2022年河南省河南师范大学附属中学中考数学冲刺押题卷（三）+

这是一份2022年河南省河南师范大学附属中学中考数学冲刺押题卷（三）+，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
已知-2≤x≤1，则化简代数式|x+2|-|x-1|+2|x+3|的结果是（ ）
A. 4x+7B. 2x+9C. −2x+7D. −2x+9
自2020年5月1日《北京市生活垃圾管理条例》实施以来，本市居民家庭厨余垃圾分出量大幅提升，分出量从《条例》实施前的每日309吨，增长至10月份的每日3946吨，增长了约12倍.预计2021年1月（31天）厨余垃圾的日均分出量约为5000吨，那么该月可分出厨余垃圾的总量用科学记数法表示为（ ）
A. 5×103B. 0.5×104C. 1.55×105D. 155×103
下列运算正确的是()
A. a2⋅a3=a6B. (−a2)3=−a6C. (ab)2=ab2D. a6÷a3=a2
下面是空心圆柱在正面的视图，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=55°，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠2=55°
B. ∠3=55°
C. ∠4=120°
D. ∠5=35°
下列说法中，正确的是（ ）
A. 为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式
B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C. 某同学连续5次抛掷质量均匀的硬币，1次正面向上，因此正面向上的概率是20%
D. 在连续6次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定
下列关于x的方程中，有实数根的是（ ）
A. x2+2x+3=0B. x3+2=0
C. xx−1=1x−1D. x−2+3=0
如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=16cm2，则△DEF的面积等于（ ）
A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2
《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积=底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）.如图，在▱ABCD中，已知AB=6，AD=3，对角线BD=5，则▱ABCD的面积为（ ）
A. 11B. 14C. 142D. 72
如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动过程中甲光斑与点A的距离S1（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2（cm）与时间t（s）的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌P2Q2O2，下列叙述正确的是（ ）
A. 甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍
B. 乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/s
C. 甲乙两光斑全程的平均速度一样
D. 甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
已知a是小于3+5的整数，且|2-a|=a-2，那么a的所有可能值是______ ．
不等式组3x+3≤2x+72x+43>3−x的解集是______．
一组数据0，1，x，-1，5的众数是0，那么这组数据的方差是______ ．
若120°的圆心角所对的弧长是2πcm，则此弧所在圆的直径是______cm．
如图，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是6-2；②弧D'D″的长度是5312π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
计算：
（1）（−xy）2•3y2x÷9y4x2；
（2）（x+2）2-（x+1）（x-1）．
为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开设A．舞蹈，B．音乐，C．绘画，D．书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图1，2所示的统计图，且结合图中信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，共调查了多少名学生？
（2）请将两幅统计图补充完整；
（3）若本校一共有2000名学生，请估计喜欢“音乐”的人数；
（4）若调查到喜欢“书法”的4名学生中有2名男生，2名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率．
如图，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，4)。将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA1B1C1，BC，A1B1相交于点M。
(1)求点B1的坐标与线段B1C的长；
(2)将图a中的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移，如图b，矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置，BC、A2B2相交于点 M1，点P运动到C点停止。设点P运动的距离x，矩形PA2B2C2与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)如图c，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA3B3C3，请你思考如何通过图形变换使矩形PA3B3C3与原矩形OABC重合，请简述你的做法。

我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．
如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．
（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；
（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.92，tan22°≈0.40，3≈1.73）
（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；
（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式a+bc，则无需化简）
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=8：5，BC=8，求BD的长．
王老板经营甲、乙两个服装店铺，每个店铺各在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件且甲店售1件A款和2件B款可获得110元，售2件A和1件B可获得100元，乙店每售出一件A款获得27元，1件B款获利36元，
（1）问在甲店售出1件A和1件B分别获利多少元？
（2）某日王老板进了A款式的服装35件，B款式的服装25件，如果分配给甲店的A款式的服装x件，①求王老板获取的利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②由于甲、乙两个店铺所处的地段原因，王老板想在保证乙店利润不小于950元的前提下，使得自己获取的利润最大，请你帮王老板设计一种最佳分配方案，并求最大的总利润是多少？
如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线ADC段上有一点F，使△FAC的面积最大，求该点坐标；
（3）P为直线DE上的动点，若点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等，则称P为直线AD和x轴的“等距点”．请直接写出直线AD和x轴的“等距点“的坐标．
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作EF∥BC，且AE=AF．
求证：
（1）DE=DF；
（2）BG=CH．
1.【答案】A
【知识点】绝对值
【解析】解：∵-2≤x≤1，
∴x+2≥0，x-1≤0，x+3＞0，
∴|x+2|-|x-1|+2|x+3|=x+2+x-1+2x+6=4x+7，
故选：A．
根据x的取值范围，利用绝对值的性质化简即可解答．
本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记绝对值的性质．
2.【答案】C
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：根据题意，该月可分出厨余垃圾的总量为：
5000×31=155000=1.55×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法
【解析】试题分析：根据同底数相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
A、应为a2•a3=a5，故本选项错误；
B、(-a2)3=-a6，正确；
C、应为(ab)2=a2b2，故本选项错误；
D、应为a6÷a3=a3，故本选项错误．
故选B．
4.【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】解：从几何体的左边看可得．
故选：C．
找出从几何体的左边看所得到的视图即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．
5.【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】解：∵a∥b，∠1=55°，
∴∠3=∠1=55°，∠2=∠1=55°，
∴∠4=180°-∠3=180°-55°=125°，
∵三角板为直角三角板，
∴∠5=90°-∠3=90°-55°=35°．
故选项A、B、D不符合题意，
故选：C．
利用平行线的性质、直角的定义即可解决问题．
本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质．
6.【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查、算术平均数、方差、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：A、为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式；故选项A不符合题意；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式；故选项B不符合题意；
C、某同学连续5次抛掷质量均匀的硬币，1次正面向上，因此正面向上的概率不一定是20%；故选项C不符合题意；
D、在连续6次数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定；故选项D符合题意；
故选：D．
分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查了概率、全面调查、抽样调查以及方差知识；熟练掌握有关知识是解题的关键．
7.【答案】B
【知识点】根的判别式
【解析】解：A、x2+2x+3=0中，△=4-12=-8＜0，无实数根；
B、x3+2=0中，有实数根；
C、xx−1=1x−1中,当分母x-1≠0，即x≠1，无实根；
D、x−2+3=0中，被开方数a＜0，无实数根；
故选B
根据①分母=0，②a中，被开方数a＜0时，③△＜0，满足①、②、③中的任何一个条件，方程都无实数根，
本题考查了不解方程来判别方程根的情况，依据是：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
8.【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】解：∵S△ABC=16cm2，D为BC的中点，
∴S△ABD=S△ADC=12S△ABC=12×16=8（cm2），
∵E为AD的中点，
∴S△DEC=12S△ADC=12×8=4（cm2），
∵F为EC的中点，
∴S△EDF=12S△DEC=12×4=2（cm2），
故选：A．
根据三角形中线的性质，先求得△ADC的面积，再求得△DEC的面积，即可求得△DEF的面积．
本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键．
9.【答案】B
【知识点】平行四边形的性质、三角形的面积、数学常识
【解析】解：∵a=3，b=5，c=6，
∴S△ABD=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]=14[15−(3+5−62)2]=142，
∴▱ABCD的面积为2S△ABD=2×142=14．
故选：B．
将AB=6，AD=3，对角线BD=5代入公式可求出S△ABD的值，则可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】
【分析】
​​​​​​​本题以动点问题的函数图象考查学生对函数图象的理解，以及将图象意义转化为动点实际运动状态的能力．在解答问题时，一定要注意分析两个函数图象纵坐标所代表的意义．
甲乙两个光斑的运动路程与时间的图象，因为起始点不同，因而不易判断，如果根据题意将两个点运动的基准点变为同一个点，再根据题意，问题即可解决．
【解答】
解：∵甲到B所用时间为t0s，从B回到A所用时间为4t0-t0=3t0，
∵路程不变，∴甲光斑从A到B的速度是从B到A运动速度的3倍，∴A错误；
由于△P1O1Q1≌P2Q2O2，
∵甲光斑全程平均速度1.5cm/s，
∴乙光斑全程平均速度也为1.5cm/s，
∵乙由B到A时间为其由A到B时间三倍，
∴乙由B到A速度低于平均速度，则乙由A到B速度大于平均速度，∴B错误；
由已知，两个光斑往返总时间，及总路程相等，则两个光斑全程的平均速度相同，∴C正确；
根据题意，分别将甲、乙光斑与点A的距离与时间的函数图象画在下图中，
两个函数图象交点即为两个光斑相遇位置，
故可知，两个光斑相遇两次，故D错误．
故选：C．
11.【答案】2、3、4、5
【知识点】绝对值、估算无理数的大小、算术平方根
【解析】
【分析】
本题考查了算术平方根和绝对值的灵活运用．
由于2＜5＜3，所以得a≤5，结合|2-a|=a-2，得到a是取值范围为2≤a≤5．即得a的整数值．
【解答】
​​​​​​​解：根据题意，
a是小于3+5的整数，
又2＜5＜3，
所以a≤5．
|2-a|=a-2，
即a≥2，
所以2≤a≤5；
故a的值为2、3、4、5．
12.【答案】1＜x≤4
【知识点】一元一次不等式组的解法
【解析】解：，
由①得：x≤4，
由②得，x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤4．
故答案为：1＜x≤4．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
13.【答案】4.4
【知识点】方差、众数
【解析】解：因为一组数据0，1，x，-1，5的众数是0，所以x=0．
于是这组数据为0，1，0，-1，5．
该组数据的平均数为：15（0+1+0-1+5）=1，
方差S2=15[（0-1）2+（1-1）2+（0-1）2+（-1-1）2+（5-1）2]=15×22=4.4．
故答案为：4.4．
根据众数的概念，确定x的值，再求该组数据的方差．
本题考查了平均数、众数、方差的意义．
①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；
②众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；
③方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
14.【答案】6
【知识点】弧长的计算
【解析】解：设此弧对应的圆的半径为R，
∵120°的圆心角所对的弧长是2πcm，
∴120π×R180=2π，
解得：R=3，
即此弧所在圆的直径是6cm，
故答案为：6．
设此弧对应的圆的半径为R，根据弧长公式求出R，再求出直径即可．
本题考查了弧长公式，能熟记弧长公式是解此题的关键．
15.【答案】①②④
【知识点】翻折变换(折叠问题)、弧长的计算、相似三角形的判定
【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，
∴∠D=∠AD'E=90°=∠DAD'，AD=AD'=3，
∴四边形ADED'是正方形，
∴AD=AD'=D'E=DE=3，AE=2AD=6，∠EAD'=∠AED'=45°，
∴D'B=AB-AD'=2，
∵点F是BD'中点，
∴D'F=1，
∴EF=D′E2+D′F2=3+1=2，
∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，
∴AE=A'E=6，∠D'ED''=α，∠EA'D''=∠EAD'=45°，
∴A'F=6-2，故①正确；
在中，D'F=1，EF=2，
∴∠FED'=30°
∴α=30°+45°=75°，
∴弧D'D″的长度=75°×π×3180°=5312π，故②正确；
∵AE=A'E，∠AEA'=75°，
∴∠A′AE≠∠AEA′,
∴A′A≠A′E,
∴△A'AF与△A'EG不全等，故③错误；
∵D'E=D''E，EG=EG，
∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），
∴∠D'GE=∠D''GE，
∵∠EA′G=45°,∠A′AE=∠AA′E=52.5°,
∴∠A′AF=7.5°,∠AA′G=97.5°,
∴∠AGD''=∠A'AG+∠AA'G=105°，
∴∠D'GE=52.5°=∠AA'F，
又∵∠AFA'=∠EFG，
∴△AA'F∽△EGF，故④正确，
故答案为：①②④．
​​​​​​​
由折叠的性质可得∠D=∠AD'E=90°=∠DAD'，AD=AD'，可证四边形ADED'是正方形，可得AD=AD'=D'E=DE=3，AE=2AD=6，∠EAD'=∠AED'=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE=A'E=6，∠D'ED''=α，∠EA'D''=∠EAD'=45°，可求A'F=6-2，可判断①；由直角三角形的性质可得∠FED'=30°，由弧长公式可求弧D'D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可判断③；由“HL”可证Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∠D'GE=∠AA'F=52.5°，可证△AA'F∽△EGF，可判断④，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
16.【答案】解：（1）原式=x2y2•3y2x•4x29y
=2x33y2；
（2）原式=（x2+4x+4）-（x2-1）
=x2+4x+4-x2+1
=4x+5．
【知识点】分式的乘除、平方差公式、完全平方公式
【解析】（1）原式先算乘方，再算乘除，约分即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
17.【答案】解：（1）120÷40%=300（名），
所以在这次调查中，共调查了300名学生；
（2）B类学生人数=300-90-120-30=60（名），
A类人数所占百分比=90300×100%=30%；B类人数所占百分比=60300×100%=20%；
统计图为：
（3）2000×20%=400（人），
所以估计喜欢“音乐”的人数约为400人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中相同性别的学生的结果数为4，
所以相同性别的学生的概率=412=13．
【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】（1）用C类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）先分别计算出B类人数和A、B两类所占的百分比，然后补全统计图；
（3）利用样本估计总体，用样本中B类人数的百分比作为全校喜欢“音乐”的人数的百分比，然后用此百分比乘以全校人数即可得到全校喜欢“音乐”的人数；
（4）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出相同性别的学生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
18.【答案】(1)OA1=OA=3 A1B1=AB=OC=4 ∴ OB1=5 ∴ B（0，5） B1C=5-4=1
(2)①S重叠=S阴=S△PA2B2-S△M1B2C
∵ OP=x PB2=5 ∴ OB2=5+x
又∵ OC=4
∴ B2C=x+1，△A2B2P∽△CB2M1
∴
∴
∴ S△CB2M1=( x+1)2
∴ y= ； 当M1与A2重合时, M1B22=B2C·BP
∴42= B2C·5 ；∴B2C=； ∴x=；∴0≤x≤。

② PC=4-x，△PCM1∽△ PA2 B2；
∴
∴
∴ S△PCM1=
∴ y=( ＜

∴综上所述：

(3)将矩形PA3B3C3绕点O顺时针旋转∠B3PA3的度数,使PA3
与 PB重合(或PC3与y轴重合)，再把所得图形向下平行4个单位长度，即与矩形OABC重合，使PA3与OA重合。（本题答案方法较多，不唯一）
【知识点】图形的变化、矩形的性质、二次函数、四边形综合、四边形、全等三角形的性质
【解析】试题分析：（1）用勾股定理求矩形OABC的对角线OB长，得点的坐标；=；
（2）求分段函数，以落在 BC上的时刻为界，将函数分为两段，画出图形，分别求函数解析式；
（3）属于开放性问题，解法多种，主要是围绕旋转，平移轴对称解题．
(1)如图，因为，
所以点 B1的坐标为（0，5）．
因为 C（0，4），所以OC=4，
则==5-4=1．
在矩形 OA1B1C1沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点A1运动到矩形OABC的边BC上时，
重叠部分的面积为三角形 PA2C的面积，A2C=，又 A3P=3，
根据勾股定理得：，即求得 P点移动的距离 ．
当自变量 x的取值范围为0≤x＜时，如图2，由△B2CM1∽△B2A2P，
得 CM1=，此时， y=S△B2A2P-S△B2CM1= ×3×4-×（1+ x），
即 y=（ x+1）2+6（或y= x2-）．
当自变量 x的取值范围为≤ x≤4时，
求 y=S△PCM1′=（或）.
（3）①把矩形PA3B3C3沿∠BPA3的角平分线所在直线对折．
②把矩形 PA3B3C3绕C点顺时针旋转，使点A3与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度．
③把矩形 PA3B3C3绕C点顺时针旋转，使点A3与点B重合，再沿BC所在的直线对折．
④把矩形 PA3B3C3沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点A3与点A重合．
考点：二次函数、四边形、图形的对称、平移与旋转。
19.【答案】解：（1）在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC，
则BC=ACtan30∘=3AC，
同理，B1C=ACtan22∘，
∵B1B=B1C-BC，
∴AC0.40-3AC=30，
解得：AC≈39（米）；
（2）∵B1B=AB，
∴∠B1=∠B1AB=12∠ABC=15°，
设B1B=AB=x，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=12AB=12x，BC=32x，
∴B1C=x+32x，
∴tan15°=ACB1C=12xx+32x=12+3=2-3；
（3）如答图3所示，图中三角形依次是含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形．
设AC=a，则AB=2a，BC=ACtan30∘=3a．
∴B1B=AB=2a，
∴B1C=2a+3a=（2+3）a．
在Rt△AB1C中，由勾股定理得：AB1=B1C2+AC2=(2+3)2a2+a2=22+3a，
∴B2B1=AB1=22+3a，
∴B2C=B2B1+B1C=22+3a+（2+3）a
∴tan7.5°=tan∠AB2C=ACB2C=a22+3a+(2+3)a
∴tan7.5°=122+3+2+3．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】（1）在Rt△ABC和Rt△AB1C中，利用三角函数，用AC分别表示出BC和B1C，根据B1B=B1C-BC，列方程求得AC的长；
（2）设B1B=AB=x，在Rt△ABC中，利用三角函数用x表示出AC和BC的长，则B1C即可求得，根据正切的定义即可求解；
（3）按照（1）（2）的规律，画出含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形，如答图3所示，利用勾股定理、等腰三角形的性质及正切的定义，求出tan7.5°的值．
此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
20.【答案】解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图，连接OD．
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切．
（2）解法一：如图，连接DE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=8：5
∴csA=ADAE=45
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cs∠CBD=BCBD=45
∵BC=8，
∴BD=10；
解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH=DH=12AD
∵AD：AO=8：5
∴csA=AHAO=45
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cs∠CBD=BCBD=45
∵BC=8
∴BD=10．
【知识点】切线的判定、解直角三角形、垂径定理、圆周角定理
【解析】（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；
（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可．
本题考查圆的切线的判定、圆的有关性质如垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，应对其熟练掌握．
21.【答案】解：（1）设在甲店售出1件A和1件B分别获利a元、b元，
a+2b=1102a+b=100，得a=30b=40，
答：在甲店售出1件A和1件B分别获利30元、40元；
（2）①由题意可得，
y=30x+40（30-x）+27（35-x）+36[25-（30-x）]=-x+1965，
∵x≤30，35-x≤30，
∴5≤x≤30，
即王老板获取的利润y（元）与x（件）之间的函数关系式是y=-x+1965（5≤x≤30）；
②∵王老板想在保证乙店利润不小于950元，
∴27（35-x）+36[25-（30-x）]≥950，
解得，x≥2059，
∵y=-x+1965，
∴当x=21时，y取得最大值，此时y=1944，30-x=9，35-x=14，30-14=16，
答：最佳分配方案是在甲店出售A种款式的服装21件，B种款式的服装9件，在乙服装店出售A种款式的服装14件，出售B种款式的服装16件，最大的总利润是1944元．
【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用
【解析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得在甲店售出1件A和1件B分别获利多少元；
（2）①根据题意，可以写出老板获取的利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，再根据每个店铺各在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，可以得到x的取值范围；
②根据王老板想在保证乙店利润不小于950元的前提下，可以求得x的取值范围，再结合①中求出的函数解析式，利用一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22.【答案】解：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c得−9−3b+c=0c=3，
解得b=−2c=3
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴D（-1，4）；
（2）如图1，作FQ∥y轴交AC于Q，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（-3，0），C（0，3）代入得−3m+n=0n=3，解得m=1n=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
设F（x，-x2-2x+3），则Q（x，x+3），
∴FQ=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，
∴S△FAC=12×3×FQ=32（-x2-3x）=-32x2-92x=-32（x+32）2+278，
当x=-32时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（-32，154）；
（3）如图2，
∵D（-1，4），A（-3，0），E（-1，0），
∴AD=22+42=25，
设P（-1，t），
则PE=PH=|t|，DP=4-t，
∵∠HDP=∠EDA，
∴Rt△DHP∽Rt△DEA，
∴PHAE=DPDA，
∴|t|2=4−t25
当t＞0时，t2=4−t25，解得t=5-1；
当t＜0时，−t2=4−t25，解得t=-5-1，
综上所述，满足条件的P点坐标为（-1，5-1）或（-1，-5-1）．
【知识点】二次函数综合、待定系数法求二次函数解析式
【解析】（1）把A点和C点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式可得D点坐标；
（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，设F（x，-x2-2x+3），则Q（x，x+3），则可表示出FQ=-x2-3x，根据三角形面积公式得到S△FAC=-32x2-92x，然后利用二次函数的性质求解；
（3）先利用勾股定理计算出AD=25，设P（-1，t），则PE=PH=|t|，DP=4-t，再证明Rt△DHP∽Rt△DEA，利用相似比得到，PHAE=DPDA，即|t|2=4−t25，最后分两种情况求解即可得出结论．
本题是二次函数综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法求函数解析式，判断出Rt△DHP∽Rt△DEA是解本题的关键．
23.【答案】证明：（1）连接AD，

∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵EF∥BC，
∴∠DAF=∠ADB=90°，
∴AD⊥EF，
∵AE=AF，
∴AD垂直平分EF，
∴DE=DF；
（2）∵DE=DF，DA⊥EF，
∴∠EAD=∠FAD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴∠EDB=∠FDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDG和△CDH中，
∠B=∠CBD=CD∠BDG=∠CDH，
∴△BDG≌△CDH（ASA），
∴BG=CH．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】（1）连接AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得AD⊥BC，再利用平行线的性质得∠DAF=∠ADB=90°，从而说明AD垂直平分EF，则有DE=DF；
（2）利用等角的余角相等∠EDB=∠FDC，再利用ASA证明△BDG≌△CDH，从而证明结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分