2022连云港高三下学期二模考试（4月）数学含答案

2022届高三年级模拟试卷

数　　学

(满分：150分　考试时间：120分钟)

2022．4

一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∪B＝(　　)

A. {x|0≤x<1}    B. {x|－2<x≤3}    C. {x|1<x≤3}    D. {x|0<x<1}

2. 已知(1＋i)z＝2i，则复数z的共轭复数是(　　)

A. 1＋i    B. －1＋i    C. 1－i    D. －1－i

3. 若不等式|x－1|<a的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是(　　)

A. a>0    B. a≥0    C. a>1    D. a≥1

4. 2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前4名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是(　　)

A. 48    B. 49    C. 93    D. 94

5. 已知函数f(x)＝x(1＋)是偶函数，则m的值是(　　)

A. －2    B. －1    C. 1    D. 2

6. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是(　　)

A.     B.     C.     D.

7. 一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：

其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么利用上述校验方程组可判断k等于(　　)

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

8. 已知直线l：y＝－x＋1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是(　　)

A. 4    B. 10    C. 4或10    D. 4或12

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知一组数据x1，x2，…，x10是公差为－1的等差数列，若去掉首末两项x1，x10后，则(　　)

A. 平均数变大    B. 中位数没变

C. 方差变小    D. 极差没变

10. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则(　　)

A. |b|＝2    B. a·b＝－2    C. (4a＋b)⊥    D. |a－b|＝1

11. 已知函数f(x)＝cos2－sincos ，则(　　)

A. 函数f(x)的最小正周期为4π

B. 点(－，)是函数f(x)图象的一个对称中心

C. 将函数f(x)图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称

D. 函数f(x)在区间(－，0)上单调递减

12. 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，|AA1|＝3||，＝λBB1，＝μDD1，其中0<λ<1，0<u<1，则(　　)

A. 存在实数λ，u，使得点A1在平面CEF内

B. 不存在实数λ，u，使得直线EF与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等

C. 存在实数λ，u，使得平面CEF截该正四棱柱所得到的截面是五边形

D. 不存在实数λ，u，使得平面CEF截该正四棱柱所得到的截面是六边形

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数f(x)＝9x＋31－2x的最小值是________．

14. 若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________________________________________________________________________．

15. 某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长8%，则2026年的利润是________万元．(结果精确到1万元)

16. 已知曲线f(x)＝xi(i≥2，i∈N)在x＝2处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为Si，则Si＝________＝________．

四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

若数列{an}满足a1＝1，a2＝5，对于任意的n∈N*，都有an＋2＝6an＋1－9an.

(1) 求证：数列{an＋1－3an}是等比数列；

(2) 求数列{an}的通项公式．

18.(本小题满分12分)

为研究某种疫苗的效果，对200名志愿者进行了试验，得到如下数据．

(1) 根据200名志愿者的数据，问：能否有99%的把握认为疫苗有效？

(2) 现从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人，再从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率．

参考公式和数据： K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

19.(本小题满分12分)

在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝60°，∠DCB＝150°，BD＝，BC＝2.

(1) 求△DCB的面积；

(2) 求AC的长．

20.(本小题满分12分)

如图，在三棱锥ABCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点．

(1) 求证：平面ACD⊥平面AEF；

(2) 若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小？

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x－－2ln x.

(1) 试判断函数f(x)的单调性；

(2) 设g(x)＝f(x2)－8bf(x)，当x>1时，g(x)>0，求实数b的取值范围．

22.(本小题满分12分)

已知圆M与圆F1：(x＋2)2＋y2＝1外切，同时与圆F2：(x－2)2＋y2＝49内切．

(1) 说明动点M的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；

(2) 设动点M的轨迹是曲线C，直线l1：3x－2y＝0与曲线C交于A，B两点，点P是线段AB上任意一点(不包含端点)，直线l2过点P，且与曲线C交于E，F两点，若为定值，求证：PE＝PF.

2022届高三年级模拟试卷(连云港)

数学参考答案及评分标准

1. B　2. C　3. D　4. B　5. A　6. B　7. A　8. D　9. BC　10. AC　11. BCD　12. ACD

13. 2　14. 4x2－y2＝1　15. 147

16. ；(n2－2n＋3)·2n＋2－12

17. 解： (1) ∵an＋2＝6an＋1－9an，an＋2－3an＋1＝3an＋1－9an，(2分)

又 ∵a2－3a1＝2≠0，∴＝3，(4分)

∴ 数列{an＋1－3an}是以2为首项，3为公比的等比数列．(5分)

(2) 由(1)可知an＋1－3an＝2·3n－1，－＝，(7分)

∴＝1＋(n－1)＝，(9分)

∴an＝(2n＋1)3n－2.(10分)

18. 解：(1) 提出假设H0：接种疫苗与末接种疫苗对感染病毒无关，

即接种疫苗对感染病毒无效．

根据列联表中的数据可以求得K2＝≈9.524，(4分)

因为当假设H0成立时，P(K2≥6.635)＝0.01，

所以有99%的把握认为接种疫苗有效．(6分)

(2) 从接种的100名志愿者中按分层抽样取出15人，其中未感染病毒有12人，感染病毒3人．记“至少有1人感染”为事件A，(8分)

则P(A)＝1－＝.(11分)

答：至少有1人感染的概率为.(12分)

19. 解：(1) 在△DCB中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD，

即CD2＋2CD－9＝0，解得CD＝，(4分)

S△DCB＝CD·BC·sin 150°＝××2×＝.(6分)

(2) 在△ABC中，由正弦定理得＝，得sin ∠ABC＝AC.

在△ACD中，由正弦定理得＝，得sin ∠ADC＝AC.(8分)

由四边形内角和得∠ADC＋∠ABC＝90°，得sin ∠ADC＝cos ∠ABC＝AC.(10分)

又sin2∠ABC＋cos2∠ABC＝1，即AC2＋AC2＝1，

所以AC2＝，AC＝.(12分)

20．(1) 证明：因为△ABC是正三角形，点E是BC的中点，所以AE⊥BC.

因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD.

因为CD⊂平面BCD，所以CD⊥AE.

因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD.

因为BD⊥CD，所以CD⊥EF.(3分)

因为CD⊥AE，AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，

所以CD⊥平面AEF.(5分)

因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面AEF.(6分)

(2) 解：在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H.

设BC＝4，则EA＝2，DF＝FC＝1，EF＝.

以{，，}为正交基底，建立如图空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，A(0，0，2)，C(－1，，0)，D(1，，0)，设G(1，y，0)，则＝(0，0，2)，＝(1，，－2)，＝(2，0，0)，＝(1，y，0).

设平面AEG的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

由得

令y1＝－1，故n1＝(y，－1，0).(8分)

同理可得平面ACD的一个法向量为n2＝(0，2，1).(10分)

设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为θ，

则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||＝，

当y＝0时，cos θ最大，此时锐二面角θ最小，

故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小．(12分)

21. 解：(1) 因为f′(x)＝1＋－＝＝≥0，且仅有x＝1使得f′(x)＝0，

故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3分)

(2) 由g(x)＝f(x2)－8bf(x)＝x2－－2ln x2－8b(x－－2ln x)，得

g′(x)＝2x＋－－8b(1＋－)，(5分)

化简得g′(x)＝，(6分)

令φ(x)＝x2＋(2－4b)x＋1，其对称轴为x＝2b－1.

① 当2b－1≤1时，即b≤1时，φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝4－4b≥0恒成立，

所以g′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，

所以g(x)>g(1)＝0恒成立；(8分)

② 当2b－1>1时，即b>1时，

因为(2－4b)2－4＝16b2－16b>0且φ(1)＝4－4b<0，

所以存在x0∈(1，＋∞)，使得x∈(1，x0)时，φ(x)<0，(10分)

所以g′(x)<0在(1，x0)上恒成立，即g(x)在(1，x0)上单调递减，

所以g(x)<g(1)＝0，不满足题意．

综上所述，b的取值范围是(－∞，1].(12分)

22. 解：(1) 设圆M的半径为r，由圆M与圆F1：(x＋2)2＋y2＝1外切，得MF1＝r＋1.

由圆M与圆F2：(x－2)2＋y2＝49内切，得MF2＝|7－r|，当MF2＝r－7时，MF1－MF2＝8＞F1F2，此轨迹不存在；当MF2＝7－r时，MF1＋MF2＝8>F1F2，则动点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，(2分)

故椭圆的短半轴长为＝2，故椭圆的方程为＋＝1.(4分)

(2) 设P(2m，3m)，则－1<m<1，由得A(2，3)，B(－2，－3)，

则PA·PB＝·＝13(1－m2)，(5分)

当直线l2的斜率不存在时，E(2m，)，F(2m，－)，

此时＝不为定值，故不合题意．(6分)

当直线l2的斜率存在时，设斜率为k，则l2：y－3m＝k(x－2m)，即y＝kx＋m(3－2k)，

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由得

(3＋4k2)x2＋8mk(3－2k)x＋4m2(3－2k)2－48＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.(8分)

由EF＝＝|x1－x2|，得

EF2＝(1＋k2)|x1－x2|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]

＝，

故＝.(10分)

若为定值，则12＋16k2＝(3－2k)2，解得k＝－，(11分)

故＝×＝2m，代入y＝kx＋m(3－2k)，得y＝3m，

故点P是EF的中点，因此PE＝PF.(12分)