河南省郑州市2022届高三第二次质量预测理科数学试题
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郑州市2022年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 已知集合,集合,则( )A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位,若,则( )A 1 B. C. 2 D. 43. 设,,,则a,b,c的大小关系是( )A. B. C. D. 4. 在北京冬奥会开幕式上,二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列,若冬至的日影长为18.5尺,立春的日影长为15.5尺,则春分的日影长为( )A. 9.5 尺 B. 10.5 尺 C. 11.5 尺 D. 12.5 尺5. 已知正四棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 6. 的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中的常数项为( )A. −32 B. 32 C. −64 D. 647. 函数(,,)的部分图象如图所示,则( )A. , B. 是奇函数C. 直线是的对称轴 D. 函数在上单调递减8. 某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出.要求舞蹈和小品必须同时参加,且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后.那么不同的演出顺序种数有( )A. 240种 B. 480种 C. 540种 D. 720种9. 若平面上两点A(−2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹与直线l:的公共点的个数为( )A. 2 B. 1C. 0 D. 与实数k的取值有关10. 2021年,郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足(表示碳14原有的质量).经过测定,官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至,据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年?( )(参考数据:)A. 2600年 B. 3100年 C. 3200年 D. 3300年11. 已知是双曲线的左右焦点,点在双曲线的右支上,点是平面内一定点,若对任何实数,直线与双曲线至多有一个公共点,则的最小值( )A. B. C. D. 12. 已知数列满足,(),(),则数列第2022项为( )A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 曲线在点(,2)处的切线方程是________.14. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,椭圆上一点P满足|OP|=3,则△F1PF2的面积为________.15. 如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2,将△ACD沿AC折叠形成三棱锥D1−ABC.当三棱锥D1−ABC体积最大时,则此时三棱锥外接球体积为________.16. 已知函数,(),(),给出下列四个命题,其中真命题有________.(写出所有真命题的序号)①存在实数k,使得方程恰有一个根;②存在实数k,使得方程恰有三个根;③任意实数a,存在不相等的实数,使得;④任意实数a,存在不相等的实数,使得.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:60分17. 随着北京冬奥会的进行,全民对冰雪项目的热情被进一步点燃.正值寒假期间,嵩山滑雪场迎来了众多的青少年.某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣,从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查,对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的,女生中有5人对滑雪运动没有兴趣.(1)完成下面2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关? 有兴趣没有兴趣合计男 女 合计 (2)该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛,选拔赛共有两轮,两轮都获胜选拔才能通过.已知甲在每轮比赛获胜的概率为,乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和,丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和,其中(),判断甲,乙,丙三人谁通过选拔的可能性最大,并说明理由.附:,其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828 18. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设.(1)求角A;(2)若,且AD=2,求△ABC面积的最大值.19. 如图,四棱台ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形,AB=AA1=2A1D1=2,∠ABC=60°,平面ADD1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1⊥平面ABCD.(1)求证:AA1⊥平面ABCD;(2)求锐二面角A−DD1−C的正切值.20. 已知抛物线C:,过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线,A,B是切点.(1)若点N的纵坐标为,求证:直线AB恒过定点;(2)若,求△ABN面积的最大值(结果用m表示).21. 已知函数.(1)求函数单调区间;(2)设函数,若函数有两个零点,求实数a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.在答题卷上将所选题号涂黑,如果多做,则按所做的第一题计分. [选修:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).已知M是曲线C1上的动点,将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON,设点N的轨迹为曲线C2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)设点Q(1,0),若射线l:与曲线C1,C2分别相交于异于极点O的A,B两点,求△ABQ的面积. [选修:不等式选讲]23. 已知.(1)若的解集为,求实数的值;(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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