专题1.1 相交线与平行线-2021--2022学年七年级数学下学期期中考试高分直通车（人教版）

专题1.1相交线与平行线

【知识梳理】

1.对顶角与邻补角

（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．

2.垂线及其性质：

（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．

（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（4）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

3.同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．

（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．

（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．

4.平行线的判定：

（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．
 （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
 （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

5.平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．

6.平行线的性质与判定综合题解题方法：

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

【典例剖析】

【考点1】对顶角与邻补角

【例1】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°．

（1）如图1，若OC平分∠AOE，求∠AOD的度数；

（2）如图2，若∠BOC＝4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度数．

【变式1-1】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（　　）

A．66° B．76° C．90° D．144°

【变式1-2】如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，则∠BON的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．64°

【变式1-3】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）

【变式1-4】如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，∠BOE：∠DOE＝2：3．

（1）求∠BOE的度数；

（2）若OF平分∠AOE，∠AOC与∠AOF相等吗？为什么？

【考点2】同位角、内错角、同旁内角

【例2】如图，用数字表示的各角中，∠1的同位角为（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5

【变式2-1】如图，下列结论中错误的是（　　）

A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角 

C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角

【变式2-2】如图，给出下列说法：①∠B和∠1是同位角；②∠1和∠3是对顶角；③∠2和∠4是内错角；④∠A和∠BCD是同旁内角．其中说法正确的有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【考点3】垂线及其性质

【例3】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．

（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是　　；

（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是　　．

【变式3-1】如图，AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点．若AC＝5，则AD的长不可能是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式3-2】点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝6cm，PB＝8cm，PC＝4cm，则点P到直线l的距离为（　　）

A．4cm B．6cm C．小于 4cm D．不大于 4cm

【变式3-3】下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　）

【考点4】平行线

【例2】若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（　　）

A．直线PQ可能与直线AB垂直 

B．直线PQ可能与直线AB平行 

C．过点P的直线一定能与直线AB相交 

D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行

【变式4-1】下列语句正确的有（　　）个

①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行

②过一点有且只有一条直线和已知直线平行

③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b

④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式4-2】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是（　　）

A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定

【考点5】平行线的判定条件

【例5】如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么下列结论成立的是（　　）

A．∠l＝∠3 B．∠2＝∠3 C．AB∥CD D．AE∥DF

【变式5-1】如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）

A．∠C＝∠ABE B．∠BAC＝∠EBD C．∠ABC＝∠BAE D．∠BAC＝∠ABE

【变式5-2】如图，若∠1＝∠2，则下列选项中可以判定AB∥CD的是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式5-3】如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（　　）

①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点6】平行线的性质

【例6】如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．54° C．60° D．72°

【变式6-1】如图，直线AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．45° B．55° C．35° D．不能确定

【变式6-2】如图，已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E﹣∠F＝48°，则∠CDE的度数为（　　）

A．16° B．32° C．48° D．64°

【考点7】平移及性质

【例7】如图，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，已知AD＝5，∠B＝70°，则（　　）

A．FG＝5，∠G＝70° B．EH＝5，∠F＝70° 

C．EF＝5，∠F＝70° D．EF＝5，∠E＝70°

【变式7-1】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）

A．5 B．8 C．10 D．7

【变式7-2】如图，长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移5个单位，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2），则ABn长为（　　）

A．5n+6 B．5n+1 C．5n+4 D．5n+3

【考点8】有关平行线证明的解答题

【例8】已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）

【变式8-1】如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：EF∥BC．

【变式8-2】如图，△ABC中，∠B＝∠ACB，D在BC的延长线，CD平分∠ECF，求证：AB∥CE．

【变式8-3】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，证明AC∥DF．

【考点9】平行线的性质与判定综合问题

【例9】已知如图，CD是△ABC的高，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3．

（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？

（2）判断FH与AB的位置关系并说明理由．

【变式9-1】已知如图，CD是△ABC的高，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3．

（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？

（2）判断FH与AB的位置关系并说明理由．

【变式9-2】在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）

如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4．

求证：EF∥GH．

【考点10】平移作图问题

【例10】如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将△ABC平移，使点A到A1的位置．

（1）画出平移后的△A1B1C1；

（2）连接AA1、BB1，则线段AA1与BB1的关系是　　；

（3）求△A1B1C1的面积．

【变式10-1】）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上将△ABC向左平移2格，再向上平移4格，得△A'B′C′

（1）请在图中画出平移后的△A′B'C'；

（2）再在图中画出△A′B′C中边A′B′上的中线C′D′，并写出平行线AB与A′B′间的距离为　　．