新定义问题题型专题-2022年初中数学中考备考测试题

这是一份新定义问题题型专题-2022年初中数学中考备考测试题，共39页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

新定义问题题型专题
一、解答题
1．对于平面内的点 P 和图形 M，给出如下定义：以点 P 为圆心，以 r 为半径作⊙P，使得图形 M 上的所有点都在⊙P 的内部（或边上），当 r 最小时，称⊙P 为图形 M 的 P 点 控制圆，此时，⊙P 的半径称为图形 M 的 P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中， 正方形 OABC 的位置如图所示，其中点 B（2，2）
（1）已知点 D（1，0），正方形 OABC 的 D 点控制半径为 r1，正方形 OABC 的 A 点 控制半径为 r2，请比较大小：r1 r2；
（2）连接 OB，点 F 是线段 OB 上的点，直线 l：y= x+b；若存在正方形 OABC 的 F点控制圆与直线 l 有两个交点，求 b 的取值范围．

2．已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点_____为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

3．在△ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，PA为半径的⊙P与△ABC的交点不少于4个，点P称为△ABC 关于∠BAC的“劲度点”，线段 PA的长度称为△ABC 关于∠BAC的“劲度距离”．
（1）如图，在∠BAC平分线AD上的四个点、、、中，连接点A和点 的线段长度是△ABC关于∠BAC的“劲度距离”．

（2）在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N （4，0）．
①当t=时，求出△MON 关于∠MON的“劲度距离”的最大值．
②如果内至少有一个值是△MON 关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t的取值范围．

4．在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，，则称p为这k个点的“特征值”，记为．如图1，点．

（1）如图2，圆C的圆心为，半径为5，与x轴交于A，B两点．
①________， _________；
②直线与圆C交于两点D，E，若，求b的取值范围；
（2）点到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a的所有可能取值．
5．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作于点H任取直线l上点Q，点H关于直线的对称点为点，标点为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系中，

（1）已知点，则点中是点P关于x轴的垂对点的是_______；
（2）已知点，且，直线上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；
（3）已知点，若直线上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n的取值范围，

6．在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB为一边向△ABM的异侧作正方形ABCD，以A为圆心，AM为半径作⊙A，我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的内部（或圆上），我们称正方形ABCD为⊙A的“关于△ABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是⊙A的“关于△ABM的友好正方形”．
（1）图2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在图中画出⊙A的“关于△ABM的友好正方形ABCD”．
（2）若点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）上，它的横坐标是2，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求k的取值范围．
（3）若点A是直线y＝﹣x+2上的一个动点，过点A作AB⊥y轴于B，若正方形ABCD为⊙A的“关于△ABO的绝对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围．

7．已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ＞0，则称图形M与图形N相离．
（1）已知点A（1，2）、B（0，﹣5）、C（2，﹣1）、D（3，4）．
①与直线y＝3x﹣5相离的点是　 　；
②若直线y＝3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；
（2）设直线y＝x+3、直线y＝﹣x+3及直线y＝﹣2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的t的取值范围．

8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且，．给出如下定义：若平面上存在一点P，使是以线段为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
       
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，在点、和中，是点A、点B的“直角点”的是_________；
②点B在x轴的正半轴上，且，当直线上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）的半径为r，点为点、点的“直角点”，若使得与有交点，直接写出半径r的取值范围．
9．在平面中，给定线段AB和C，P两点，点C与点P分布在线段AB的异侧，满足，则称点C与点P是关于线段AB的关联点．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，．
（1）在，，三个点中，点O与点P是关于线段AB的关联点的是________；
（2）若点C与点P是关于线段OA的关联点，求点P的纵坐标m的取值范围；
（3）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段AB上存在点P与点O是关于线段EF的关联点，直接写出b的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，对于⊙内的一点，若在⊙外存在点，使得，则称点为⊙的二倍点．
（1）当⊙的半径为2时，
①在，，三个点中，是⊙的二倍点的是 ；
②已知一次函数与y轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙的二倍点，求a的取值范围．
（2）已知点，，，⊙的半径为2，若线段BC上存在点P为⊙的二倍点，直接写出m的取值范围 ．
11．在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的完美点．
（1）如图1，点．
①若点是点关于轴，直线的完美点，则点的坐标为__________ ；
②若点是点关于轴，直线的完美点，则的值为__________；
（2）如图2，⊙的半径为1．若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在函数的图象上，求的取值范围；
（3）是轴上的动点，⊙的半径为2，若⊙上存在点，使得点是点关于轴，直线的完美点，且点在轴上，直接写出的取值范围．

12．对于平面直角坐标系中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．

（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为，则点B的坐标为_______；
②若点B的坐标为，则点A的坐标为_______．
（2）．线段关于点G的“垂直图形”记为，点E的对应点为，点F的对应点为．
①求点的坐标（用含a的式子表示）；
②若的半径为，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．
13．对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．
（1）已知．
①在点中，是线段的“等幂点”的是_____________；
②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2）已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分，若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．
14．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是上不重合的两个点，连结．当时，我们称点P为的“关于的关联点”．
       
（1）如图2，当点P在上时，点P是的“关于的关联点”时，画出一个满足条件的，并直接写出的度数；
（2）在平面直角坐标系中有点，点M关于y轴的对称点为点N．

①以点O为圆心，为半径画，在y轴上存在一点P，使点P为“关于的关联点”，直接写出点P的坐标；
②点是x轴上一动点，当的半径为1时，线段上至少存在一点是的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，M，N为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点M，N，P的对应点），线段长度的最小值称为线段MN到正方形的“平移距离”．
（1）如下图，平移线段MN，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是_______；若分别为的中点，在点中，连接点P与点_______的线段的长度等于线段MN到正方形的“平移距离”；

（2）如图，已知点，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形的“平移距离”为，求的最小值；

（3）若线段MN的中点P的坐标为，记线段MN到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

1．（1）＜；（2）．
【详解】
解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝，r2＝AC＝，
∴r1＜r2；
（2）如图所示，圆O和圆B分别是以O，B为圆心，以OB长为半径的圆，
当直线l：与圆O相切于点M时，连接OM，可得OM与直线l垂直，
则直线OM的解析式为：，
设M（x，），
∵OM＝OB，
∴OM＝，
∴或（舍去），
∴M（，），
将（，）代入得：，
解得：，
当直线l：与圆B相切于点N时，连接BN，
同理可求出此时，
∴b的取值范围为：．

2．（1）A；（2）①补图见解析；②GF⊥x轴；证明见解析；③y=．
【详解】
解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，
故答案为A．
（2）①图形如图3所示．

②结论：GF⊥x轴．
理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，
∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，
∴∠GEF＝∠PEO，
∴△GEF≌△PEO（SAS），
∴∠GFE＝∠EOP，
∵OE⊥OP，
∴∠POE＝90°，
∴∠GFE＝90°，
∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，
∴四边形EFHO是矩形，
∴∠FHO＝90°，
∴FG⊥x轴．
③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，

∵E（0，5），
∴OE＝5，
∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，
∴四边形EFHO是正方形，
∴OH＝OE＝5，
∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．
如图4﹣2中，当x＞5时，

y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．
综上所述，y=．
3．（1）；（2）①；②或．
【详解】
（1）以AP为半径，以点P为圆心作圆，则符合要求．

故答案为：；
（2）①作∠MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时⊙P过点N，线段OP的长度是△MON 关于∠MON的“劲度距离”最大值．
易知，OE的函数表达式为y=x， PF的函数表达式为x=2，从而可得其交点坐标为P（2，2）．
∴=OP=；

②由题意可知，圆心都在直线y=x上，
①当t>0时，
当d最大为时，圆P经过点N，此时和①一样，点M在（0，5）处，即t=5；
当d最小为时，圆P经过点M，此时点P的纵坐标为 ，所以点P的坐标（，），再由OP=可得，解得t=2；
∴当t>0时，t的取值范围为．
②同理，当t<0时，t的取值范围为．
综上所述t的取值范围为或．
4．（1）①3，5；②且，；（2）1或2或．
【详解】
（1）①由图可知，
根据题意可得：，，
故答案为：3,5；
②解：D，E两点都在直线上，而A，B两点都在直线上，因此A，B，D，E四点纵坐标不同的取值有2个，要使得，则A，B，D，E四点横坐标不同的取值必须有4个，于是此时这四个点的横坐标均不能相同．
由对称性，当时，D，E分别为和，其横坐标分别与A，B的横坐标相同，不符合题意；
由图可知，直线与要有公共点，则；
综上所述，b的取值范围是且且．
（2）∵T＜A1，A2，…，A8＞=6，
∴这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6．
∵点A1，A2，…A8到点O的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，
∴这8个点构成的图形如下图所示：

它们的坐标分别为：A1（-1，1），A2（0，1），A3（1，1），A4（-1，0），A5（1，0），A6（-1，-1），A7（0，-1），A8（1，-1）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0），
∴抛物线开口向上．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8中的三个点，并以其中一个点为顶点，
∴根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A7或A4，A5，A7．
∴抛物线经过A1，A3，A7时，

解得：
抛物线经过或A4，A5，A7时，

解得：
或这8个点构成的图形如下图所示：

它们的坐标分别为：，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8中的三个点，并以其中一个点为顶点，
∴根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A6或A4，A2，A7．
∴抛物线经过A1，A3，A6时，A6为顶点，经过A1，A3，设抛物线解析式为
将A3坐标代入得：

解得：
抛物线经过A2，A4，A7时，A7为顶点，经过A2，A4，设抛物线解析式为

将A4坐标代入得：

解得：
综上，a的值为1或2或
5．（1）O和A；（2）；（3）且n≠2
【详解】
解：（1）∵点，∴根据垂对点的定义可得点P关于x轴的垂对点为；
（2）∵点，且，
∴由垂对点的定义可知，点M关于x轴的垂对点在以M为圆心MO即m为半径的圆上，点除外，则OM=m；
设直线与x轴和y轴的交点分别为G、H，
∴G（3，0），H（0，4），
∴ ，
∵直线上存在点M关于x轴的垂对点，
∴当直线与⊙M相切时，m的值最小，此时切点为N,
连接MN，则∠HOG=∠MNH=90°，
∵∠OHG=∠NHM
∴△OHG∽△NHM
∴
∴
∴
∴m的取值范围是：；

（3）∵，点N关于x轴的垂对点在以N为圆心2为半径的圆上，点除外，
当n=0时，⊙N与y=x有两个交点，则直线上存在两个点N关于x轴的垂对点，
当n＞0时，相当于⊙N向右平移，y=x向上平移，当y=x+n与⊙N相切于⊙N左侧时是临界点，设切点为E，连接NE，∠DEN=90°，
过点E作EF⊥x轴于F，直线y=x+n与x轴y轴的交点分别为W、K，则W （-n，0），K（0，n），
∴OK=OW，∴△OWK为等腰直角三角形，
设过点且平行于x轴的直线与直线y=x+n相交于点D，
则△DEN为等腰直角三角形，，
设EF交DN于点I，在直角三角形ENI中，NE=2，∠END=45°，
∴NI=EI=，
∴E（，），
∵点E在y=x+n上，
∴
∴
当n=2时，直线与圆交于点（0，2）、（2，4），此时只有一个垂对点，故n≠2．

当n＜0时，相当于⊙N向左平移，y=x向下平移，同理得出，

∴且n≠2 ．
6．（1）见解析；（2）k≥4；（3）0＜m≤1或m＜0．
【详解】
（1）∵BA＝BM，∠ABM＝90°，
∴圆的半径AM＝AB＝AC，故点C在圆上，补全图形如图1，

（2）设A（2，a），
当a＝2时，正方形ABCD 的顶点C恰好落在⊙A上（如图2）；
当a＞2时，正方形ABCD 的顶点均落在⊙A内部（如图3）；
当a＜2时，正方形ABCD 的顶点C落在⊙A外部（如图4）；
∵反比例函数过点，
∴当a≥2时，则k≥4，
∴k的取值范围为：k≥4；

（3）当m＝1时，正方形ABCD 的顶点C恰好落在⊙A上（如图5）；
当0＜m＜1时，正方形ABCD 均落在⊙A内部（如图6）；
当m＝0时，△ABO 不存在；
当m＜0时，正方形ABCD 均落在⊙A内部（如图7）；
当m＞1时，正方形ABCD 的顶点C落在⊙A外部（如图8），（当m＝2时△ABO不存在）；


综上分析，点A的横坐标m的取值范围为：0＜m≤1或m＜0．
7．（1）①A，C；②b＞﹣1或b＜﹣7；（2）t＜﹣或t＞或﹣＜t＜．
【详解】
解：（1）①∵点A（1，2），
∴当x＝1时，3﹣5＝﹣2，
∴点A不在直线y＝3x﹣5上，
同理，点C（2，﹣1）不在直线y＝3x﹣5上，点B（0，﹣5），点D（3，4）在直线上，
∴与直线y＝3x﹣5相离的点是A，C；
故答案为：A，C；
②当直线y＝3x+b过点A（1，2）时，
∴3+b＝2．
∴b＝﹣1．
当直线y＝3x+b过点C（2，﹣1）时，
∴6+b＝﹣1．
∴b＝﹣7．
∴b的取值范围是b＞﹣1或b＜﹣7．
（2）①如图1，图形W为△ABC，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点D，

令x＝0，y＝3，令y＝0，x＝，
∴OA＝3，OD＝，
∴∠OAD＝30°，∠ADO＝60°，
当⊙T位于直线AC右侧，且与直线AC相切于点H，连接TH，
∴TH⊥DH，
∵∠TDH＝∠ADO＝60°，
∵TH＝1，
∴DT＝，
∴OT＝OD+DT＝，
∴T（，0），
∴当t＞时，⊙T与图形W相离，
②如图2，当⊙T位于直线y＝x+3左侧，且与直线AB相切于点H，连接TH，
直线AB与x轴交于点E，

同理可得，TE＝，OE＝，
∴OT＝，
∴T（﹣，0），
∴当t＜﹣时，⊙T与图形W相离，
③如图3，当⊙T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时，

同理可得TD＝，OD＝，
∴OT＝OD﹣TD＝＝，
∴T（，0），
当⊙T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，
T（﹣，0），
∴当﹣时，⊙T与图形W相离．
综合以上可得，⊙T与图形W相离时t的取值范围是：t＜﹣或t＞或﹣＜t＜．
8．（1）①，；②；（2）
【详解】
（1）① ∵，
，，
∵，
∴，不是点A、点B的“直角点”；
，，
∵，
∴，是点A、点B的“直角点”；
，，
∵，
∴，是点A、点B的“直角点”；
故答案为：，；
②∵，
∴线段的中点，
∴点A、B的“直角点”在以点C为圆心，的长为半径的上，
∴当直线与相切于点D，与两坐标轴相交于点M、N时，如图：

令，则，令，则，
∴，
∴∠OMN=45，CD=，
∴，
∴；
当直线与相切于点E时，如图：

同理：，
∴，
即；
综上所述：；
（2）根据“直角点”的定义知：点F的坐标为(，2)，
∵，
，，
∵，
∴，
解得：，
∴点F的坐标为(，2)，
∴，
，
，
∴若使得与有交点，直接写出半径r的取值范围为：；

9．（1）P1，P3；（2）-≤m<0；（3）1≤b<2
【详解】
解：(1)∵，，
∴,
∵,
∴，,
∴，
∴∠AP1B=90°，
∴∠AOB+∠AP1B=180°，
∴点O与点P1是关于线段AB的关联点；
∵，
∴，
∴,
∴，故点O与点P2不是关于线段AB的关联点；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOB+∠AP3B=180°，
∴点O与点P3是关于线段AB的关联点；
故答案为：P1、P3；
(2)∵点C与点P是关于线段OA的关联点，
∴点O、A、C、P四边共圆，故点P在劣弧OA上，当CP是直径时，存在m的最小值，
设圆心为E，
∵,A（2,0），
∴CP⊥OA，CD=，OD=AD=1，
∵,
∴,
∴,
∴,
∴PD=,即m=-，
∴-≤m<0；

(3)设直线AB的解析式为y=mx+n，将点A(2,0)，B(0，2)代入，得
，∴，
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
∴直线与直线AB平行，
∵A(2,0)，B(0，2),
∴OA=OB，
∴∠OFE=∠OBA=45°，
∵∠EOF=90°，点P与点O是关于线段EF的关联点，
∴∠EPF=90°，
∴当以EF为直径的圆与直线AB相切时有最小值，与直线AB相交时都可得到∠EPF=90°，故b<2，
当以EF为直径的圆与直线AB相切时，连接EF中点N与点P，连接PE、PF，
∴∠BPN=90°，
∴∠FNP=90°，
∵FN=PN，
∴∠NFP=∠NPF=45°，
∴∠OFP=90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∵OF=OE，
∴四边形OFPE是正方形，
∴OF=PF=BF=1，
∴1≤b<2．

10．（1）①，；②；（2）或
【详解】
（1）①∵OT1=1，，但此时点在圆上，不合题意，故T1不是二倍点；
∵OT2=，，而，，
∴，是二倍点．
故答案为：，
②当时，，
∴一次函数过定点，
如图1，当一次函数的图象与半径为1的相切时，
可得，则．

如图2当一次函数的图象与y轴的交点也是与轴的交点时，
可得．
∴由题意可知．
（2）当且 或且时，线段BC上存在点P为⊙的二倍点，
即或，
解得：或．
故答案为：或．
11．（1）①，②；（2）；（3）．
【详解】
解：（1）①，
点关于轴对称的点坐标为，
又点关于直线对称坐标为，
，
故答案为：；
②，
点关于轴对称的点坐标为，
又点关于直线对称坐标为，点是点关于轴，直线的完美点，
，
解得，
故答案为：；
（2）如图，设点关于轴的对称点为，
由完美点的定义得：点所在直线与点所在直线平行，
则设点所在直线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
将点代入得：，
解得，
则点所在直线的解析式为，
因此，有两个临界位置：①直线与位于轴上方的半圆相切；②直线恰好经过点，
①直线与位于轴上方的半圆相切，
如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，
则，
，
由圆的切线的性质得：，，
在和中，，
，
，即，
解得，
②直线恰好经过点，
将点代入得：，
解得，
点在函数的图象上，不含原点，
的值不能取，
则的取值范围为；

（3）如图，设点关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为，连接，交直线于点，则的半径为2，

当点在上运动时，点在上运动，
要使点在轴上，则与轴相切或相交即可，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
，
又点是线段的中点，
，
当与轴相切时，，
解得或，
综上，满足条件的的取值范围为．
12．（1）①；②；（2）①；②
【详解】
解：（1）①因点A在y轴上，故点B必在x轴正半轴上，又OB=OA=2，所以点A坐标为；
故答案为：．
②如图，过A、B分别作x轴的垂线于N、 M．　

则∠ANO=∠OMB=90，
∴∠AON+∠A=90°
∵∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BOM=90°，
∴∠A=∠BOM，
∵OA=OB，
∴△ANO≌△OMB，
∴AN=OM=2，ON=BM=1，
根据题意，点A必在第二象限，
∴A．
故答案为：．
（2）①如图，过点E作轴于点H，过点作轴于点Q．

由题意可知，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵EF∥x轴
∴轴
连接，延长交x轴于点H，则轴；
过点作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两线交于点D，则，如图所示；
由①知，点的两个坐标相等，
∴，
表明点在第一、三象限的角平分线上，且位于与圆相交的圆内的一条线段上运动，当点位于第一象限上的圆上时，即时，最大，
∵△是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即的最大值为：．

13．（1）①：②或；（2）或
【详解】
（1）①=，P1不是线段OA的“等幂点”．
=， P2是线段OA的“等幂点”．
=，P3不是线段OA的“等幂点”．
=， P4是线段OA的“等幂点”．
是线段的“等幂点”的是，
故答案为：：

②如图，∵是线段OA的“等幂三角形”，
∴．
∵点A的坐标为，若记中边上的高为h，
则有．
解得．
∴点B在直线或上．
∵是等腰三角形，
∴点B在线段OA的垂直平分线上．
OA的垂直平分线为x=,与直线或的交点为B1（，6），B2（，-6），
综上所述，点B的坐标为（，6）或（，-6），

（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，
设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，
当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，
∴ON=3=OH，△ONH为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，
点D运动分两种情况，
第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，
∵TC⊥NH，∠OHN =45°，
∴△TCH为等腰直角三角形，
在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，
又因为△ECD为锐角三角形，
点E在上运动，
点E到CD的距离h的范围是，
CD=CF÷cos45°=CF=(x-2)，
∵线段的“等幂三角形”，
S△CDE==CD2，
∴h=2CD=2(x-2)，
∴，
解得，
点D在H右侧，x>3，
∴；

第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在上运动，
又因为△ECD为锐角三角形，
GU=GH×cos45°=，
∴，
∵线段的“等幂三角形”，
S△CDE==CD2，
∴h=2CD=2(2-x)，
则，
解得，

D的横坐标的取值范围为或．
14．（1）详见解析；（2）①或；②
【详解】
解：（1）补全图形
由题意可知，∠APB=60°，点P在圆上                         
∴∠ACB=120°                    

（2）①设点P（0，y），连接MP，NP，MN交y轴于点Q
由题意可知，∠MPN=60°
又∵点M关于y轴的对称点为点N
∴△PMN为等边三角形
∴在Rt△MPQ中，
，解得：或0
∴或               

②当点D位于M点右侧且点M在圆上时，此时m有最大值，
由题意可知，此时∠OMD=60°，∴m=2
当点D位于N点左侧且点N在圆上时，此时m有最小值，
由题意可知，此时∠OMD=60°，∴m=-2
∴                       

15．（1）平行，P1；（2）的最小值为；（3）．
【详解】
（1）解：由图可得MN∥M1N1，MN∥M2N2，
∴M1N1∥M2N2，
而PP1 故线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为PP1；
故答案为：平行，P1；
（2）∵B(0，)，C(，0)，四边形ABCD为正方形，
∴BC=，∠BCA=45，
∵E(，0)，
∴CE=BC，
∴∠1=∠2，则∠1+∠2=∠BCA=45，
∴∠1=∠2=22.5，
在Rt△BMN中，BP1为斜边上的中线，
则BP1=MN==NP1，
∴∠P1BN=∠P1NB，
又MN∥BE，
∴∠2=∠P1NB，
∴∠2=∠P1NB=45，∠P1BE=∠2+∠P1BN=45，
过P1作P1Q⊥BE于Q，则△P1QB为等腰直角三角形，

在Rt△P1QB中，P1Q=P1B=，
∴的最小值为；
（3）解：根据题意，P1、P2分别是AB、BC的中点，
则线段MN到正方形ABCD的“平移距离”最大为PP1，最小为PP2，

此时，P1 (，)，P2 (，)，
∴PP1=，
PP2=，
∴的取值范围是．