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2020-2021学年上海市宝山区一模数学试卷及答案

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　参考答案一、填空题(本大题共有12题，满分54分) 　　1．　　 2．　　 3．　　 4．　　 5．　　 6．　　7．π 　　　　　　　8．π 　　　　9．　　 10．　　　11．　　　12．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．　　 14．　　 15．　　 16．三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：方法一：（1）联结，在长方体中，因为平面，即平面，所以直线与平面所成的角即为，在中，由，可得，显然，故，所以直线与平面所成角的大小为．（2）由已知可得，，所以．又易得．设点到平面的距离为．在长方体中，因为平面，即平面，再由得，所以，＝＝．即点到平面的距离为．方法二：（1）如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系．　　由已知可得、、、、，故，又平面的一个法向量，设直线与平面所成角的大小为，则＝＝＝，注意到，故，所以直线与平面所成角的大小为．（2）注意到，，及，，故，，，设平面的一个法向量为，由已知，得，即，所以，可取，所以点到平面的距离为＝＝．即点到平面的距离为． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分解：（1）当时，，由得，即，解得或，　　　　所以，原不等式的解集为．（2）函数存在零点　方程有解，亦即有解，注意到在上递减，故，从而，实数的取值范围为． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：（1）依题意，可得，所以，故，因为的图象过坐标原点，所以，即，注意到，因此，．（2）由（1）得，故由已知，可得，利用正、余弦定理，并整理得，因为，所以，又，所以，且，，故． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．解：（1）由已知条件得，因为，所以，又的坐标分别为，因此，的面积为．（2）设，由得，显然，且，又，所以，，　　即　　为定值．　（3）满足的锐角不存在．　　　理由如下：　　因为直线：与相切，所以，即，同理，由直线：与相切，可得，于是，是关于ξ的方程的两实根，注意到，且，故，因为定值，故不妨设（定值），于是有，即．依题意可知，变化，而均为定值，所以，解得，，　再设，由得；同理可得．所以，即，亦即，（※）　　若锐角θ ，使，则，与（※）相矛盾．因此，这样的锐角不存在．　 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．解：（1）因为有穷数列具有性质，所以，|－|≥t，（），再由已知条件可得，，即，而，所以，．注意到，所以，．（2）当时，有穷数列不具有性质；当时，有穷数列具有性质．　理由如下：若，则有穷数列显然不具有性质．若，则由，可得，所以，（），且，同理可得，（），所以，，且，…，一般地，若（），则，且，于是，，所以，，且（仍有，这里，，），因此，当时，有穷数列具有性质．综上，当时，有穷数列不具有性质；当时，有穷数列具有性质．（3）由已知可得，，…………，，故，即，整理得，　显然，于是有，注意到，且，所以A＋n≥110，可取，因此，的最小值为110．　