2020-2021学年上海市闵行区一模数学试卷及答案

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闵行区2020学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合， ，则=        ．（用列举法表示） 2．已知复数满足（为虚数单位），则          ． 3．若函数的图像与的图像关于直线对称，则        ． 4．若，则_________． 5．在的二项展开式中，项的系数为__________．（用数字作答）6．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则异面直线与所成角的大小是___­­­­_______． 7．新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）、 4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和 2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有             种．（用数字作答）8．设，若，且，则取值的集合是      ． 9．已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项和，则的最大值为  ． 10．已知，函数的图像与轴相交于点、与函数的图像相交于点，的面积为(为坐标原点)，则           ．11．已知平面向量，对任意实数t，都有，成立．若，，，则=         ． 12．已知函数，给出下列命题：①存在实数a，使得函数为奇函数；②对任意实数a，均存在实数m，使得函数关于对称；③若对任意非零实数a， 都成立，则实数的取值范围为；④存在实数k，使得函数对任意非零实数a均存在6个零点.其中的真命题是         ．（写出所有真命题的序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若为实数，则“”是“”的 (      ) (A) 充分非必要条件         (B) 必要非充分条件     (C) 充要条件               (D) 既非充分也非必要条件14．若，，则等于(      )     (A)        (B)         (C)        (D) 15．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有,则双曲线的渐近线方程是  （     ）    (A)      (B)    (C)    (D) 16．如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、F（可与端点重合），则四棱锥的体积的取值范围是  （     ） (A)      (B)      (C)     (D)   三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在圆柱 中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径， 是底面圆周上异于、的点．（1）求证： 平面；（2）若，，，求圆柱的侧面积．  18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数． （1）求函数在区间上的值域；（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围．  19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式．比如是平面直角坐标系上的一系列点，其中是不小于的正整数，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列比较接近．其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：
．
    已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如下表所示：（1）若用函数来拟合上述表格中的数据，求；
（2）若用函数来拟合上述表格中的数据．
    ①求该函数的拟合误差的最小值，并求出此时的函数解析式；
    ②指出用中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？
       20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)已知椭圆过点，其长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列．直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足．
 （1）求椭圆的标准方程；
 （2）若直线的方程为，求的值；
 （3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标．         21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知数列与满足（为非零常数），.（1）若是等差数列，求证：数列也是等差数列；（2）若，求数列的前2021项和；（3）设，， ，若对中的任意两项，，都成立，求实数的取值范围．