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2020-2021学年3 线段的垂直平分线课文内容课件ppt
展开如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?
线段垂直平分线的性质:
定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.求证:PA=PB.
证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ; ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
当我们写出逆命题时,就想到判断它的真假.如果真,则需证明它;如果假,则需用反例说明.
已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.
证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC, 即P点在AB的垂直平分线上.
证法二:取AB的中点C,过P,C作直线. ∵AP=BP,PC=PC.AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上.
证法三:过P点作∠APB的角平分线交AB于点C. ∵AP=BP,∠APC=∠BPC,PC=PC, ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定:
定理:到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
已知:如图 1-18,在 △ABC 中,AB = AC,O 是 △ABC 内一点,且 OB = OC.
求证:直线 AO 垂直平分线段BC.
证明:延长AO交BC于点D,在△ABO和△ACO中, AB=AC ,AO=AO ,OB=OC ,∴△ABO≌△ACO(SSS),∴∠BAO=∠CAO,∵AB=AC,∴AO⊥BC.BD=CD.即直线 AO 垂直平分线段BC.
课堂小结, 畅谈收获:
一、线段垂直平分线的性质定理.二、线段垂直平分线的判定定理. 三、用尺规作线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线(2)
习题1.7的第1题:利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,当作完此题时你发现了什么?
发现:三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等.
剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线,你是否发现同样的结论?与同伴交流.
证明结论:三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知:在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点O.求证:O点在AC的垂直平分线上.
证明:连接AO,BO,CO. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等). 同理OB=OC.∴OA=OC. ∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上). ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O
定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
三角形三边的垂直平分线的性质定理
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能,能作几个?所作出的三角形都全等吗?
已知:三角形的一条边a和这边上的高h求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h
这样的三角形有无数多个.观察还可以发现这些三角形不都全等.
(2)已知等腰三角形的底边,你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能,能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,只要作底边的垂直平分线,取它上面除底边的中点外的任意一点,和底边的两个端点相连接,都可以得到一个等腰三角形. 如图所示,这些三角形不都全等.
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
这样的等腰三角形应该只有两个,并且它们是全等的,分别位于已知底边的两侧. 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
已知底边及底边上的高,求作等腰三角形.已知:线段a、h求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h作法:1.作BC=a; 2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点; 3.以D为圆心,h长为半径作弧交MN于A点; 4.连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形
求作等腰直角三角形,使它的斜边等于已知线段.
已知:线段a.求作:等腰直角三角形ABC使BC=a.
作法:1.作线段BC=a 2.作线段BC的垂直平分线L,交BC于点D. 3.在L上作线段DA,使DA=DB. 4.连接AB,AC. ∴△ABC为所求的等腰直角三角形.
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