专题03 导数及其应用 -十年高考数学（文）客观题（2012-2021）真题分项详解

专题03 导数及其应用

【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古

1.设，若为函数的极大值点，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建

2 若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

【2020年】

3.（2020·新课标Ⅰ文）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.

【答案】

【解析】

设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即.

4.（2020·新课标Ⅲ）设函数．若，则a=_________．

【答案】1

【解析】由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得：.

【2019年】

5．【2019·全国Ⅱ卷】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

则在点处的切线方程为，即．

故选C．

6．【2019·全国Ⅲ卷】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．   B．a=e，b=1

C．   D．，

【答案】D

【解析】∵

∴切线的斜率，，

将代入，得.

故选D．

7．【2019·浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则

A．a<–1，b<0   B．a<–1，b>0   

C．a>–1，b<0   D．a>–1，b>0

【答案】C

【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，

则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；

当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，

，

当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，

则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，

令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，[来源:学科网ZXXK]

如图：

∴0且，

解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，

则a>–1，b<0.

故选C．

8．【2019·全国Ⅰ卷】曲线在点处的切线方程为____________．

【答案】

【解析】

所以切线的斜率，

则曲线在点处的切线方程为，即．

9．【2019·天津】曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【解析】∵，

∴，

故所求的切线方程为，即.

10．【2019·江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是  ▲   .

【答案】4

【解析】由，得，

设斜率为的直线与曲线切于，

由得（舍去），

∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.

故答案为4．

11．【2019·江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是  ▲   .

【答案】

【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.

设点，则.

又，

当时，，

则曲线在点A处的切线为，

即，

将点代入，得，

即，

考察函数，

当时，，当时，，

且，

当时，单调递增，

注意到，

故存在唯一的实数根，

此时，

故点的坐标为.

【2018年】

12．【2018·全国Ⅰ卷文数】设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为[来源:学科网]

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.

故选D.

13．【2018·全国Ⅱ卷文数】函数的图像大致为

【答案】B

【解析】为奇函数，舍去A；

，∴舍去D；

时，，单调递增，舍去C.因此选B.

14．【2018·全国Ⅲ卷文数】函数的图像大致为

【答案】D

【解析】函数图象过定点，排除A，B；

令，则，

由得，得或，此时函数单调递增，

由得，得或，此时函数单调递减，排除C.

故选D.

15．【2018·天津文数】已知函数f(x)=exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′（1）的值为__________．

【答案】e

【解析】由函数的解析式可得，

则，即的值为e.[来源:Zxxk.Com]

16．【2018·全国Ⅱ卷文数】曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】y=2x–2

【解析】由，得.

则曲线在点处的切线的斜率为，

则所求切线方程为，即.

17．【2018·江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

【答案】–3

【解析】由得或，

因为函数在上有且仅有一个零点且，

所以，[来源:学科网]

因此

解得.

从而函数在上单调递增，在上单调递减，

所以

，

则

故答案为.

【2017年】

18．【2017·浙江】函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是

【答案】D 

【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

19．【2017·山东文数】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中具有M性质的是

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】对于A，在R上单调递增，故具有性质；

对于B，，令，则，

∴当或时，，当时，，

∴在，上单调递增，在上单调递减，

故不具有性质；

对于C，在R上单调递减，故不具有性质；

对于D，易知在定义域内有增有减，故不具有性质． 故选A.

20．【2017·全国Ⅰ卷文数】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．

【答案】

【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．

21．【2017·天津文数】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为___________．

【答案】1

【解析】由题可得，则切点为，

因为，所以切线l的斜率为，

切线l的方程为，

令可得，

故在轴上的截距为1．

22．【2017·江苏】已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是   ▲   ．

【答案】

【解析】因为，所以函数是奇函数，

因为，

所以函数在上单调递增，

又，即，

所以，即，

解得，

故实数的取值范围为．

【2016年】

23.【2016·新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（   ）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】对恒成立，

故，即恒成立，

即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C

24.【2016·四川文科】设直线l1，l2分别是数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(     )

(A)(0,1)    (B) (0,2)      (C) (0,+∞)    (D) (1,+ ∞)[来源:Z,xx,k.Com]

【答案】A

【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A.

25.【2016·四川文科】已知函数的极小值点，则=(     )

(A)-4    (B) -2      (C)4     (D)2

【答案】D

【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.

26. [2016·新课标Ⅲ文数]已知为偶函数，当 时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.

【答案】

【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．

27．（2015新课标I文）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=    ．

解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，

切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），

所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），

解得a=1．

故答案为：1．

【2015新课标2卷文】

28．已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线

解析：

【2014新课标1卷文】

29.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值  范围是

（A）       （B）       （C）       （D）

【答案】：C

【解析1】：由已知，，令，得或，

当时，；

且，有小于零的零点，不符合题意。

当时，

要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选C

【解析2】：由已知，=有唯一的正零点，等价于

有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记

，由，，，

，要使有唯一的正零根，只需，选C

【2014新课标2卷文】

30.若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是

      （A）    （B）   （C）  （D）

 【答案】  D

 【解析】

31．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)．

A．(－∞，0]      B．(－∞，1]

C．[－2,1]         D．[－2,0]

答案：D

解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．

当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；

当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．

若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，

由得x2－(a＋2)x＝0.

∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.

∴a∈[－2,0]．故选D.