北师大版八年级数学下册 图形的平移与旋转回顾与思考(5)（教案）

《图形的平移与旋转回顾与思考》

一、教学内容分析

本节课是八下第三章《图形的平移与旋转》学完后，对图形的变换——平移、旋转的相关性质复习后的应用提高.本课是在全等三角形、角平分线的性质、等边三角形、勾股定理、图形的旋转基础上学习的，又是后面学生后续解决运动型问题、几何综合问题等类型的动态几何问题的必备知识，为学生解决动态几何问题做了必要的准备.是学生体会转化思想、分类讨论思想、特殊到一般思想等数学思想方法的必要体验.

二、学情分析

几何是初中学生中考数学的“难过的坑”，动态几何更令学生谈虎色变.大部分的学生没能养成认真审题的习惯，对太长的题目没有足够的耐心去审读，更别说去挖掘题目中的相关知识的联系，对于会动的几何.很多学生更是直接选择放弃.而优生虽然学习热情高，但对问题的分析能力、概括能力、化解难点等方面存在严重不足.

三、教学目标

1.通过复习，让学生熟练掌握借助图形的变化研究图形的性质一般思路；体会图形的旋转与全等三角形的构造之间的内在联系，提高学生观察分析综合问题的能力.

2.通过动手操作、观察推理提高学生分解、组合图形的能力，提高和完善逻辑思维能力和运用知识解决问题的能力.

3.通过欣赏图形变换所创造出的美，进一步感受“动中有静”、“以不变应万变”的数学解题方法之美.

四、重难点分析

1.教学重点：体会图形的旋转与构造全等三角形的内在联系；通过类比、归纳，探索图形的变换过程中存在的内在联系，寻找其中的内在规律.

2.教学难点：培养学生的模型意识，并自觉运用运动变化的观点思考问题，在复杂的问题情境中能将复杂问题转化为基本模型，从而顺利解决数学问题.

五、教法分析

1.通过典型例题的剖析，归纳动态几何问题的处理策略，形成解决同类问题的一般思路与分析方法；

2.引导学生在日常学习中重视模型和基本图形的发现、积累和运用，提高解题能力，培养数学模型意识，用模型意识来指导解题，用模式识别来选择解题策略；

3.教学要充分考虑初中学生的思维习惯，照顾到最大部分的学生，设计好梯度，先直观再抽象，抓住图形变换中不变的量，“以不变应万变”.

六、课前准备

学生：三角尺；导学案.

教师：ppt、几何画板、微课视频

七、教学过程设计

（一）情境引入

武侠里的“无招胜有招”与数学里的“以不变应万变”,本课要借助手中的三角尺探究图形的变换过程中的“变”与“不变”.

（二）探究活动【见导学案】

活动一：如图：∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线，将三角尺△PQR的直角顶点P放在OC上，绕着点P转动△PQR，四条直角边围成四边形OMPN.

问题1：当PM⊥OA时，∠PMO与∠PNO的度数如何？PM与PN相等吗？为什么？

问题2：此时，若OM+ON＝k·OP，求k的值.

【设计意图】 从最简单，也是最特殊的位置入手，寻找规律，暗中揭示本课研究的主要数量关系，也是让学生体会探索数学规律从特殊到一般的方法，也教给学生“动中寻静”的一种“特殊值法”.

活动二：保持点P在OC上，绕着点P转动△PQR，探究转动过程中变化的量以及不变的量.

问题1：转动△PQR的过程中，四边形OMPN的哪些元素变化了？哪些没变？

问题2：结合活动一，你认为PM、PN还相等吗？怎么证明？

问题3： PM与PN可以通过怎样的运动变化重合？这能给全等三角形的证明提供其他思路吗？

问题4：OM+ON＝OP还成立吗？四边形OMPN的什么特征使得OM在旋转后能与ON拼合在同一直线上？

问题5：如果点M移动到了射线OA的反向延长线上，这两个结论还成立吗？

【设计意图】 最特殊的情况往往蕴含着最本质的规律和方法，本环节的设计，由浅入深，由于有活动一的铺垫，学生心理对结论有着较强的目的性，重点在于探索全等三角形的证法中的难点——证明角的相等，力求多种思路；同时，借助几何画板工具，探究△PQR在旋转过程中存在的不变关系，增强学生的感性认识，对线段以及全等三角形的旋转重合加深印象，体会“动静互化”的思想，为以下的解题提供思路.

活动三：改变∠AOB的度数，探究旋转过程中的不变规律.

问题1：已知∠AOB=120°，OC是它的角平分线，利用手中的三角尺选择一个特殊的角∠QPR（如30°，45°，60°，90°，120°等），使其顶点P在OC上.为了使∠QPR在绕点P旋转的过程中PM＝PN仍然成立，∠QPR应取多少度？

问题2：为了证明PM＝PN，你按什么样的思路构造全等三角形？

问题3：刚才的结论：OM+ON＝OP还成立吗？四边形OMPN的什么特征保证了OM在旋转后能与ON拼合在同一直线上？

问题4： 如果∠MON＝α，∠MPN＝β，你认为α与β应该满足什么关系才能使PM＝PN成立？如何证明？

【设计意图】 特殊的情况虽然能帮助学生探索结论，但是在从特殊到一般的探究过程中也会对学生造成干扰，容易认为∠AOB与∠MPN应该相等，改变∠MPN的度数就是要尽量降低这种负迁移，为数学模型的抽象做好铺垫.

同时，脱离三角尺的背景，也是培养学生的模型意识的需要，感性到理性必须有一个抽象的过程，有了前面探究的基础，学生用相同的思路、相同的证法思考全等三角形的证明，在思考的过程中深刻体会“以静制动”的分析方法以及“动中有静”的结论.  

（三）巩固应用

1.已知：在正方形ABCD中，P为直线AD上一点，连接BP,以BP为底边作等腰直角三角形△PBE,连接AE.

（1）如图1，当点P在线段AD上时，求证：AB+AP=AE;

（2）如图2,当点P在线段 DA 的延长线上时，线段 AB、AP、AE 的数量关系是___________________.

【设计意图】将活动二的情形适当变式，其中的旋转思路并无变化，通过两种情形的练习，培养学生的模型意识，体会旋转在证明线段关系中的应用，使技能得到固化.

（四）归纳提高

播放微课视频，归纳课上分析的几种情形，挖掘出最本质的特征，建立几何模型，通过视频展现图形变换中的“变与不变”，体会旋转在解题思路中的应用，拓展联系相关知识点，总结提高.

视频下载地址：http://online.animiz.cn/otgh/ymse/video.mp4

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名称：对角互补模型

条件：①对角互补（∠MON+∠MPN=180°）②角平分线OP

结论：PM＝PN

思路：旋转（△POM绕点P逆时针旋转∠MPN的度数）

辅助线：过点P作∠OPG=∠MPN，交ON的延长线于点G

【设计意图】 从借助工具到脱离工具，学生经历观察、抽象、建立模型的过程，在逐渐抽象的过程中挖掘模型中最本质的特征，体会数学模型是联系数学与实际问题的桥梁，培养学生的模型意识，培养学生敏锐的洞察力、持久的创造力.利用微课视频，增强学生的兴趣，把整个课浓缩并升华.

（五）回顾思考--问题清单

（1）       今天学习了什么数学模型？

（2）       你是如何记住这个模型的？它的最本质的特征是什么？

（3）       它有几种特殊情况？分别对应着什么结论？

（4）       在证明结论时哪一部分最重要？你的思路是什么？

（5）       在证明结论时哪一部分最困难？你的方法是什么？

（6）       你在学习过程中有哪些新的体验？感受到了哪些思想方法？

（六）布置作业

1. 如左下图，在对角互补模型中，已知∠MON=60°, ∠MPN=120°，旋转∠MPN的过程中，

①PM＝PN，②OM+ON＝OP仍然成立，求k的值.

2.已知等边△ABC，点D为BC的中点，∠NDM=120°,两边分别交直线AC、AB分别于点M、N

（1）       如图1，求证MC=AB+BN：

（2）       如图2，线段MC、AB、BN的数量关系是_________________________________.