初中数学苏科版七年级下册第9章 从面积到乘法公式综合与测试课后作业题

初一数学《乘法公式》专题拓展训练

    20220319

【知识点一：完全平方公式】

完全平方公式： ；   

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【知识点二：平方差公式】

平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型

（2）系数变化：如

（3）指数变化：如

（4）符号变化：如

（5）增项变化：如

（6）增因式变化：如

【知识点三：添括号法则】

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.

【知识点四、补充公式】

；；

；.

考点一、运用完全平方公式进行计算

1．在下列各式中，计算正确的是（　    　）

A．（2a＋3）（2a－3）＝2a2－9 B．（－6b－a）（6b－a）＝a2－36b2

C．（3a＋2b）2＝9a2＋4b2 D．（a－b）2＝－（b－a）2

2．若，，则M，N的大小关系是（           ）

A． B． C． D．不能确定

3．已知ax2＋24x＋b＝（mx﹣3）2，则a、b、m的值是（           ）

A．a＝64，b＝9，m＝﹣8 B．a＝16，b＝9，m＝﹣4

C．a＝﹣16，b＝﹣9，m＝﹣8 D．a＝16，b＝9，m＝4

4．运用完全平方公式计算，则公式中的2ab是（          ）

A． B．﹣x C．x D．2x

5．下列计算中正确的个数为（            ）

①   ② (-a-b)2=a2-2ab+b2       ③ (a+b)(b-a)=-a2 +b2   

     ④ (2a+b)2=4a2+2ab+b2

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知，则的值为__________．

7．已知：，，则__________．

8. 已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，进而可知的最小值是

4．依此方法，代数式 的最小值是________________．

9．如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形

需要9个小正方形，拼第3个正方形需要16个小正方形……按照这样的方法拼成的第个正方形

比第个正方形多________个小正方形．

10．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝17，则x＝     ______  ．

11．若x2+2mx+16是完全平方式，则（m﹣1）2+2的值是（　    　）

A．11 B．3 C．11或27 D．3或11

12．若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（    　　）

A．0 B．﹣5或7 C．7 D．9

13.如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（     　）

A．20 B．±20 C．10 D．±10

14．已知x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，则m＝　 ______ 　．

15．4x2+Q+1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是　             　．

16．若4x2﹣2kx+1是完全平方式，则k＝　          　．

17. 若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 　            　．

18．用乘法公式计算：

(1) 1002－200×99＋992；              (2) (x－2y＋3z)(x－2y－3z)．

19．老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．

(1) 爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；

再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝(          )2+b2；

再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣　    　）2+　     　；

根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 　 　．

(2)  请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．

20．阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式．例如，＝＝．

观察上式可以发现，当x-2取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的．例如，当＝±1，即＝3或1时，的值均为0；当＝±2，即＝4或0时，的值均为3．

我们给出如下定义：

对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于＝对称，称＝是它的对称轴．例如，关于＝2对称，＝2是它的对称轴．

请根据上述材料解决下列问题：

（1）将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴；

（2）若关于的多项式关于＝－5对称，则＝            ；

（3）代数式的对称轴是＝            ．

考点二、运用平方差公式进行计算

1．下列式子可用平方差公式计算的是（　　）

A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（m﹣n）（n﹣m）

C．（s+2t）（2t+s） D．（y﹣2x）（2x+y）

2．若（       ），则括号内应填的代数式是（       ）

A． B． C． D．

3．的计算结果是（       ）

A． B． C． D．

4．已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（       ）

A．1 B． C．3 D．不能确定

5．若，a-b=2，则的值为（            ）

A．5 B．2 C．10 D．无法计算

6．已知，，则____________．

7．若x+y＝2，x2﹣y2＝10，则x﹣y＝___________．

8．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是___________．

9．已知，，则___________．

10．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1，则A－2021的末位数字是________．

11．化简：a(2－a)+(a+b)(a－b)．

12．先化简，再求值：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣3），其中a=．

13．先化简，再求值．其中

14．探究活动：

（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是　                  （写成两数平方差的形式）；

（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是　     　     ；（写成多项式相乘的形式）

（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式　                        　．

知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：

（4）计算：

①（a+b﹣2c）（a+b+2c）；

②（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．

 考点三、完全平方公式在几何图形中的应用

1．图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿它的所有对称轴剪开，把它分成四块，

然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间阴影部分的面积是（            ）

A． B． C． D．

2．小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图

②的面积关系能验证的恒等式为（          ）

A．     B．

C．     D．

3．如图，已知点C是线段AB上的一动点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE与正方形CFGB，若AB＝8，且两正方形的面积和为S1＋S2＝36．则图中阴影部分的面积为（       ）

A．7 B．7.5 C．14 D．15

      （第1题）                            （第2题）                    （第3题）

4．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形按不同的方式拼成如图①的正方形和如图②的大长

方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系正好可以验证下面等式的正确性的是

A．             B．             （           ）

C． D．

5．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（           ）

A．40 B． C．20 D．23

（第4题）                                     （第5题）

6．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a＋b＝7，ab＝12，则阴影部分的面积为            ．

7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类9块，B类5块，C类1块，若要拼成一个正方形还需B

类地砖         块．

（第6题）                           （第7题）                       （第8题）

8．有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影

部分面积为；其中个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为（各个小长方

形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为            ．

9．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，

连接MD和ME，设AP=a，BP=b，且a+b=12，ab=9，则图中阴影部分的面积为          ．

10．如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为            ．

11．如图，两个正方形的边长分别为a、b ，如果a+b=18，ab=70，求图中阴影部分面积．

（第9题）                        （第10题）                      （第11题）

12．如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（）．

（1）如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形

的面积写出一个乘法公式______________________________；

（2）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多

少张．

13．如图，两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG，点E在AB边上，AB＝a，BC＝3，且a＞3．

（1）分别连接BD，DF，BF，试比较△ABD与

△DFG的面积大小（写出过程）；

（2）用含a的代数式表示图中阴影部分的面积．

14．阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示 ，

（1）观察图2，请你写出（a+b）2，(a-b)2，ab之间的关系                   ．

（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个

正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．

① a2-4ab+4b2______________；(填数值)      ②ab=_____________．(填数值)

15．已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．

【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法：

【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．

（1）已知a﹣b＝1，a2+b2＝9，求ab的值；         （2）已知a+＝4，求（a﹣）2的值．

【拓展提升】

（3）如图，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG

都为正方形时，若BE=8，正方形ABGF和正方形CDEG的面积和为36，直接写出阴影部分的

面积．