北师大版八年级数学下册图形的平移与旋转 复习题(2)（教案）

《图形的平移与旋转》复习课教学设计

一、教学目标

（1）知识层面：图形变换属于全等变换，通过具体事例的解决，使学生体会、掌握从图形变换的角度寻找分析问题、解决问题的方法，体会“变中不变”的思想。让学生会建立起深刻的“变换意识”，善于从变换的角度看图形间的关系。

（2）能力层面：用图形变换的观点分析复杂的图形，提升学生宏观观察分析图形的能力，培养学生的动手能力、空间观念和几何直观。

（3）思想方法：图形变换常体现数形结合思想；常从特殊情况入手，再把知识和方法迁移到一般情况，体现了特殊到一般的思想及转化与化归思想。

二、学情分析

学生已经学习过"生活中的轴对称"，初步积累了一定的图形变换的数学活动经验，在此基础上，进行观察、分析、画图、简单图案欣赏与设计等操作性活动，正确把握和理解平移、旋转等内容。

本专题既不同于"变换几何"中的平移、旋转变换，也不是单纯的平移、旋转现象的欣赏，而是先通过观察具体的平移、旋转现象，分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性质，然后在平移、旋转的简单应用中，进一步深化对图形的基本变换的理解和认识。

学生复习了本专题知识后对平移与旋转这两种常用的全等变换有了系统的认识，但学生把握这些全等变换的能力有待提升，特别是对组合图案的形成过程的分析是学生把握不好的地方，应加强训练。

三、复习目标及重、难点分析

复习目标：立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经验，首先利用一组基本练习复习平移和旋转的基本性质以及利用平移、旋转的基本性质进行简单的平移作图、旋转作图，通过分析简单平面图形的平移、旋转等变化关系，进一步体会平移、旋转的应用价值和丰富内涵，利用学生已积累的知识解决一些常见的与全等变换有关的数学问题，增强学生分析问题，解决问题的能力，激发学生的深层次思维。

重点：结合实例，进一步理解旋转和平移的概念及性质。

难点：利用平移和旋转的相关知识来解决一些实际问题。

四、教学设计

环节一（7min）

同学们，上课之前，我们来做一个猜谜游戏，感受生活中处处有数学，数学在我们身边。

谜语1：

小小一间房，有门没有窗，

天天送客人，上上下下忙。(打一公共设施)

问题1：谜底是什么？为什么？

问题2：从数学的角度来看，电梯上上下下的运动属于哪种图形的变换？

问题3：什么是平移？

问题4：平移过程中，图形的形状、大小、位置中，哪些发生变化，哪些不变？

问题5：图形的形状、大小不变，说明了什么？对应线段__，对应角__.

问题6：平移的距离能否用线段的长度表示？

谜语2：

架子空中悬，绳子挂两边，

有人来驾驭，来回画弧圈。(打一游戏设施)

问题1：谜底是什么？为什么？

问题2：从数学的角度来看，荡秋千属于哪种图形的变换？

问题3：什么是旋转？

问题4：旋转过程中，图形的形状、大小、位置中，哪些发生变化，哪些不变？

问题5：图形的形状、大小不变，说明了什么？对应线段__，对应角__.

问题6：你能找出旋转中心吗？哪些角表示旋转角？这些旋转角之间有什么关系？

归纳：无论平移还是旋转，都只是改变了图形的________，而图形的______始终不变。既然形状、大小不变，图形的对应线段就_____,对应角也_____。图形变换中体现的不变性，我们称之为变中不变。

设计意图：利用谜语吸引学生注意，从生活中的例子抽象出数学概念，再通过几何画板直观地对平移、旋转、中心对称的定义进行复习，引导学生用自己的语言梳理对应线段的数量关系、位置关系等，树立学好数学的自信心，有助于本章知识框架的梳理。

环节二（7min）

典例.

1.如图，小明将△ABC平移得△BB'C'(A、B、B'在同一条直线上).

问题1：在这个过程中，三角形形状、大小变了吗？

问题2：三角形的位置变了吗？请观察三个顶点位置的变化：

A→？ B→？ C→？得出点A的对应点是？点B的对应点是？点C的对应点是？

问题3：接下来探究对应线段与对应角的关系。

既然形状、大小不变，那么对应边______,对应角_______.AB等于对应边____,BC等于对应边____，AC等于对应边____。∠A等于对应角____，∠ABC等于对应角____，∠ACB等于对应角____。

问题4：哪些线段可以表示平移的距离？你是怎么判断的？

（1）B'C'=4时，BC=_____.  为什么？

分析：我们利用平移变换中对应线段的不变性，把未知线段转化为已知线段。

（2）∠ACB=30°时，∠BC'B'=_____. 你的理由是？

分析：利用平移变换中对应角的不变性，把未知角转化为已知角。

（3）AB=2时，CC’=_____. 为什么？

分析：利用平移距离相等可得CC’=AB。

2.下面小明把平移改为旋转。把△ABC绕点B顺时针旋转30°得△DBE.

问题1：在这个过程中，三角形形状、大小变了吗？

问题2：三角形的位置变了吗？请观察三个顶点位置的变化：

A→？ B→？ C→？得出点A的对应点是？点B的对应点是？点C的对应点是？

问题3：接下来探究对应线段与对应角的关系。

既然形状、大小不变，那么对应边______,对应角_______.AB等于对应边____,BC等于对应边____，AC等于对应边____。∠A等于对应角____，∠ABC等于对应角____，∠ACB等于对应角____。

问题4：旋转中心是？你能在图中找出几个旋转角？它们分别是？

（1）若BE=4，则BC=_____.  你的理由是？

分析：我们利用旋转变换中对应线段的不变性可把未知线段转化为已知线段。

（2）若∠ACB=30°，∠C'BB'=60°，则∠DEB=_____,为什么？

分析：利用旋转变换中对应角的不变性可把未知角转化为已知角。

∠BEC=_____.你的理由是？

分析：首先找出旋转角∠CBE=30°，再由BE=BC可求。

∠C'CE=_____.这个思路不错。还有同学有不同的思路吗？

分析：一般来说，题目求三角形中的一个内角，我们可通过内角和减去另外两个角求出。若另外两个角不知道，便想其他方法，如外角、内错角、对顶角等。而前一空正好得知这个三角形的一个外角是75°，因此可求解。

归纳：我们发现，无论是平移还是旋转，图形的位置______，图形的形状、大小都_____，因此对应边______,对应角_______。那么，如何在图形的变换过程中寻找变中不变呢？我们应该从点、线段、角出发，探究点怎么变、线段怎么变、角怎么变。另外，在平移过程中，我们要牢牢抓住对应点所连的线段表示平移的_____；在旋转过程中，要找出旋转中心是什么，有哪几个角是旋转角。因此，在解决平移、旋转相关习题时，可以利用图形变换中的不变性，把未知量转化为已知量，这体现了数学的转化思想。

设计意图：以题带点，从复习基本知识为出发点，通过一组填空题，利用问题串把平移的性质、旋转的性质等知识作了较为系统的再训练，把重点知识串联起来，并对每一空的思路做了分析，对整道题的思想做了归纳，使学生明确转化思想的应用，利用图形变换的不变性把未知量转化为已知量。

环节三（6min）

过关斩将

1.   王老师、杨老师两家所在位置关于学校成中心对称．如果王老师家距学校2千米，若把王老师家抽象成点A，学校抽象成点O，请你画出点B（杨老师家）的位置，根据所画的图求两家相距几千米.

问题1：你是怎么画的？        

问题2：你的理由是？ 

问题3：也就是说，对应点所连线段被？   

归纳：我们在遇到较为抽象的文字题时，可以通过把文字语言转化为直观的图形语言，再通过图形语言转化为符号语言，来方便解题。这体现了数学的转化思想和数形结合思想。

设计意图：从生活中的例子出发，使学生明确中心对称的性质，知道数学源自于生活，增强了学生学习数学的兴趣与信心。通过思维的启发，令学生明确以后在遇到抽象的文字题时，可通过图形语言转化为符号语言，来方便解题。这体现了数学的转化思想和数形结合思想。

2.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠BDE的大小为________．

问题1：根据例题总结的方法，我们知道，在解决旋转问题的时候，要先考虑旋转中心、旋转角、然后寻找点、线段、角的变中不变。图中的旋转中心是？哪个角是旋转角？

问题2：请分别找出△ABC三个顶点的对应顶点，三条边的对应边，三个内角的对应角。

问题3：通过寻找对应边，你发现△ABD是什么形状？

问题4：你可以因此得出哪几个角的角度？

归纳：遇到旋转题，优先找出旋转中心和旋转角。再利用旋转变换的变中不变，找出对应点、对应线段、对应角，把未知量转化为已知量，便可求解。

设计意图：通过解题，让学生明确解旋转题时，优先找出旋转角，利用旋转变换中的不变性，把未知量转化为已知量，找出相等的线段和相等的角。再由等边对等角及旋转前后对应角相等可求解，使学生对旋转的性质有了更深的了解。

环节四（10min）

学以致用

已知：点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．

问题1：图中的旋转中心是？哪些角是旋转角？

问题2：点B的对应点是？点O的对应点是？点C的对应点是？OB的对应边是？OC的对应边是？BC的对应边是？∠OBC的对应角是？∠BOC的对应角是？∠OCB的对应角是？

问题3：△ABC是等边三角形说明了什么？
（1）求证：△ODC是等边三角形.

问题4：我们学过哪些证明等边三角形的方法？

（2）若OB=3，OC=4，求AO的长.

问题5：OB、OC、AO有在同一条直线上或在同一个三角形中吗？对于分散的三条线段，我们怎么化分散为集中？（请学生上台介绍思路）这个同学观察OB，OC，AO不在同一条直线上和同一个三角形内，所以想到利用旋转变化的变中不变，把OB,OC,AO转化到同一个三角形中，化分散为集中，最后利用勾股定理求解。（板书规范书写）

归纳：通过第一个问题，我们发现，在解决旋转问题时，要优先找出旋转中心和旋转角。再利用旋转变换的变中不变，找出对应点、对应线段、对应角，便可求证。此外，我们还发现了，旋转60°可以产生等边三角形。在第二问，观察OB，OC，AO不在同一条直线上和同一个三角形内，所以想到利用旋转变化的变中不变，把OB,OC,AO转化到同一个三角形中，化分散为集中，便可求解。

设计意图：请学生上台讲解思路，拉近了与学生之间的距离，提高学生的归纳、概括能力，形成反思的意识。使学生明确利用旋转变换的不变性，把三条分散的线段转化到同一个三角形中，化分散为集中，体现了数学的转化思想。促进对相关内容的理解，并建立起新旧知识间的联系，形成对所学知识更为深刻、独特的理解。在黑板上板书，规范过程的书写。

变式训练（12min）

已知：△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．

求：∠APB的度数．

问题1：本题和上一题有什么相同之处？PA、PB、PC有在同一条直线上或同一个三角形中吗？没有，那对于这三条分散的线段，我们要化分散为___。

问题2：有什么不同之处？既然本题条件中没有旋转，那大家思考一下，我们要怎么化分散为集中？

问题3：你的思路是？你为什么想到借助辅助线构造旋转？旋转60°的目的是？借助旋转，你还可以得到什么？（投影批改作业）

问题4：有同学有别的思路吗？接下来我们借助几何画板对其他思路进行展示。

归纳：遇到分散的三条线段时，可以通过作辅助线构造旋转，利用旋转变换的变中不变，把这三条线段转化到同一个三角形中，化分散为集中，化未知为已知。特别注意，作辅助线时，要明确旋转60°可产生等边三角形。

设计意图：使学生明确利用旋转变换的不变性，作辅助线构造旋转60°得等边三角形。把三条分散的线段转化到同一个三角形中，化分散为集中，体现了数学的转化思想。促进对相关内容的理解，并建立起新旧知识间的联系，形成对所学知识更为深刻、独特的理解。利用几何画板展示另外三种解法，发散学生的思维。

环节五（3min）

问题：本节课，你有哪些收获？谁来说说看？

平移与旋转中的变与不变体现在哪里？既然形状、大小不变，那么图形的对应边就___,对应角也_____.因此，解题时，我们应该从点、线段、角出发，探究点怎么变、线段怎么变、角怎么变。另外，在平移过程中，我们要牢牢抓住对应点所连的线段表示平移的_____；在旋转过程中，要找出旋转中心是什么，有哪几个角是旋转角。

因此，我们可以借助图形变换中的不变性，把未知量转化为已知量，化分散为集中，体现了数学的转化思想。

设计意图：通过对本节课进行小结，形成知识体系，促使学生反思知识的获得过程，形成对所学知识、所用思想方法更为深刻、独特的理解，同时在此过程中还可以提高学生的归纳、概括能力，形成反思的意识。

环节六

课后作业

1.如图，两个直角三角形重叠在一起，将△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=6，DH=2，平移距离为3，则阴影部分的面积为________．

第1题图         第2题图           第3题图       

2. 如图所示，在平面内将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC.

若AB=,BC=1,则线段BE的长为___________．

3.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP 重合，如果AP=3，那么线段PP'的长是多少？

4.已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是BC上一点，连接AE．

（1）如图1，当∠BAE=15°，CE=时，求AB的长．

（2）如图2，延长BC至D，使DC=BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG=BE．