数学八年级下册3 三角形的中位线教案

这是一份数学八年级下册3 三角形的中位线教案，共9页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学准备，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、教材分析
《三角形的中位线》是北师大版八年级（下）第六章《平行四边形》第三节的教学内容，教材安排一个学时完成.三角形的中位线是继三角形的中线、高线、角平分线后的第四种重要线段，三角形的中位线定理揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，特别地，它为我们解决中点相关问题提供了另一条路径，为解决线段的倍分问题提供了直接的理论支持.因此，三角形的中位线是平面几何中的重要内容，在解决几何问题时有十分广泛的应用.
同时，本节课的探究过程体现了我们研究几何问题的一般过程“探索---猜想---验证”，中位线定理的证明及应用中渗透了“联想---化归”的数学思想方法，这些对学生的数学学习及思维能力的培养都起着非常重要的作用.在学生学习本节课的过程中，应重视对数学学习的一般方法及数学思想的渗透.
二、学情分析
本节课的教学对象是八年级的学生，学生已经初步具备了逻辑推理的能力、用数学语言规范表达自己的想法的能力，对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握，同时也积累了一些解决几何问题的经验及方法.通过前面的几何部分的学习，学生思维活跃、参与意识强，对图形性质的探究非常感兴趣，喜欢参与探究性活动，也特别乐于解决一些有挑战性的问题.所以本节课学生对三角形中位线定义能够准确把握，但在添辅助线证明三角形中位线定理时会遇到困难.
三、教学目标
1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；
2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；
4.在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.
四、教学重难点
重点：三角形中位线定理证明及应用
难点：添加辅助线的证明三角形中位线定理.
五、教学准备：
教师准备多媒体课件，三角板.
课前给每个学生发两个三角形（形状、大小各不相同），学生通过动手操作完成以下两个问题：
1、你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？
2、你能通过剪拼的方式将一个三角形分成与它面积相等的平行四边形吗？（要求只剪一刀），并将操作成果带入课堂.
六、教学过程
（一）导入新课
问题1：你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？

【师生活动】教师引导学生展示课前对本问题操作的成果及其思考过程，引导学生发现连接三角形两边中点的线段的特殊性，激发学生的好奇心及进一步探究的兴趣；学生在分享过程中感受到大家得出的结果是相同的，但是思维的过程及具体的操作过程却是不同的（有的同学是从要保证两个三角形全等必须有边相等出发得出结论的，有的同学是从把一般三角形特殊化为等边三角形后得出结论的，还有其他的各种想法），在彼此的交流中提升思维及动手操作的能力，在思维碰撞中启迪智慧.最后总结发现：对于每个人手中形状大小各不相同的三角形都可以通过顺次连接三边中点的三条线段分成四个全等的三角形，从而引出三角形中位线的概念.
【设计意图】通过设计这样有趣又有挑战性的动手操作题，激发学生探究欲望，也水到渠成地引出三角形的中位线的概念，同时让学生在动手操作中经历“探索---猜想---验证“的过程，发展学生合情推理及通过动手操作去初步检验猜想的合理性的能力.
(二)概念生成
1、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

（1）性质：∵AD=BD ,AE=EC，∴ DE是△ABC的中位线；
（2）判定：∵DE是△ABC的中位线，∴AD=BD ,AE=EC；
教师追问：根据定义，三角形有几条中位线？
2、概念辨析：三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？

不同点：中位线的两个端点是两边的中点，而中线的两个端点是一个顶点和对边的中点.
【师生活动】1、教师引导学生归纳概括并叙述三角形的中位线的概念，画出图形，结合图形分析定义，通过对三角形中位线定义的文字语言、符号语言、图形语言的分析，引导学生认识定义的两层含义；2、通过对“三角形中位线”和“三角形的中线”这样两个概念的辨析，加深对三角形中位线的理解.
【设计意图】让学生经历完整的概念生成的过程：1、从图形中抽象概括得出中位线的定义；2、文字语言、符号语言和图形语言三方面的转化；3、定义的两层含义；4、与比较易混的概念的辨析.引导学生体会数学概念形成的一般过程.
（三）性质探究
问题2：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？（要求只剪一刀）

法1：连接△ABC的边AB、AC的中点D、E，然后把△ADE绕着点E旋转180°，得到平行四边形;
法2：连接△ABC的边AB、AC的中点DE，然后把△ADE绕着点D旋转180°，得到平行四边形;
教师追问：（1）猜想：三角形的中位线DE与BC有怎样的关系？
（2）由此可以猜想三角形的中位线有怎样的性质？
猜想: 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
【师生活动】教师让学生将拼成的平行四边形举起，同时请几位学生分享自己的思考过程及具体做法，然后利用几何画板展示具体的操作过程（让每个学生都能看清楚），结合具体过程引导学生猜想得出三角形中位线定理.
【设计意图】通过第二个动手操作，引导学生进一步体会三角形中位线的特殊性，由具体的某一些三角形的中位线的特殊性猜想得出所有三角形的中位线应该具备的性质，在此过程中引导学生体会发现的乐趣及发现的过程：由特殊到一般，“猜想---验证”，培养学生归纳概括的能力.
（四）定理的证明
(要证明文字语言叙述的几何命题，我们先把它符号化、图形化，即写出已知，求证）
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线，求证：DE∥BC，且．
(1) 你能证明吗？
（2）你有几种不同证明方法？
证法一：
如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF，
∵AE=CE，∠AED=CEF，DE=FE， ∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE=∠CFE， ∴AD∥FC，AD=FC，
又∵AD=BD， ∴BD∥FC，BD=FC，
∴四边形BCFD是平行四边形． ∴DF∥BC，DF=BC.
∵DE=DF，∴DE∥BC且DE=BC．

证法二：
如图，取BC的中点F，连接FE并延长到G，使得EG=FE，连接AG.
∵ AE=EC, ∠AEG=∠CEF，EF=EG，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC，∠G=∠EFC，∴AG∥FC，AG=FC又∵F为BC中点，∴AG∥FB，AG=FB，∴四边形ABFG是平行四边形， ∴AB∥GF，AB=GF，
又∵D为AB中点，E为GF中点，∴DB∥ EF, DB= EF
∴四边形DBFE是平行四边形， ∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC即DE=BC.
证法三、（面积法）：
连接CD、BE，作DG⊥BC于点G,作EH⊥BC于点H，

∴,
∴
证法四、（坐标法）：
建立如图所示的坐标系，设B (0,0）,C (c,0), A (a,b)，
∵D、E分别AB、AC的中点，∴,,
∴DE∥BC，.
其他方法：（方法很多）

图1 图2 图3
如图1：延长DE到F，使得DE=EF，连接AF、CD，CF；
如图2：如图，过A、B、C三点分别作直线DE的垂线，垂足分别为P、M、N；
如图3：取BC的中点F,延长FE到G使得EF=EG，连接AG、GC、AF.
【师生活动】教师引导学生应用“联想---化归”的方法，从证明线段的倍分关系及平行关系的角度出发，联想到可能能用来解决这个问题的方法，再去通过化归检验哪些方法能用来解决这个问题.具体操作步骤如下：1、留时间让学生独立思考得出自己的证法；2、通过小组内的交流探究使得方法更优化或者更加多样化；3、请几个学生进行讲解，使全班同学都能掌握几种特别重要的有代表性的方法；4、以课本上给出的证法为例说明如何规范书写证明过程，培养学生规范书写的能力.
【设计意图】几何定理的证明不但能加深学生对定理的印象及认识，同时也是进一步培养学生应用已有知识来解决新问题的一个重要契机.这个环节的设计目的有三：1、在证法一和证法二中引导学生体会解决线段倍分问题的一般思想“化线段的倍分问题为线段的相等问题”（同时引导学生发现证法一也证明了我们的第二个动手操作发现的结果的正确性），在证法三中引导学生体会利用面积关系也可以解决线平行或者线段比的问题，这也是我们以后解决类似问题的一个重要方法，在证法四中引导学生体会通过建立平面直角坐标系，可以把几何问题代数化，以后遇到几何问题，除了常规的几何方法外，也可以试试代数化后去思考这条路径.在整个过程中，引导学生体会“联想---化归”的思想；2、在自主探索和合作交流中进一步发展学生独立思考的能力、合作交流的能力和表达能力；3、通过几个学生的示范，激发全班同学对数学的学习热情及数学课堂的参与度（每节课都让几个学生去进行示范，示范的学生本身会有成就感，下面听的同学会跃跃欲试）.
（五）定理的理解
文字语言：三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
符号语言：∵DE为△ABC的中位线（已知），∴DE∥BC，（三角形的中位线定理）
1.从条件出发：看到中点，以前我们经常联想到中位线，现在我们要能联想到中位线定理，尤其是当条件中有2个或者2个以上的中点时，当有1个中点时我们也可以通过取另一条边的中点来构造中位线进而应用.
2.从结论看：结论既有线的位置关系平行，又有线段的数量关系，特别地，这个数量关系是线段的倍分关系，中位线定理为我们解决线平行，或者线段的倍分关系提供了一个有力的工具.
【师生活动】教师引导学生找到三角形中位线定理这个命题的条件和结论，并将条件和结论转化成符号语言，强调应用定理时的规范表述过程，同时引导学生从条件和结论两方面出发，深入理解定理，从而遇到相关问题时，能联想到用三角形的中位线定理去解决.
【设计目的】1、让学生对三角形中位线定理有更深入的理解；2、让学生会规范书写；3、对能应用三角形中位线定理来解决的问题形成感知.
（六）应用新知
1.己知：如图，E、F分别为AB、AC的中点.
(1)∵ E、F分别为AB、AC的中点，∴ EF∥BC（根据 ）
(2)若BC =10cm，则EF =________ ㎝.
(3)若EF =6cm，则BC =________cm.
(4)若∠AEF=60°，则∠B=________度.
解：（1）三角形的中位线定理（2）5；（3）12；（4）60
2. 已知：D、E、F分别为△ABC三边的中点，你能证明图中的四个小三角形全等吗？
解：通过SSS可以很容易地证明.
教师追问：在这个图形中还有哪些特殊的结论？
解答：（1）△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED；
（2）四边形ADFE、四边形BDEF、四边形CEDF均为平行四边形；
（3），.
【师生活动】教师引导学生完成相应的题目，学生踊跃发言.
【设计目的】第一题比较简单，学生直接应用定理即可完成，使学生进一步熟悉定理，同时对三角形的一条中位线所形成的基本图形有了更加全面的认识；通过完成第二个问题达到以下三个目的1、证明一开始的动手操作发现的结果是正确的；2、使学生对三角形的三条中位线所构成的图形有了全面的认识；3、引出下一个问题.
（七）拓展探究、典例分析
【例题】 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连结AC, ∵ AE=EB、CF=FB,（已知）,
∴EF∥AC， （三角形中位线定理）
同理： HG∥AC，，
∴EF ∥HG，且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形.
【师生活动】教师提问，学生踊跃发言，用数学语言规范地表达自己的想法.
【活动目的】引导学生体会1、四边形问题转化为三角形问题解决；2、看到中点，联想到中位线后去构造基本的图形；3、AC同时也起到了桥梁的作用，传递了线段的平行和相等关系；4、通过例题的过程来规范学生的书写.
(八)课时小结
Ⅰ.分享收获：让学生们畅谈这节课的收获；
Ⅱ.教师在学生畅谈的基础上进行归纳、升华；
（1）回顾学习过程：探究猜想证明应用.
（2）回顾学习内容：今天我们学习三角形的中位线定义、三角形中位线定理、三角形中位定理的应用.
（3）数学思想方法：联想化归.
【师生活动】学生畅所欲言，教师归纳总结提升.
【设计目的】通过让学生分享收获，培养学生回顾思考、归纳概括的能力，也通过这一环节使学生可以互相学习，同时也有利于教师发现本节课的教学目标完成的程度；通过教师的归纳提升，使学生对本节课的知识、方法等有一个整体的认识.
（九）作业布置
1.作业：P152 习题6.6 （如何应用三角形的中位线定理解决问题？怎样能更好地应用？）
2. 类比本节课的学习过程，探究梯形的中位线的性质：
梯形中位线的定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
如图：梯形ABCD中，E为AB中点，F为CD中点，类比本节课的学习过程，探究梯形中位线的性质.
【师生活动】教师布置作业，学生记录
【设计目的】使学生在课后完成这一环节后，能对如何应用本节课所学知识有更深地体会，对本节课所渗透的数学思想（化归）的思想有更深刻的认识，能灵活地去转化、化归，能够类比本节课的学习过程去解决类似的问题，也就是能实现知识、方法的迁移.
（十）板书设计
6.3 三角形的中位线
定义 二、定理
连接三角形两边中点的线段 三角形的中位线平行于第三
叫做三角形的中位线. 边，且等于第三边的一半.

符号语言： 符号语言：
1.
2.
证法1 证法2

证法3 证法4