2020-2021学年上海市松江区一模数学试卷及答案

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2020.12松江区高三数学一模试卷参考答案 一、填空题1． ； 2． ；  3．  ； 4．   ；5．   ；  6． ；7． ；8． 240  ；9． ；10． ；11．；12．    二、选择题13．C   14．B   15．A   16．C 17.如图1，在三棱柱中，已知，，，且平面.过、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．  （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．（2）求四棱锥的体积和表面积．  解：（1）∵  ∴即为异面直线与所成的角，              ………2分∵平面，∴平面，∴ ，∵     ………5分∴   ∴ ， 即异面直线与所成的角为 .  ………7分  (或 ， 或 )   （2）                  ……………10分                              ……………14分18.已知 （1）求的最小正周期和值域；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 解：（1） ………3分∴的为最小正周期，      ………5分值域为                  ……………7分（2）记 ，则  ，…………………8分 由恒成立，知恒成立，  即恒成立，    ∵  ∴         ……………11分∵  在时单调递增    ∴的取值范围是……………14分 19. 某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品(万件)．经市场调查测算，花费(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费之间的关系为（其中为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品． （1）要使促销后商品的剩余量不大于(万件), 促销费至少为多少 (万元)? （2）已知商品的进价为32(元/件), 另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?解：（1）由，当时，，得 ∴ ……………4分由 解得                                 ……………7分  （2）网店的利润 (万元)，由题意可得：                     ……………10分 ……………12分当且仅当，即时取等号，此时；所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为(万件).                                                    ……………14分  20. 已知椭圆 （）的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍. 直线交椭圆于不同的两点和． （1）求椭圆的方程；（2）若直线经过点，且的面积为，求直线的方程；（3）若直线的方程为， 点关于轴的对称点为，直线、 分别与轴交于、两点，求证： 为定值.     解：（1）由题意得 ，，               ……… ……2分  解得 ，， 所以椭圆的方程为 .   …………4分          （2）设点、的坐标为、，直线的方程为.  …5分由方程组 ，得 所以，                   ………7分解得.∴直线的方程为          …………10分（3）由题意知点的坐标为                …………11分将，代入得：，                         …………13分对于直线， 令  得 ∴  …………14分对于直线 ：，  令          得                ，∴                            …………16分21.对于由个正整数构成的有限集，记.若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，称集合为“满集”.特别规定.（1）分别判断集合与是否是“满集”，请说明理由；（2）若由小到大能排列成公差为的等差数列，求证：集合为“满集”的必要条件是，或； （3）若由小到大能排列成首项为1，公比为的等比数列，求证：集合是“满集”；. [解答]：（1）集合是“满集”，集合不是“满集”.             …………2分        对于集合，，且共有4个子集： 当分别取时，由 故是“满集”；                                              ……………3分      对于集合，，且共有4个子集： 当时，不存在的两个子集，使得，故不是“满集”                                             ……………4分（2）∵由小到大能排列成公差为的等差数列，∴，记               ……………5分∵为“满集”，∴对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，当时，由，及 知或，若，则， ，此时，……7分若，则，在的真子集中，最大，必有，此时，.综上可得：                                           ………………8分若，当时，∵， ∴不存在的子集，使得，∴，综合得：集合为“满集”的必要条件是，或             ………………10分（3）由已知： …………11分对任意，∵，∴存在和，使得，同理有， ，其中，经过有限次的操作后，必存在  ， ∴…………14分当 时，            …………16分此时取 ，则有 .               ∴集合是“满集”.                                             …………18分