初中数学北师大版八年级下册3 三角形的中位线同步训练题

《三角形的中位线》专题精练（学生版）

一、选择题

1.（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB=CB=6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF=2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2021春•南岸区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．（2021春•巴南区期末）如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=50°，若点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，则∠DEF=（　　）

A．50° B．60° C．70° D．65°

4.（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=140°，则∠EFP的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°

5.（2019秋•九龙坡区校级期末）下列说法错误的是（　　）

A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

B．等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线都“三线合一”

C．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

D．角平分线上的点到角两边的距离相等

6．（2018春•开州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE=3，则BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．5

7．（2021春•巴南区期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

8．（2020春•九龙坡区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=10，∠A=130°，∠D=100°，AD=CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（　　）

A．3 B．4 C．2 D．

9．（2020•沙坪坝区校级开学）如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，D、F分别是边BC、EC的中点，连接AD、DF，若AD=BE，∠C=55°，则∠ADB=（　　）

A．80° B．84° C．85° D．90°

10．（2019春•南岸区校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分面积为（　　）cm2．

A．25 B．35 C．30 D．42

二、填空题

11.（2019春•南岸区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为______.

12.（2017秋•重庆月考）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为______.

13.（2021春•合川区校级月考）三角形各边分别是3cm、5cm、6cm，则连接各边中点所围成的三角形的周长是_____cm．

14.（2022•九龙坡区校级开学）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=8，BC=12，则EF的长为______.

15.（2021春•建邺区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为______.

16.如图，在△ABC中，∠C=90°，E，F分别是AC，BC上的点，AE=16，BF=12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为______.

17.（2018春•渝中区校级月考）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为_______.

18．（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC=6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF=1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB=______.

19.（2018秋•南岸区校级期末）如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE=CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC=6，则HE=_______.

20.（2021秋•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，过点D作DM⊥BC于点M，延长DM至点E，且AC=EM=2DM，连接AE交BC于点N，若AC=6，AB=10，则点N到BE的距离为______.

三、解答题

21．（2020秋•万州区校级期中）如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．

22．（2020春•江津区期中）已知：点D、E分别是△ABC的边BC、AC边的中点．
（1）如图①，若AB=10，求DE的长；
（2）如图②，点F是边AB上一点，FG∥AD，交ED的延长线于点G，求证：AF=DG．
 

23.如图所示，在△ABC中，D、E是AC、BC的中点，BF=AB，BD与FC相交于点G，连接EG
（1）求证：EG∥AC；
（2）求的比值．

24.AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交AB的延长线于F，交AC于E．
（1）求证：CE=BF；
（2）探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明．

25.如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．

26.（綦江县模拟）（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG=____(AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是_____.

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《三角形的中位线》专题精练（教师版）

一、选择题

1.（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB=CB=6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF=2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：∵CB=6，BF=2，
∴FC=6-2=4，
∵BA=BC，BD⊥AC，
∴AD=DC，
∵AE=EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE=FC=×4=2，
故选：B．

2．（2021春•南岸区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

解：∵△ABC的周长为6，
∴AB+AC+BC=6，
∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴FE=AB，DE=AC，DF=BC，
∴△DEF的周长=FE+DE+DF=×（AB+AC+BC）=3，
故选：B．

3．（2021春•巴南区期末）如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=50°，若点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，则∠DEF=（　　）

A．50° B．60° C．70° D．65°

解：∠A+∠B∠C=180°，∠B=70°，∠C=50°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-50°=60°，
∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DE，EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
即DE∥AF，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠A=60°，
故选：B．

4.（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=140°，则∠EFP的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°

解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AD，
同理，PF=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠EFP=×（180°-∠EPF）=×（180°-140°）=20°，
故选：D．

5.（2019秋•九龙坡区校级期末）下列说法错误的是（　　）

A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

B．等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线都“三线合一”

C．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

D．角平分线上的点到角两边的距离相等

解：A、∵线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
∴选项A不符合题意；
B、∵等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线都“三线合一”，
∴选项B符合题意；
C、∵三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，
∴选项C不符合题意；
D、∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴选项D不符合题意；
故选：B．

6．（2018春•开州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE=3，则BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．5

解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=3，
∴BC=2×3=6．
故选：C．

7．（2021春•巴南区期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴AB=2OE=2×3=6（cm）
故选：B．

8．（2020春•九龙坡区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=10，∠A=130°，∠D=100°，AD=CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（　　）

A．3 B．4 C．2 D．

解：连接AC，

∵DA=DC，∠D=100°，
∴∠DAC=∠DCA=40°，
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=130°-40°=90°，
∴AC==8，
∵点E，F分别是边AD，CD的中点，
∴EF=AC=4，
故选：B．

9．（2020•沙坪坝区校级开学）如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，D、F分别是边BC、EC的中点，连接AD、DF，若AD=BE，∠C=55°，则∠ADB=（　　）

A．80° B．84° C．85° D．90°

解：∵D、F分别是边BC、EC的中点，
∴DF是△CBE是中位线，
∴DF=BE，DF∥BE，
∵AD=BE，BE⊥AC，
∴DF=AD，DF⊥AC，
∴∠DAC=30°，
∵∠C=55°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=85°，
故选：C．

10．（2019春•南岸区校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分面积为（　　）cm2．

A．25 B．35 C．30 D．42

解：连接MN，过点A作AF⊥BC于F，

则MN是△ABC的中位线，
因此MN=BC=5cm；
则AF==12cm．
∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm；
因此S阴影=×5×12=30cm2．
故选：C．

二、填空题

11.（2019春•南岸区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为______.

解：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，DF=BC，EF=AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
∵四边形BEFD周长为14，
∴DF+EF=7，
∴AB+BC=14．
故答案为14．

12.（2017秋•重庆月考）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为______.

解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故答案为：15．

13.（2021春•合川区校级月考）三角形各边分别是3cm、5cm、6cm，则连接各边中点所围成的三角形的周长是_____cm．

解：根据三角形的中位线定理，得
连接各边中点所围成的三角形的三边分别是1.5cm，2.5cm，3cm，则其周长是7cm．
故答案为7．

14.（2022•九龙坡区校级开学）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=8，BC=12，则EF的长为______.

解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC=6，BD=AD=AB=4，
∴∠DFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠DFB=∠DBF，
∴DF=BD=4，
∴EF=DE-DF=6-4=2，
故答案为：2．

15.（2021春•建邺区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为______.

解：连接DN，

∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF=DN，
当点N与点B重合时，DN最大，此时DN==10，
∴EF长度的最大值为5，
故答案为：5．

16.如图，在△ABC中，∠C=90°，E，F分别是AC，BC上的点，AE=16，BF=12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为______.

解：∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD=BF=6，PD∥BF，
∴∠ADP=∠ABC，
同理，DQ=AE=8，DQ∥AE，
∴∠BDQ=∠BAC，
∴∠PDQ=180°-（∠ADP+∠BDQ）=180°-（∠ABC+∠BAC）=180°-（180°-∠C）=90°，
由勾股定理得，PQ==10，
故答案为：10．

17.（2018春•渝中区校级月考）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则EF为_______.

解：∵AD平分∠ABC，CG⊥AD，∴∠GAF=∠CAF，∠AFG=∠AFC
在△AGF和△ACF中，，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=6，GF=CF，
则BG=AB-AG=8-6=2．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=1．
故答案为：1．

18．（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC=6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF=1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB=______.

解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC=6cm，
∴DF=AC=×6=3（cm），
∵EF=1cm，
∴DE=DF+EF=3+1=4（cm），
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×4=8（cm），
故答案为：8cm．

19.（2018秋•南岸区校级期末）如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE=CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC=6，则HE=_______.

解：连接PQ．

∵BD=DC=3，BE=BC=，EC=，
∵AQ=QE，AP=PC，
∴PQ∥EC，PQ=EC=，
∵∠QPG=∠GHD，∠QGP=∠DGH，QG=GD，
∴△PQG≌△HDG（AAS），
∴PQ=HD=，BH=BD-DH=3-=，
∴HE=BE-BH=-=，
故答案为．

20.（2021秋•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，过点D作DM⊥BC于点M，延长DM至点E，且AC=EM=2DM，连接AE交BC于点N，若AC=6，AB=10，则点N到BE的距离为______.

解：过点N作NH⊥BE于H，

∵DM⊥BC，
∴∠DMB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DMB=∠ACB=90°，
∴DM∥AC，
∵AC=2DM，
∴点M为BC的中点，
∵AC=EM，∠ANC=∠ENM，∠C=∠NME，
∴△ACN≌△EMN（AAS），
∴CN=MN，
∵AC=6，AB=10，
由勾股定理得BC=＝8，
∴BN=6，BM=4，
在Rt△BEM中，由勾股定理得BE=＝2，
∵S△BNE=×BN×EM=×BE×NH，
∴NH=，
故答案为：．

三、解答题

21．（2020秋•万州区校级期中）如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．

（1）证明：∵D，E为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵CF=BC，
∴DE=CF；
（2）解：由（1）可知，DE∥BC，DE=CF，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=DC，
在等边△ABC中，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴CD=BC•sin60°=2，
∴EF=2．

22．（2020春•江津区期中）已知：点D、E分别是△ABC的边BC、AC边的中点．
（1）如图①，若AB=10，求DE的长；
（2）如图②，点F是边AB上一点，FG∥AD，交ED的延长线于点G，求证：AF=DG．
 

（1）解：∵点D、E分别是△ABC的边BC、AC边的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=AB，
∵AB=10，
∴DE=5；

（2）证明：∵DE∥AB，FG∥AD，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∴AF=DG．

23.如图所示，在△ABC中，D、E是AC、BC的中点，BF=AB，BD与FC相交于点G，连接EG
（1）求证：EG∥AC；
（2）求的比值．

（1）证明：取AF的中点H，连接HD，

∵D是AC的中点，
∴DH∥FC，
∵BF=AB，
∴BF=FH，
∴BG=GD，
∴G是BD的中点，
∵E是BC的中点，
∴EG∥AC；

（2）解：设S△BFG=a，
∵BF=AB，G是BD的中点，
∴S△ABD=2×3×a=6a，
∵D是AC的中点，
∴S△ABC=12a，
∴S△BFG=S△ABC，
设S△BGE=b，
∵EG∥AC，
∴△BGE∽△BDC，
 

∴S△BCD=4b，
∵D是AC的中点，
∴S△ABC=8b，
 

24.AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交AB的延长线于F，交AC于E．
（1）求证：CE=BF；
（2）探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明．

（1）证明：延长CA交FM的平行线BG于G点，

则∠G=∠CAD、∠GBA=∠BAD
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AG=AB，
∵FM∥AD
∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠F=∠FEA，
∴EA=FA，
∴GE=BF，
∴M为BC边的中点，
∴BM=CM，
∵EM∥GB，
∴CE=GE，
∴CE=BF；

（2）AB+AC=2EC．
证明：∵EA=FA、CE=BF，
∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．

25.如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．

证明：取BC中点T，AF的中点S，连GT，HT，HS，SM．
∵G，H，M分别为BD，AC，EF的中点
∴MS∥AE，MS＝AE，HS∥CF，HS＝CF，∵AE=CF∴HS=SM，
∴∠SHM=∠SMH
∵GT∥CD，HT∥AB，GT＝CD，HT＝AB
∴GT∥HS，HT∥SM
∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG
∴∠TGH=∠THG
∴GT=TH

∴AB=CD

26.（綦江县模拟）（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG=____(AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是_____.

解：（1）结论：FG=（AB+BC+AC）．
理由：如图，

在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=MN．
∵MN=BM+BC+CN=AB+BC+AC，
∴GF=MN=（AB+AC+BC）；
（2）答：FG=（AB+AC-BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M．

∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=MN=（AB+AC-BC）；

（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=（AC+BC-AB）．
理由：如图，延长AG交BC于N，延长AF交BC于M．

∵AF⊥BD，AG⊥CE．
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=MN．
∵MN=CM+CN=BC-BM+AC=BC-AB+AC，
∴GF=（AC+BC-AB）．