初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形1 平行四边形的性质教学设计

课题：6.1.1 平行四边形                    ——平行四边形的性质

【北师版八年级下学期】

内容分析

1.课标要求

理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理。

2. 教材分析

四边形是几何中的基本图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一。平行四边形是特殊的四边形，较一般四边形而言，它与我们的关系更为密切。这不仅表现在日常生活中有很多平行四边形的图案，还包括其性质在生产生活各领域的实际应用。另外，平行四边形的相关知识在建筑、物理、测绘学中也有很重要的应用。

知识层面：平行四边形的性质和定义是研究线段和角相等的一种重要工具，它为探究其它特殊四边形的性质奠定了基础，学生已经学习过四边形的概念与性质以及三角形和平移旋转等相关知识，为本节课的学习奠定了基础。本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，为后续学习特殊四边形的性质提供研究的套路，起到了奠基、引领、示范的作用，在教材中起着承上启下的作用，平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路。

能力层面：学生在前面《三角形的证明》和《图形的平移与旋转》的学习过程中，已经掌握了独立证明特殊三角形的性质及判定的基本技能，具备一定的合情推理和演绎推理能力，具备相关的知识储备，积累较为丰富的数学活动经验。“平行四边形的性质”的学习过程本质就是实验、观察、猜想、证明、归纳的过程，是研究特殊四边形的基本方法和套路——特殊四边形的研究要从边、角、对角线的特殊性质上入手。研究的方法可以是合情推理，也可以是演绎推理，但更侧重于通过演绎推理对图形性质的命题进行研究，借此提高学生的推理能力。

思想层面：本节课“平行四边形的性质”的探索推导过程蕴含了类比的数学思想，而发现这种探索方法的过程又渗透了转化与化归的数学思想。此外，通过文字语言、图形语言和符号语言这三种数学语言的表述，体现了数形结合的思想。

 3.学情分析

 学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验，具备了一定的动手操作、猜想、推理验证的能力；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力，为平行四边形性质的学习打下了基础。从学生的认知结构和年龄特点来看，八年级学生对几何说理缺乏足够的实践和认识，不能用准确的抽象的语言叙述来表达图形的性质，因此，从理论上来说明特殊四边形的性质，对八年级学生而言，认知难度较大。预计在命题的验证过程中会出现作图或推理的思维障碍。

教学目标

1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。

2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。

3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。

教学重点：平行四边形性质的探索和证明。

教学难点：平行四边形的性质的论证及应用。

【设计意图】

1.通过观察、度量、猜想、验证、推理、交流等一系列数学活动，充分体会平行四边形的性质，使学生初步体会感性认识和理性认识的内在联系。

2.掌握命题证明的一般步骤，对平行四边形性质的猜想进行推理论证。培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索体验数学思维规律的精神。

3.在知识应用过程中，获取证明线段和角相等的新的数学方法，加强学生的逻辑推理能力，从而形成良好的思维品质。

4.学生在经历猜想、证明、应用的过程，进一步体会类比、转化与化归、数形结合的数学思想在几何学习中，尤其是四边形学习中的重要作用。

教学策略

“如何引导探究特殊四边形的性质”的教学本质上属于数学命题的教学，对于如何引导探究出该性质的命题，教学关键问题在于以下三点：

1.注重命题产生的教学。该命题生成的逻辑起点在于平行四边形的定义，因此，由定义引导学生猜想和预测可能得到什么样的命题，使学生经历性质的产生过程。

2.注重命题证明的教学。运用平行四边形的定义和性质，以及其他相关的几何知识，运用演绎推理的办法，对该性质进行逻辑证明。这一证明过程往往与其它多个命题的产生联系，可以运用多种方法，从而为学生建立较为完善的认知结构打下基础，帮助学生形成分析问题的能力。

3.注重对命题变式和应用的教学。变式是过程和结果的统一，通过平行四边形性质的变式教学，适度的应用性巩固练习，帮助学生巩固知识，把握相关命题之间的联系，建立完整的数学认知结构。促进学生对该性质的深刻理解。

此外，通过文字语言、图形语言和符号语言这三种数学语言的表述，体现数形结合的思想，同时培养学生良好的符号意识，使学生对平行四边形的性质有较为完整的认识。适时给予学生消化的时间，提高课堂的学习效率。

教学过程

（一）探索新知

问题1：在小学，我们已经初步认识了平行四边形，生活中很多物体的表面都呈平行四边形，例如……（展示图片）。

【设计意图】通过学生观察周围的世界，交流讨论，引导学生从实物中抽象出几何模型，加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的，同时激发了学生的学习兴趣。

问题2：你们还记得平行四边形的定义吗？

（板书）定义：两组对边分别平行的四边形我们称为平行四边形。

如图1，我们给这个平行四边形的4个顶点依次标上字母A、B、

C、D，为了方便书写，我们用一个迷你的“”图形来表示平行四边

形，记作“”，读作“平行四边形ABCD”。（注意：这四个字母

是有顺序的，按顺时针或逆时针书写。）AB与CD，AD与BC是它的两组

对边；∠A与∠C，∠B与∠D是它的两组对角；平行四边形不相邻的两

个顶点连成的线段叫做它的对角线，如图2，连结AC，BD，则AC，BD是的对角线。

【设计意图】在回顾平行四边形概念的基础上结合图形，讲授平行四边形的对边、对角、对角线以及平行四边形的记法，让学生对这些概念形成清晰的影像，以利于后续教学的展开。

问题3：我们知道，定义都有双重性，例如：等腰三角形的定义，即是等腰三角形的判定，也是它的性质。类比等腰三角形的定义，你能否根据平行四边形的定义得到它的双重性？（平行四边形的定义即是判定又是性质，判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；性质：平行四边形的两组对边分别平行。）

问题4：请你结合图1，用数学语言描述这个判定和性质。

（板书）判定：∵AB//CD，AD//BC

∴四边形ABCD是平行四边形。

       性质：∵四边形ABCD是平行四边形

              ∴AB//CD，AD//BC

【设计意图】类比等腰三角形的定义的双重性，得到平行四边形定义的双重性。再结合图形，培养学生对文字语言、图形语言和符号语言之间的联系和转化能力。用多种语言表达平行四边形的定义，从多个角度领悟定义，提升学生的概括能力，锻炼学生的识图能力。

（二）动手操作

问题4：在学习等腰三角形时，我们主要研究等腰三角形的哪几个元素？（边、角、高、中线、角平分线等。）

追问：类比研究等腰三角形的方法，我们可以从哪几个方面来探究平行四边形？（边、角、对角线等。）

活动1：打开你们的思路，大胆地猜想平行四边形的性质。现在，小组合作，拿出你们准备好的工具（剪刀、直尺、三角尺、量角器、纸等），选择适当的方法猜想你们的结论。

（1）你们小组选择的方法：

①度量  ②平移  ③旋转 ④平移、旋转  ⑤折叠  ⑥拼图  ⑦其它

（2）你们发现的结论：                                                  。

【设计意图】类比研究等腰三角形的方法，明确平行四边形的性质的探究对象是边、角、对角线。活动1的探究是完全放开的，给学生充分的时间和空间，动手操作和动脑思考，让学生从不同的角度进行探究，体现了数学探究学习的多样性，开拓学生的思维。培养学生的动手操作能力和团队合作精神。

（三）猜想归纳

问题5：说一说你们的猜想。

1.我们通过尺子测量，发现平行四边形的对边是相等的。

2.我们用三角尺和直尺，用“推平行线法”，发现平行四边形的对边平行且相等。

3.我们通过量角器测量，发现平行四边形的邻角是互补的，对角是相等的。

4. 我们通过尺子测量，发现平行四边形的对角线互相平分，AO=CO，BO=DO。

5. 我们把绕着它的对角线的交点O旋转了180°，发现平行四边形是中心对称图形，对称中心是点对角线的交点O。

几何画板动画展示

归纳：（板书）平行四边形的性质

边：两组对边分别平行且相等。

角：邻角互补，两组对角分别相等。

对角线：对角线互相平分。

平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

问题:6：你会用数学语言描述这些性质吗？

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC；

∠A=∠C，∠B=∠D；

AO=CO，BO=DO。

【设计意图】学生在教师的引导下，通过自主探究，自主归纳总结，在操作层面感知的基础上提升，并了解图形具有的数学本质。培养学生的语言表达能力。

（四）推理验证

活动2：命题证明有哪些步骤？

（画图，写出已知、求证，证明。）

你们会推理验证这几个猜想吗？

1.平行四边形的两组对边分别相等。

已知：如图3，四边形ABCD是平行四边形。

求证：AB=CD，AD=BC。

证明：如图4，连结AC

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB//CD，AD//BC

∴∠1=∠2，∠3=∠4

又∵AC=AC

∴△ACD≌△CAB

∴AB=CD，AD=BC

（老师先分析题目，再让学生写出证明过程，叫一个学生上台板演老师适当总结，及时指出学生书写的错误，规范几何证明的严谨性。）

2.平行四边形的两组对角分别对角相等。

已知：如图3，四边形ABCD是平行四边形。

求证：∠A=∠C，∠B=∠D。

证明：

方法1：在上题的基础上继续证明。

∵△ACD≌△CAB

∴∠B=∠D

∵∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠1+∠3=∠2+∠4

即∠BAD=∠BCD

方法2：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB//CD，AD//BC

∴∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°

∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°

∴∠A=∠C，∠B=∠D

（学生独立完成，再叫一个学生上台板演，讲解，老师适当总结，并拓展一题多解）

【设计意图】本环节是本节课的一个教学难点，要求学生根据命题，自主画图，写出已知、求证，并证明。让学生掌握命题证明的一般步骤，对平行四边形性质的猜想进行推理论证。培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索体验数学思维规律的精神。让学生进一步体会文字语言、图形语言和符号语言这三种数学语言的相互转化，体现了数形结合的思想，同时培养了学生良好的符号意识。这个环节重点是添加辅助线的思维过程。如图3，图形比较简单，直观上不易察觉；知识层面上，学生缺乏几何证明的经验，在证明过程中可能出现盲点。为突破这一难点，前面用拼图的方法启发学生寻求平行四边形与三角形的内在联系，通过讨论和交流，明确证明线段、角相等的方法是利用三角形的全等来证明。而图中没有三角形，只有平行四边形，可见需构造辅助线。将四边形的问题转化为三角形的问题，将复杂问题转化为我们熟悉的简单问题。体现了数学的转化与化归的思想。

（五）学以致用

活动3：

1.（1）给你两张一组对边平行的纸片（如图5），

怎样操作，可以构成一个平行四边形？请同学

们动手试试，并说明理由。

（请一个同学上台演示。）

如图6，在中，

（1）若∠ABC=30°，则∠BAD=       °，∠ADC =         °。

（2）若∠ABC=70°，则∠BAD=       °，∠ADC =         °。

（3）已知平行四边形的一个内角的度数，能确定其他内角的度数吗？说说你的理由。

（4）若AD=25，CD=30，则AB=              ，BC=             。

（口头回答，并说明理由）

2.如图7，每个小正方形的边长为1，以AB为一边，画一个一组邻边和为9的平行四边形（要求平行四边形的顶点在格点上）。并说明你画的理由。

（投影学生作品，由学生自己讲解证明过程，老师适当总结。）

展示学生作品：

理由：如图7-1或7-2，

∵AB//CD，AD//BC

∴四边形ABCD是平行四边形

如图7-3或7-4，连结AC，

∵AB=CD=4，BC=AD=5，AC=AC

∵△ACD≌△CAB

∴∠DAC=∠BCA

∴AD//BC

又∵AB//CD

∴四边形ABCD是平行四边形

如图7-5或7-6理由类似。

追问：如果所画的平行四边形的顶点不要求在格点上，这样的平行四边形可以画几个？（无数个）

这无数个平行四边形的形状虽然不同，但它们的边长都对应相等，两条邻边分别为4和5，我们把平行四边形的这个性质，叫做平行四边形的不稳定性。这个性质与三角形的稳定性恰好相反。平行四边形的不稳定性在日常生活和生产实际中有很高的应用价值。例如校园的伸缩门，工厂的升降机，阳台可伸缩的晾衣架，可伸缩的衣帽架，汽车的千斤顶等。

3、已知：如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，并且AE=CF.

求证：BE=DF.

【设计意图】利用学生最熟悉的两张纸条，构造平行四边形；在网格中，画平行四边形。鼓励学生利用平行四边形的定义和性质解决实际生活中的一些问题，这样既生动形象，又激发了学生的学习兴趣。与日常生活紧密联系在一起，体现了“数学来源于生活，生活即数学”的新理念。同时培养了学生的动手操作能力和分析问题、解决问题的能力。通过这3道练习，帮助学生巩固知识，把握命题之间的联系，建立完整的数学认知结构，促进学生对平行四边形性质的深刻理解和掌握。

 (六)成效评价

活动:4 师生相互交流、反思、总结。

1.本节学习到了什么？

（1）本节课我们主要学习什么数学知识？（平行四边形的性质）

（2）我们是从哪几个方面探究平行四边形的性质？（边、角、对角线）

（3）平行四边形的性质的有哪些？（边、角、对角线，特别强调平行四边形的定义具有双重性，即是判定，又是性质。）

（七）课后反馈

1．在中，∠B=60°，则∠A=    ，∠C=   ，∠D=     。

2．在中，∠A比∠B大20°，则∠C=     。

3．在中，AB=3，BC=5，则AD=       ，CD=     。

4．在中，周长为40cm，△ABC周长为25，则对角线AC=       cm。

5.（拓展延伸）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE。

求证：AE∥CF。

【设计意图】检测学生所学的平行四边形的性质（边、角、对角线等），从不同角度、不同的层次，不同的情形、不同的背景进行变式，揭示不同知识间的内在联系，且通过变式训练，唤醒学生的好奇心和求知欲。

（八）板书设计

设计反思

基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行重组，将平行四边形的概念、探索平行四边形的性质以及平行四边形性质的简单应用这三部分整合成一节课。并且将本节课的重点“平行四边形的性质的探究活动”完全开放，给学生充分的时间和空间，动手实验和动脑思考，引发学生充分的想象力和探究力。图形的研究一脉相承，本节课根据学生已有等腰三角形性质的学习经验为依托，采用类比的方法引导学生从边、角、对角线等元素去探索平行四边形所具有的性质。

本节课在教法上体现了“启发引导”，老师并没有做出过多的讲解，性质是学生在老师的引导下自主探索出来的，并且由学生自主归纳总结，最后由学生严格证明得出。整个过程学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，他们不仅获得了知识本身，而且获得了学习新知识的方法和经验，为今后其它几何图形的性质的探索打下坚实的基础。这样从文本走向人本，真正促进学生的发展。