2020-2021学年上海市杨浦区一模数学试卷及答案

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    杨浦区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研                  数学学科试卷                     2020.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．   本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.设全集, , 则___________.设复数, (是虚数单位)，则__________.若关于的方程组无解，则实数__________.已知球的半径为2, 则它的体积为____________.若直线与互相垂直，则实数___________.已知 ，则            .已知的二项展开式中, 所有二项式系数的和为, 则展开式中的常数项为__________(结果用数值表示).是偶函数, 当时, , 则不等式的解集为____________.方程的解为____________. 平面直角坐标系中, 满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线， 点(其中, )是曲线上的点, 原点到直线的距离为, 则 ____________. 如图所示矩形中, , 分别将边与等分成8份, 并将等分点自下而上依次记作,自左到右依次记作, 满足,(其中 )的有序数对共有_______对.  已知函数在定义域上是单调函数, 值域为, 满足, 且对于任意, 都有. 的反函数为, 若将(其中常数)的反函数的图像向上平移1个单位, 将得到函数的图像, 则实数k的值为________. 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 设, , 则下列不等式中, 恒成立的是           （     ）A.    B.  C.    D. 下列函数中，值域为的是                                   （     ）A、        B、       C、        D、 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点, 可得到四面体的个数为      （     ）A.      B.   C.    D. 设集合(其中常数), (其中常数), 则“”是“”的                    （     ）A. 充分非必要条件    B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件       D. 既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示, 在直三棱柱中, 底面是等腰直角三角形, , . 点分别是棱的中点.(1)      求证: 四点共面；(2)      求直线与平面所成角的大小.      18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数, , .（1）若是奇函数, 求实数的值;（2）设, 中, 内角的对边分别为. 若, , , 求的面积.      19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度（单位：米）.其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为），当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点.（1）求关于的函数解析式；（2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.(精确到）               20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设分别是椭圆的左、右顶点, 点为椭圆的上顶点.（1）若, 求椭圆的方程;（2） 设, 是椭圆的右焦点, 点是椭圆第二象限部分上一点, 若线段的中点在轴上, 求的面积. （3）设, 点是直线上的动点, 点和是椭圆上异于左右顶点的两点, 且 ,分别在直线和上, 求证: 直线恒过一定点.                 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设数列与满足: 的各项均为正数, .（1）设, 若是无穷等比数列, 求数列的通项公式; （2）设. 求证: 不存在递减的数列, 使得是无穷等比数列; （3）当时, 为公差不为0的等差数列且其前的和为0; 若对任意满足条件的数列, 其前项的和均不超过, 求正整数的最大值.