初中数学北师大版七年级下册6 完全平方公式练习题

这是一份初中数学北师大版七年级下册6 完全平方公式练习题，共23页。试卷主要包含了下列计算正确的是，计算，下列算式能用平方差公式计算的是，若x2+2等内容，欢迎下载使用。
平方差公式、完全平方公式专练
一．选择题（共11小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a3÷a＝a2
2．已知x+y＝﹣5，xy＝3，则x2+y2＝（　　）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
3．（﹣a+3）2的计算结果是（　　）
A．﹣a2+9 B．﹣a2﹣6a+9 C．a2﹣6a+9 D．a2+6a+9
4．计算（a+b）（﹣a+b）的结果是（　　）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab+b2
5．如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq
6．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣2x﹣1）（﹣2x﹣1）
C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）
7．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（　　）
A．6ab B．12ab C．0 D．24ab
8．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知图案的面积为25，小正方形的面积为9，若用x，y长示小长方形的两边长（x＞y），请观察图案，以下关系式中不正确的是（　　）

A．4xy+9＝25 B．x+y＝5 C．x﹣y＝3 D．x2+y2＝16
9．已知x+y＝1，x﹣y＝3，则xy的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
10．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．3 B．﹣5 C．﹣7或1 D．7或﹣1
11．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（a5÷a2）2＝a6 D．（﹣3xy）2＝9xy2
二．填空题（共10小题）
12．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长3米，而东西向要缩短3米，问改造后的长方形草坪的面积是　 　平方米．
13．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　 　．

14．若a+b＝3，a﹣b＝1，则ab＝　 　．
15．如果（3x+3y+1）（3x+3y﹣1）＝80，那么x+y的值是　 　．
16．已知y＝x﹣3，则代数式x2﹣2xy+y2的值为 　 　．
17．如果二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是　 　．
18．如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是　 　．
19．计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）＝　 　．
20．如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是　 　．

21．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为　 　．
三．解答题（共9小题）
22．探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是　 　（用式子表示），即乘法公式中的　 　公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．

23．观察下列各式的计算结果：
1﹣＝1＝＝；
1＝1﹣＝＝；
1﹣＝1＝＝；
1＝1＝＝…
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1﹣＝　 　×　 　；1＝　 　×　 　．
（2）用你发现的规律计算：（1﹣）×（1）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
24．已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
25．【知识生成】课本上，我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个公式，如图1，根据图中整体图形的面积可表示为 　 　，还可表示为 　 　，可以得到的公式是； 　 　．
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一种几何体的体积，也可以得到一个公式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个公式，这个公式是 　 　；
【拓展应用】直接用你发现的公式计算：（2m+n）3＝　 　．

26．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　 　；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，求（x﹣2017）2的值．

27．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）•c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
28．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　（填A或B）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

29．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式　 　．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　 　．
30．图（a）是一个长和宽为2m和2n的长方形，用图（a）中的虚线把该长方形平均分成四个小长方形，然后按图（b）的形式拼成一个正方形．

（1）图（b）中阴影部分正方形的边长是　 　（用含m、n的式子表示）
（2）请用两种不同的方法表示图（b）中阴影部分正方形的面积（用含m、n的式子表示）
方法①　 　．
方法②　 　．
（3）观察图（b），写出（m+n）2、（m﹣n）2与m•n三者之间的等量关系　 　．
（4）根据（3）中的等量关系，解决问题：若a+b＝6，ab＝4，求 （a﹣b）2．

参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a3÷a＝a2
【分析】根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．
【解答】解：A，a+a＝2a≠a2，故该选项错误；
B，（2a）3＝8a3≠6a3，故该选项错误
C，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；
D，a3÷a＝a2，故该选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记以上各种运算法则．
2．已知x+y＝﹣5，xy＝3，则x2+y2＝（　　）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
【分析】把x2+y2利用完全平方公式变形后，代入x+y＝﹣5，xy＝3求值．
【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣6＝19．
故选：C．
【点评】本题的关键是利用完全平方公式求值，把x+y＝﹣5，xy＝3当成一个整体代入计算．
3．（﹣a+3）2的计算结果是（　　）
A．﹣a2+9 B．﹣a2﹣6a+9 C．a2﹣6a+9 D．a2+6a+9
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（﹣a+3）2＝a2﹣6a+9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
4．计算（a+b）（﹣a+b）的结果是（　　）
A．b2﹣a2 B．a2﹣b2 C．﹣a2﹣2ab+b2 D．﹣a2+2ab+b2
【分析】原式利用平方差公式化简，即可得到结果．
【解答】解：（a+b）（﹣a+b）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2．
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq
【分析】根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答即可．
【解答】解：大正方形的面积为：（a+b）2，
四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，
∴能说明的乘法公式是：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键．
6．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣2x﹣1）（﹣2x﹣1）
C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：（﹣m﹣n）（﹣m+n）＝（﹣m）2﹣n2＝m2﹣n2，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（　　）
A．6ab B．12ab C．0 D．24ab
【分析】由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，据此可以作出判断．
【解答】解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2+24ab，（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，
∴A＝24ab．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式．关键是要了解（a﹣b）2与（a+b）2展开式中区别就在于2ab项的符号上，通过加上或者减去4ab可相互变形得到．
8．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知图案的面积为25，小正方形的面积为9，若用x，y长示小长方形的两边长（x＞y），请观察图案，以下关系式中不正确的是（　　）

A．4xy+9＝25 B．x+y＝5 C．x﹣y＝3 D．x2+y2＝16
【分析】由已知可知大正方形的边长为5，小正方形的边长为3，则有x+y＝5，x﹣y＝3，在由面积公式即可求解．
【解答】解：大正方形的面积＝4个小长方形面积+1个小正方形面积，
∴4xy+9＝25；
大正方形的边长为5，
∴5＝x+y；
小正方形的边长为3，
∴x﹣y＝3；
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景；通过观察图形，结合长方形、正方形的边长和面积的关系综合解题是关键．
9．已知x+y＝1，x﹣y＝3，则xy的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据完全平方公式得出（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，代入求出即可．
【解答】解：∵x+y＝1，x﹣y＝3，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴12﹣32＝4xy，
∴xy＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键．
10．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．3 B．﹣5 C．﹣7或1 D．7或﹣1
【分析】利用完全平方公式的特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）＝±8，即m＝7或﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（a5÷a2）2＝a6 D．（﹣3xy）2＝9xy2
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故选项错误；
B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故选项错误；
C、（a5÷a2）2＝a6，故选项正确；
D、（﹣3xy）2＝9x2y2，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
12．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长3米，而东西向要缩短3米，问改造后的长方形草坪的面积是　a2﹣9　平方米．
【分析】根据题意，边长为a的正方形，南北向要加长3米，改造后南北方向长（a+3）米，东西向要缩短3米，改造后东西方向长（a﹣3）米，故改造后长方形草坪的面积是（a+3）（a﹣3）平方米．
【解答】解：改造后长方形草坪的面积是：
（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9（平方米）．
故改造后的长方形草坪的面积是a2﹣9平方米．
故答案为：a2﹣9．
【点评】本题考查了平方差公式，根据题意分别求出改造后长方形的长、宽，列出面积的表达式，再运用平方差公式计算．
13．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　2m+4　．

【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m），
解得x＝2m+4．
故答案为：2m+4．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
14．若a+b＝3，a﹣b＝1，则ab＝　2　．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9①，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1②，
①﹣②得：4ab＝8，
ab＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
15．如果（3x+3y+1）（3x+3y﹣1）＝80，那么x+y的值是　±3　．
【分析】先根据平方差公式进行计算，再化简，最后开方求出即可．
【解答】解：（3x+3y+1）（3x+3y﹣1）＝80，
（3x+3y）2﹣1＝80，
9（x+y）2＝81，
（x+y）2＝9，
x+y＝±3，
故答案为：±3．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的特点是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
16．已知y＝x﹣3，则代数式x2﹣2xy+y2的值为 　9　．
【分析】求出x﹣y＝3，根据完全平方公式得出x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵y＝x﹣3，
∴x﹣y＝3，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝32
＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：（x+y）2＝x2+2xy+y2．
17．如果二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是　±8　．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+16＝x2﹣mx+42，
∴﹣mx＝±2•x•4，
解得m＝±8．
故答案为：±8．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
18．如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是　±20　．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵4x2+kxy+25y2＝（2x）2+kxy+（5y）2，
∴kxy＝±2×2x×5y，
解得k＝±20．
故答案为：±20．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
19．计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）＝　2x+5　．
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2+4
＝2x+5．
故答案为：2x+5．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
20．如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．

【分析】根据题意分别求得图1与图2中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：
图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2；
图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
21．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为　　．
【分析】利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：因为a2﹣b2＝﹣，
所以（a+b）（a﹣b）＝﹣，
因为a+b＝﹣，
所以a﹣b＝﹣÷（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了乘法公式，正确把握平方差公式是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
22．探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用式子表示），即乘法公式中的　平方差　公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．

【分析】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；平方差公式；
（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差．
（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；
②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
23．观察下列各式的计算结果：
1﹣＝1＝＝；
1＝1﹣＝＝；
1﹣＝1＝＝；
1＝1＝＝…
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1﹣＝　　×　　；1＝　　×　　．
（2）用你发现的规律计算：（1﹣）×（1）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
【分析】（1）利用平方差公式得到1﹣＝（1﹣）（1+），1﹣＝（1﹣）（1+），这样把原式转化为两个分数的乘积的形式；
（2）利用（1）的方法得到原式＝××××××…××××，然后约分即可．
【解答】解：（1）1﹣＝（1﹣）（1+）＝×；
1﹣＝（1﹣）（1+）＝×；
故答案为，；，；
（2）原式＝××××××…××××
＝×
＝．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．也考查了实数的运算．
24．已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝1，
∵a2+b2＝13，
∴13﹣2ab＝1，
∴ab＝6；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝13+12
＝25，
∴a+b＝5或﹣5，
∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，
∴当a+b＝5时，（a+b）（a﹣b）﹣8＝﹣3；
当a+b＝﹣5时，（a+b）（a﹣b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．
【点评】本题考查了完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式并正确变形是解题的关键．
25．【知识生成】课本上，我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个公式，如图1，根据图中整体图形的面积可表示为 　（a+b）2　，还可表示为 　（a﹣b）2+4ab　，可以得到的公式是； 　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　．
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一种几何体的体积，也可以得到一个公式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个公式，这个公式是 　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．　；
【拓展应用】直接用你发现的公式计算：（2m+n）3＝　8m3+12m2n+6mn2+n3．　．

【分析】知识生成：用两种方法表示同一个图形面积即可．
知识迁移及拓展应用：用两种方法表示同一个立方体的体积即可．
【解答】（1）图中整体图形的面积可以表示为：（a+b）2，还可以表示为：（a﹣b）2+4ab．
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
故答案为：（a+b）2，（a﹣b）2+4ab，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）图中整个几何体的体积可以表示为：（a+b）3，还可以表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
拓展应用：∵（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
∴（2m+n）3＝（2m）3+3（2m）2n+3•2mn2+n3＝8m3+12m2n+6mn2+n3．
【点评】本题考查通过几何图形得到代数恒等式，用两种不同的方法表示同一个图形的面积或体积是求解本题的关键．
26．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　（a+b）2　；方法2：　a2+b2+2ab　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，求（x﹣2017）2的值．

【分析】（1）依据正方形的面积计算方式，即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（4）①依据a+b＝5，可得（a+b）2＝25，进而得出a2+b2+2ab＝25，再根据a2+b2＝11，即可得到ab＝7；②设x﹣2017＝a，则x﹣2016＝a+1，x﹣2018＝a﹣1，依据（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，即可得到（x﹣2017）2的值．
【解答】解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b）2；图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）如图所示，

（4）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，即a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝11，
∴ab＝7；
②设x﹣2017＝a，则x﹣2016＝a+1，x﹣2018＝a﹣1，
∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，
∴（a+1）2+（a﹣1）2＝34，
∴a2+2a+1+a2﹣2a+1＝34，
∴2a2+2＝34，
∴2a2＝32，
∴a2＝16，
即（x﹣2017）2＝16．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式，运用整体思想是解本题的关键．
27．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求（a+b）（a2﹣b2）的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）•c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
【分析】（1）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故采用整体代入法求解；
（2）根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，
∴（a+b）（a2﹣b2）＝（a+b）2（a﹣b）
＝[（a﹣b）2+4ab]（a﹣b）
＝[（﹣3）2+4×（﹣2）]×（﹣3）
＝﹣3．
（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c
＝（﹣10）2+2×（﹣12）
＝76．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．
28．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　B　（填A或B）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的面积表示出来即可．
（2）根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，
边长为b的正方形的面积为：b2，
∴图1的阴影部分为面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为：a+b，
长方形的宽为：a﹣b，
∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
故选（B）
（2）原式＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）
＝×××…×
＝×
＝
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是灵活运用平方差公式，本题属于基础基础题型．
29．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　156　．
【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；
（3）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；
（4）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（5a+7b）（9a+4b）＝45a2+20ab+63ab+28b2＝45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值．
【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案为：30；
（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案为：156．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
30．图（a）是一个长和宽为2m和2n的长方形，用图（a）中的虚线把该长方形平均分成四个小长方形，然后按图（b）的形式拼成一个正方形．

（1）图（b）中阴影部分正方形的边长是　m﹣n　（用含m、n的式子表示）
（2）请用两种不同的方法表示图（b）中阴影部分正方形的面积（用含m、n的式子表示）
方法①　（m﹣n）2　．
方法②　（m+n）2﹣4mn　．
（3）观察图（b），写出（m+n）2、（m﹣n）2与m•n三者之间的等量关系　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn　．
（4）根据（3）中的等量关系，解决问题：若a+b＝6，ab＝4，求 （a﹣b）2．
【分析】（1）表示出阴影部分正方形的边长即可；
（2）用直接求与间接求方法计算即可；
（3）找出三者关系即可；
（4）利用得出的结论计算即可求出值．
【解答】解：（1）图（b）中阴影部分正方形的边长是m﹣n；
故答案为：m﹣n；
（2）方法①（m﹣n）2；
方法②（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；
（3）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（4）∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∵a+b＝6，ab＝4，
∴（a﹣b）2＝36﹣16＝20．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
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