（人教A版2019）高二数学选修二 专题03 方法篇：求数列前n项的和（重难点突破）（课时训练）

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专题03 求数列的前n项和
A组 基础巩固
1．（2022·江苏·高二）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用裂项相消法求数列的和即可.
【详解】
解：，
所以.
故选：C.
2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的通项，再利用裂项相消法可求前100项和.
【详解】
因为为等差数列且，，
故，故，
故数列的前100项和为，
故选：A.
3．（2021·天津市静海区瀛海学校高三阶段练习）数列中，，其前项和是，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用裂项求和即可求解.
【详解】
因为，
所以
，
故选：D.
4．（2021·江苏·苏州大学附属中学高二阶段练习）已知在前n项和为的数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用并项求和法即可求解.
【详解】
由，有，
则．
故选：C
5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式，则数列的前5项和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法，即可求出结果.
【详解】
因为，
所以则数列的前5项和.
故选：C
6．（2021·山东·枣庄八中高二阶段练习）若数列的通项公式是，则（ ）
A．45 B．65 C．69 D．
【答案】B
【解析】
由题意可得，从而可得，进而可得答案
【详解】
因为，
所以，
则 ，
故选：B．
【点睛】
此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题
7．（2022·全国·高三专题练习（文））若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为（ ）
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2
【答案】D
【解析】
根据数列{an}的通项公式是等差+等比的形式，采用分组求和的方法，以及等差、等比的前n项和公式，可得结果.
【详解】
由题可知：设数列{an}的前n项和为
所以
即
所以
故
故选：D
【点睛】
本题考查等比数列与等差数列的综合应用，熟悉常用的数列求和的方法：裂项相消法，分组求和，公式法，错位相减等，属基础题.
8．（2020·广西·南宁三十六中高二阶段练习）数列的前项和，则等于(　　)
A．171 B．21 C．10 D．161
【答案】D
【解析】
【详解】
由题意得

．选D．
9．（2021·江西·九江一中高二阶段练习（理））在数列中，，，则（ ）
A．224 B．226 C．482 D．508
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据，利用累加法求得，再利用分组求和法求解.
【详解】
因为数列，满足，，
所以，
，
，
所以，
，
，
故选：B
10．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高三期中（理））“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件． 已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解.
【详解】
由题意，得第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，
第三层货物总价为万元，，第层货物总价为万元.
设这堆货物总价为万元，
则
，
两式相减，得，
即，
则，
令，
得.
故选：B.
11．（2022·浙江杭州·高二开学考试）在数列{an}中，Sn为它前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an+n}是等比数列，则Sn＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用等比数列的基本量求得，利用分组求和法即可求得结果.
【详解】
令，由题可知：，又为等比数列，设其公比为，
故，，故，解得；
则

.
故答案为：.
12．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.
【详解】
由是等差数列且，可知：，
故.
，
数列的前2021项和为.
故答案为：.
13．（2022·山东泰安·高二期末）已知数列满足，，则数列的前n项和______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，利用裂项相消法求和.
【详解】
因为数列满足，，
所以数列为公差d=2的等差数列，所以，
所以
所以

.
故答案为：.
14．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知数列的通项公式，则其前项和___________.
【答案】，
【解析】
【分析】
根据数列的通项公式，求和时采用分组求和法，利用等比数列的前n项和公式，求得答案.
【详解】
因为，
所以

，
故答案为：，
15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比数列，设bn＝(－1)n＋1an，数列{bn}的前n项的和为Sn，则S2 021＝________.
【答案】3032
【解析】
【分析】
根据已知条件求得，进而求得，利用分组求和法求得.
【详解】
设等差数列的公差为，
由于a1，a3，a11成等比数列，
∴，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d).
∴14d2＝3a5d.
又d≠0，a5＝14，知d＝3，
因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1).
∴S2 021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2 021
＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2 020＋b2 021)
.
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数.现设记，则数列的前项和___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，化简数列通项公式，利用分组求和的方法求解即可.
【详解】
依题意有代入
得，
所以
则有
故答案为：




B组 能力提升
17．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）（多选题）在数列中，，前n项的和为Sn，则（ ）
A．的最大值为1 B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A：当n=2时，有，对分正负进行讨论，利用基本不等式求出的最大值；
对于B、C：利用等差数列的定义进行判断；
对于D：利用分组求和法直接求出，即可判断.
【详解】
对于A：当n=2时，有，若时，由基本不等式可得：（时取等号），所以；若中有一个为0或负值时，；若时，不可能成立；故的最大值为1.故A正确；
对于B：数列中，，
当n为奇数时，有，所以数列是等差数列，故B正确；
对于C：当n为偶数时，有，只有时，数列是等差数列，否则数列不是等差数列，故C不正确；
对于D：.
故D正确.
故选：ABD
18．（2022·山东莱西·高二期末）（多选题）已知数列是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列，设，，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出数列、的通项公式，可求得的表达式，可判断A选项；利用分组求和法可判断B选项；设，利用数列的单调性求出数列的最大项的值，可判断C选项；计算出、的值，结合数列的单调性可判断D选项.
【详解】
由已知可得，，
对于A选项，，A对；
对于B选项，
，B错；
对于C选项，由题意可知，，
令，则.
当时，，即；
当时，，即，即数列从第二项开始单调递减，
所以，，即，故，C对；
对于D选项，，故数列为单调递增数列，
因为，，即，D对.
故选：ACD.
19．（2022·湖南·高二期末）（多选题）设和分别为数列和的前n项和．已知，，则（ ）
A．是等比数列 B．是递减数列
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用及求得的递推关系式，确定数列性质得出通项公式，求出后，可得其单调性，计算，由错位相减求得后，利用的正负可得.，从而判断各选项．
【详解】
因为，所以当时，，即，又，所以，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以．因为，所以，是递减数列．
因为，所以．
①，②，
①－②得，
所以，所以，所以．
故选：ABD．
20．（2022·江苏·高二）（多选题）已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
【答案】AB
【解析】
【分析】
将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答.
【详解】
因数列满足，显然，，
两边取倒数得：，即有，而，
因此，数列是首项为4，公比为2的等比数列，A正确；
于是得，整理得，数列的通项公式为，B正确；
因，即数列是递减数列，C不正确；
因，则，D不正确.
故选：AB
21．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）（多选题）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的是（ ）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… …… ……
A． B．的前n项和为 C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据二项式系数的性质求数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求，再利用裂项相消法求数列的前n项和，再根据杨辉三角的特点确定在杨辉三角中的位置，通过与的关系求，由此确定正确选项.
【详解】
从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，为一个等比数列，，所以，故A错误；
的前n项和为
，故B正确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为构成一个等差数列，项数之和为的最大整数为11，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1被去掉，取的就是第12行中的第三项，，故C正确；
，这11行中共去掉了22个1，，故D正确，
故选：BCD．
22．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）（多选题）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．若，则数列的前2020项和为4040 B．数列是公比为8的等比数列
C． D．若，则数列的前2020项和为
【答案】AD
【解析】
【分析】
由分组求和可判断A;由等比数列的定义可判断B；由等差数列的性质可判断C；由裂项相消可判断D
【详解】
等差数列的前项和为，若，，
设的公差为，则有，
解得，，故，
若，
则的前2020项，故A正确；
由，得，
令，则当时，，
则数列是公比为的等比数列，故B错误；
由等差数列的性质可知，故C错误；
若，则的前2020项和
，故D正确，
故选：AD.
23．（2021·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，，求数列{cn}的前n项和Tn．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用来求得.
（2）利用裂项求和法求得.
(1)
依题意①，
当时，.
当时，②，
①-②得，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
当时，上式也符合，所以.
(2)
，.
所以.
24．（2021·天津市红桥区教师发展中心一模）已知数列{}的前n项和满足：．
(1)求数列{}的前3项；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
(1)根据，令n＝1，2，3即可求出前三项；
(2)利用与的关系得到{}的递推公式，从而可以证明，其中k为常数；
(3)根据(2)求出，从而求出，根据通项公式的特征，分n为奇数和偶数两种情况进行求和，求和时采用分组求和法与错误相减法.
(1)
当时，有：；
当时，有：；
当时，有：；
综上可知；
(2)
由已知得：时，，
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列.
(3)
由（2）知，∴，
∴
当n为偶数时，
=
令，
①
②
则①②得


，
∴，=，
所以.
当n为奇数时，，
，
所以.
综上，.
25．（2022·河南焦作·一模（理））已知数列是递增的等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出方程求出公比可得；
（2）根据错位相减法及分组求和即可得解.
(1)
设数列的公比为，，则.
由得，由得，
所以，解得或（舍去），
所以.
所以数列的通项公式为.
(2)
由条件知，设，
则，
将以上两式相减得，
所以.
设，
则.
26．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）项和转换可得，验证，分析即得解；
（2）项和转换可得，转化，裂项相消法求和即得解
(1)
当时，由
得，
两式相减可得．
因为，符合上式
所以，故，
(2)
由（1）得，
当时，，
当时，，不符合上式，
故数列的通项公式为．
因此．
故当时，．
当
．
令，得，符合上式
综上所述，．
27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若3S3＝2S2＋S4，且a5＝32.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1)an＝2n
(2)Tn＝－－
【解析】
【分析】
（1）转化3S3＝2S2＋S4为2S3－2S2＝S4－S3，即，继而可得公比、首项；
（2）可化简得到，裂项相消法求和即得解
(1)
由3S3＝2S2＋S4，可得2S3－2S2＝S4－S3.
即
所以公比q＝2，又a5＝32，
故
an＝2n.
(2)
因为bn＝＝
所以Tn＝

28．（2022·山西吕梁·一模（文））已知正项数列的前n项和为，且满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
小问1：利用通项公式与的关系即可求出；
小问2：根据(1)可得，结合错位相减法即可求出前n项和．
(1)
已知①
当时，由解得
则当时，，②
①②两式相减得
整理得，
因为，所以
所以数列是以为首项，公差为2的等差数列
(2)
由（1）得，所以
所以

两式相减得

所以
29．（2022·山西太原·高三期末（理））已知数列中，.
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）对条件进行变形，证明出等比数列，进而求出通项公式；（2）分组求和及错位相减法求和.
(1)
由条件可得，
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列.
.
(2)
，
设，
则，
两式相减，整理得，
所以.
30．（2022·福建省永春第一中学高二期末）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）化简得到，由此证得数列为等差数列.
（2）先求得，然后利用错位相减求和法求得.
(1)
.又
数列是以1为首项，4为公差的等差数列.
(2)
由（1）知：，
则数列的通项公式为，则，
①，
②，
①-②得：，
，
，
，
.