线的距离，

联立方程，消去y整理得，

则，，

，

∴，

令，则，

此时．

综上可得，面积的取值范围为．

解法三：取，

则点M在直线上，且点M为线段的中点．∴，

设直线的方程为，则点O到直线的距离．

联立方程，消去x整理得，

则，，，

，

∴，

∴，

即面积的取值范围为．

2．已知抛物线，直线与抛物线交于点，，且．

（1）求的值；

（2）已知点，过抛物线上一动点（点在直线的左侧）作抛物线的切线分别交，于点，，记，的面积分别为，，求的最小值．

【答案】（1）1；（2）2．

【解析】（1）将代入抛物线方程，得，即，

由，即，解得．

（2）设点，，设直线DE的方程为，

将与抛物线方程联立，得到，

由，可得，

即直线DE的方程为．

由已知得直线AM的方程为，

将DE的方程与AM的方程联立得，同理可得，

易得，

由，，则，所以，

而，

故，

故的最小值为2，此时．

3．如图，点A，B是椭圆与曲线的两个交点，其中点A与C关于原点对称，过点A作曲线的切线与x轴交于点D．记△ABC与△ABD的面积分别是，．

（1）证明：；

（2）若，求的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）由题设，令，且，则，

又，得证．

（2）由（1）得：直线为，则到直线的距离为；

由且，则，故过A的切线为，

令，可得，即，所以到直线的距离为；

又，

所以，，

故，

根据在椭圆上，则，可得，且，

综上，且，

所以，当时，，此时，则，

故．

4．如图，已知点在半圆上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．

（1）抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程；

（2）若存在点P，使得，求p的取值范围．

【答案】（1），准线方程为直线；（2）．

【解析】（1），，准线方程为直线．

（2）设，，过点A的切线方程，于是；

过点的切线方程，于是；

点在两条切线上，所以，

可得点P坐标为．

且，于是．

，，

而，所以，

于是点，点P的轨迹方程为，

问题转化为抛物线与半圆有交点．

记，则，

又因为，解得．

5．探究性问题

1．已知动圆过点，且与直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．

【解析】（1）依题意，圆心的轨迹E是以为焦点，为准线的抛物线．

所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹E为x2＝4y．

（2）依题意，直线AB斜率存在，设直线，．

由，得，故，

，

由x2＝4y，得，故切线PA，PB的斜率分别为，

由PA⊥PB，得，

所以m＝1，这说明直线AB过抛物线E的焦点F，

则切线，．

联立，消去y得，即，

则，即，

于是P到直线的距离，

．

设原点到直线的距离为，则，

所以．

因为，所以，化简整理得，无解，

所以满足条件的点P不存在．

2．已知抛物线的焦点为F，P为C上的动点，Q为P在动直线上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为．

（1）求C的方程；

（2）设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆交于A，B两点，直线OQ与线段AB交于点M．试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB面积相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】（1）解：设，

∵为等边三角形时，其面积为，，

∴，解得，

∵Q为在动直线上的投影，∴，

当为等边三角形时，，

由抛物线的定义知，，∴，解得，

∴C的方程为．

（2）解：设，，则，，

∵，∴，

∴切线，即，

联立方程，∴，

∵，∴，，

∵△QMA和△QMB的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，则点M为AB的中点，

∴，即，则，

所以存在，使得△QMA和△OMB的面积相等恒成立．

3．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，P是直线x＝－4上的动点，过P作两条相异直线和，其中与抛物线交于A、B两点，与C交于M、N点，记、和直线OP的斜率分别为、和．

（1）当P在x轴上，且A为PB中点时，求；

（2）当AM为△PBN的中位线时，请问是否存在常数μ，使得？

若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在；．

【解析】（1）由条件知且，设，

所以，

消去x可得，所以，，

又因为A为PB中点，所以，所以，

所以，，所以，所以．

（2）设，

所以，，

所以．

因为AM为△PBN的中位线，所以A为PB的中点，M是PN的中点，

所以，即，即，

又，所以，

所以，所以①

同理，②

由①②可知：是满足方程的两个根，

所以，

所以，

所以，

，所以，所以，

所以存在常数使得成立．

4．已知椭圆的离心率为，且过点，分别为椭圆的左、右焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线m交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，以O，A，B三点为顶点作平行四边形OAPB，是否存在直线m，使得点P在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】（1）椭圆的离心率为，，，

又由椭圆经过点，，解得，

则椭圆的方程为．

（2）依题意，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立直线方程与，

整理得，则，

设，由四边形为平行四边形，得，

则，即，

若点落在椭圆上，则，即，

整理得，令，

故上式等价于，解得（舍去），

故斜率存在时，不存在直线满足题意；

当直线的斜率不存在时，直线的方程，

此时存在点在椭圆上．

综上，存在直线，使得点在椭圆上．